勾股定理（一） 大溪三中数学组 赵凌晓
在1876年一个周末的傍晚,美国华盛顿的郊外,有一位中年人正在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德 在1876年一个周末的傍晚,美国华盛顿的郊外,有一位中年人正在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德.他走着走着,突然发现附近的一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么,时而大声争论,时而小声探讨.由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去,想搞清楚两个小孩到底在干什么,只见一个小男孩正俯着身子，用树枝在地上画一个直角三角形，于是伽菲尔德便问，他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别是３和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是５呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为５和７，那么这个直角三角形的斜边长又是多少呢？”伽菲尔德不假思索地回答到：“那斜边的平方，一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？……”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。
c c2 = (a b)2 + 4(½ab) = a2 2ab + b2 + 2ab b a c2 = a2 + b2 a
弦图 赵爽 东汉末至三国时代吴国人 为《周髀算经》作注，并著有《勾股圆方图说》。
小孩问： １、如图： １２ ５ ７ ２５ 求剩下的一条边长 ∟ ８ ５ ２、如图：两正方形 面积如图所示求大正 方形的面积 ∟ ３、如果直角三角形两直角边是整数，斜边一定是整数吗？
½(a + b)(b + a) = ½c2 + 2(½ab) ½a2 + ab + ½b2 = ½c2 + ab 伽菲尔德经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法．1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就称这一证法称为“总统”证法。 a ∟ ½(a + b)(b + a) = ½c2 + 2(½ab) ½a2 + ab + ½b2 = ½c2 + ab a2 + b2 = c2 b c ∟ c a ∟ b
小结 本节课学到了什么数学知识？ 你了解了勾股定理的发现和验证方法了吗？
证明一
证明一
证明一
证明一
证明一
几何原本 欧几里得《几何原本》是用公理方法建立演绎数学体系的最早典范。 「证明一」就是取材自《几何原本》第一卷的第 47 命题。 欧几里得（Euclid of Alexandria; 約 325 B.C. 約 265 B.C.） 欧几里得《几何原本》是用公理方法建立演绎数学体系的最早典范。 「证明一」就是取材自《几何原本》第一卷的第 47 命题。
证明二 b (a + b)2 = c2 + 4(½ab) a a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab c
证明二 c c2 = (a b)2 + 4(½ab) = a2 2ab + b2 + 2ab b a
弦图 赵爽 东汉末至三国时代吴国人 为《周髀算经》作注，并着有《勾股圆方图说》。
证明三 a ½(a + b)(b + a) = ½c2 + 2(½ab) b ½a2 + ab + ½b2 = ½c2 + ab c
美国总统的证明 加菲尔德 （James A. Garfield； 1831 1881） 1881 年成为美国第 20 任总统 1876 年提出有关证明 加菲在位 5 個月，最後遭人行刺而死亡。
证明二及证明三的比较 两个证明基本上完全相同！
证明四 a2 b2
证明四
证明四
证明四
证明四 a2 + b2 = c2 c2
出入相补 刘徽（生於公元三世紀） 三国魏晋时代人。 魏景元四年（即 263 年）为古籍《九章算术》作注释。 在注作中，提出以「出入相补」的原理来证明「勾股定理」。后人称该图为「青朱入出图」。
拼图游戏
拼图游戏
证明五 c2
证明五
证明五
证明五 a2 b2 a2 + b2 = c2
sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a 无字证明 a b a + b sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a
印度婆什迦罗的证明 c b a c2 = b2 + a2
证明六 I II III 注意： 面积 I :面积II :面积III = a2 : b2 : c2
证明六 II 注意： 面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2 I III
证明六 II 注意： 面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2 I III
证明六 注意： 面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
证明六 注意： 面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
证明六 注意： 面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
证明六 注意： 面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2 由此得，面积 I + 面积 II = 面积 III