2.5 直线与平面及两平面的相对位置 相对位置包括平行、相交和垂直。 一、平行问题 直线与平面平行 平面与平面平行 ⒈ 直线与平面平行 若平面外的一直线平行于平面内的某一直线，则该直线与该平面平行。

例1：过M点作直线MN平行于平面ABC。 b d n c m a ● b d n a ● m c 有多少解？ 有无数解

例2：过M点作直线MN平行于V面和平面 ABC。 b 正平线 d c n m a ● c a d n m ● b 唯一解

[例题1] 试判断直线AB是否平行于定平面 g f g f 结论：直线AB不平行于定平面

[例题2] 试过点K作水平线AB平行于ΔCDE平面 f b a f b a

⒉ 两平面平行 ① 若一平面上的两相交直线分别平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。 c f b d e a a b c d e f ① 若一平面上的两相交直线分别平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。 f h a b c d e f h a b c d e ② 若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。

例：判断平面ABDC与平面EFHM是否平行， 已知AB∥CD∥EF∥MH k h 由于ek不平行于ac,故两平面不平行。 f b d X O b d f h k a c e m

[例题3 ] 试判断两平面是否平行 s n r n r m m s 结论：两平面平行

[例题4] 已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面平行于已知平面 。 r s s f e k k m n f e r m n

[例题5] 试判断两平面是否平行。 结论：因为PH平行SH，所以两平面平行

二、相交问题 直线与平面相交 平面与平面相交 ⒈ 直线与平面相交 直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。 要讨论的问题： 见性。 ● 要讨论的问题： ● 求直线与平面的交点。 ● 判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可 见性。 我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。

例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。 ⑴ 平面为特殊位置 空间及投影分析 平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。 k ● 1(2) ● 作图 用线上取点法 ① 求交点 2 ● ② 判别可见性 k ● 1 ● 由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn为可见。 还可通过重影点判别可见性。

直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。 ⑵ 直线为特殊位置 空间及投影分析 m b 直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。 k ● c a ● 1(2) n b 作图 用面上取点法 k ① 求交点 2 ● m(n) ● c 1 ● ② 判别可见性 a 点Ⅰ位于平面上，在前；点Ⅱ位于MN上，在后。故k2为不可见。

⒉ 两平面相交 要讨论的问题： 两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。 ① 求两平面的交线 方法： ⑴ 确定两平面的两个共有点。 ⑵ 确定一个共有点及交线的方向。 ② 判别两平面之间的相互遮挡关系，即： 判别可见性。 只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。

两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有 二、平面与平面相交 M F K N L 两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有

平面DEFH是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其与ac、bc的交点m 、n 即为两个共有点的水平投影，故mn即为交线MN的水平投影。 ⑵ 空间及投影分析 平面DEFH是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其与ac、bc的交点m 、n 即为两个共有点的水平投影，故mn即为交线MN的水平投影。 a′ a b d(e) e′ b′ d′ h(f) c f′ c′ h′ m′ ● 1(2 ) ′ n′ ● ● 作图 ① 求交线 ② 判别可见性 2 ● m ● 点Ⅰ在MC上，点Ⅱ在FH上，点Ⅰ在前，点Ⅱ在后，故mc 可见。 n ● 1 ●

平面DEFH是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其与ac、bc的交点m 、n 即为两个共有点的水平投影，故mn即为交线MN的水平投影。 ⑵ 空间及投影分析 平面DEFH是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其与ac、bc的交点m 、n 即为两个共有点的水平投影，故mn即为交线MN的水平投影。 d′ h′ m′ ● n′ ● b′ c′ e′ f′ 作图 ① 求交线 a ② 判别可见性 h(f) m ● 点Ⅰ在MC上，点Ⅱ在FH上，点Ⅰ在前，点Ⅱ在后，故mc 可见。 b n ● d(e) c

投影分析 n位于Δdef 的外面， ⑶ N点的水平投影 说明点N位于ΔDEF所确定的平面内，但不位于ΔDEF这个图形内。 b N点的水平投影 n位于Δdef 的外面， 说明点N位于ΔDEF所确定的平面内，但不位于ΔDEF这个图形内。 所以ΔABC和ΔDEF的交线应为MK。 m ● f d k ● n ● e a c b f m ● e a k ● n ● c d 互交

投影分析 n位于Δdef 的外面， ⑶ N点的水平投影 说明点N位于ΔDEF所确定的平面内，但不位于ΔDEF这个图形内。 b N点的水平投影 n位于Δdef 的外面， 说明点N位于ΔDEF所确定的平面内，但不位于ΔDEF这个图形内。 所以ΔABC和ΔDEF的交线应为MK。 m ● f d k ● e a c b f m ● e a k ● c d 互交

 小 结  重点掌握： ★点、直线、平面的投影特性，尤其是特殊位置直线 与平面的投影特性。 ★点、直线、平面的相对位置的判断方法及投影特性。 一、直线上的点 ⒈ 点的投影在直线的同名投影上。 ⒉ 点的投影必分线段的投影成定比——定比定理。 ⒊ 判断方法: a b c a b c ① 直线为一般位置时 ② 直线为特殊位置时 b a b k a k ●

二、两直线的相对位置 ⒈ 平行 同名投影互相平行。 c b d d b a c ② a a b c d c a b d ① 对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。 对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。

⒉ 相交 ⒊ 交叉（异面） 同名投影相交，交点是两直线的共有点，且符合空间一个点的投影规律。 同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一对重影点的投影。 c ′ a b d ② c a b b a c d k k d ①

三、点与平面的相对位置 面上取点的方法: b a c a k b ① c ② a b c a b k c ● ① c ② ● a b c a b k c 利用平面的积聚性求解 通过在面内作辅助线求解

四、直线与平面的相对位置 ⒉ 直线与平面相交 ⒈ 直线与平面平行 直线平行于平面内的一条直线。 ⑴ 一般位置直线与特殊位置 a b c m n c n b a m ⑴ 一般位置直线与特殊位置 平面求交点，利用交点的 共有性和平面的积聚性， 采用直线上取点的方法求 解。 m(n) b ● m n c b a a c ⑵ 投影面垂直线与一般位置 平面求交点，利用交点的 共有性和直线的积聚性， 采取平面上取点的方法求 解。

五、两平面的相对位置 ⒈ 两平面平行 ⑴ 若一平面上的两相交 直线分别平行于另一 平面上的两相交直线， 则这两平面相互平行。 c f b d e a a b c d e f ⑴ 若一平面上的两相交 直线分别平行于另一 平面上的两相交直线， 则这两平面相互平行。 f h a b c d e f h a b c d e ⑵ 若两投影面垂直面相 互平行，则它们具有 积聚性的那组投影必 相互平行。

⒉ 两平面相交 ⑴ 两特殊位置平面相交，分 析交线的空间位置，有时 可找出两平面的一个共有 点，根据交线的投影特性 画出交线的投影。 a b c d e f c f d b e a ⑴ 两特殊位置平面相交，分 析交线的空间位置，有时 可找出两平面的一个共有 点，根据交线的投影特性 画出交线的投影。 a′ a b d(e) e′ b′ d′ h(f) c f′ c′ h′ ⑵ 一般位置平面与特殊位置 平面相交，可利用特殊位 置平面的积聚性找出两平 面的两个共有点，求出交 线。