23.3 相似三角形 23.3.4相似三角形的应用
回顾: 一.相似三角形的判定方法 二.相似三角形的性质 对应相等 3. 对应成比例的两个三角形相似。 1.两角 两个三角形相似。 3. 对应成比例的两个三角形相似。 1.两角 两个三角形相似。 2.两边 且 相等的两个三角形相似。 对应成比例 夹角 三边 二.相似三角形的性质 2. 的比, 的比, 的比都等于相似比。(相似形中的对应线段) 4.面积的比 。 1. 相等, 成比例。 3.周长的比 。 对应角 对应边 对应高 对应中线 对应角平分线 等于相似比 等于相似比的平方
小小科学家: o 给我一个支点我可以撬起整个地球! ---阿基米德 1.如图,铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高 m? 8 B 16m C ┏ ┛ o D 0.5m 1m A (第1题)
· 新课:相似三角形的应用 我们主要是应用相似三角形的性质来解决实际问题。 在实际生活中,请举出哪些地方用到了相似三角形? 例如:在同一时刻人与树和各自的影子作为两条边形成的三角形。 例如:物理学的小孔呈像实验中,实物与影子同通过小孔的光线所连成的三角形。 ·
在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例. 在某一时刻,有人测得一高为1 在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例.在某一时刻,有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米,某一高楼的影长为60米,那么高楼的高度是多少米?
解:设楼的高度为x米, 由题意得; 解得x=36(米) 答:楼的高度是36米。
测量学校旗杆的高度。
(2)若DE=1,EF=2,BC=10,那么AB等于多少? 例:如图,B、C、E、F是在同一直线上,AB⊥BF,DE⊥BF,AC∥DF, (1) △DEF与△ABC相似吗?为什么? (2)若DE=1,EF=2,BC=10,那么AB等于多少?
解:(1)∵ AB⊥BF ,DE⊥BF ∴∠ABC=∠DEF=90° ∵ AC∥DF ∴ ∠ACB=∠DFE ∴ △ABC∽△DEF (2) ∵ △ABC∽△DEF ∴ ∵ DE=1,EF=2,BC=10 ∴AB=5
借太阳的光辉助我们解题,你想到了吗? A C B D E ┐ 10
数学史话: 泰勒斯是古希腊的科学家、哲学家,历史上称其为“科学之祖”,他尤其善于把现实中的许多问题转化为数学问题来解决。 位于埃及开罗西南15千米处,有一金字塔,被称为“第一金字塔”或“大金字塔”,其高146.5米,底面呈正方形。埃及人是如何堆成金字塔的,至今仍是个谜,而泰勒斯能测量金字塔的高度,在当时算是个了不起的贡献。 B A O O’ B’ A′ 他先竖一根已知长度的木棒O′B′,比较棒子的影长A’B’与金字塔的影长AB,即可算出金字塔的高OB。
在当时的条件下,泰勒斯能想出这种测量方法,简直就是惊世骇俗的了。 B A A’ B’ O 在当时的条件下,泰勒斯能想出这种测量方法,简直就是惊世骇俗的了。
阅读完上面材料后,如果让你用相似的知识去尝试测量上图中A、B两点间的距离你会吗?
例1. 如图18.3.12所示,为了测量金字塔的高度OB,先竖一根已知长度的木棒O′B′,比较棒子的影长A′B′与金字塔的影长AB,即可近似算出金字塔的高度OB.如果O′B′=1,A′B′=2,AB=274,求金字塔的高度OB.
解 由于太阳光是平行光线,因此 ∠OAB=∠O′A′B′. 又因为 ∠ABO=∠A′B′O′=90°. 所以 △OAB∽△O′A′B′, OB∶O′B′=AB∶A′B′, OB= (米) 答:该金字塔高为137米.
例2:如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标作为点A,再在河的这一边选点B和C,使AB⊥BC,然后,再选点E,使EC⊥BC,用视线确定BC和AE的交点D. 此时如果测得BD=120米,DC=60米,EC=50米,求两岸间的大致距离AB. A C B D E
解: 例3:如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选 答: 两岸间的大致距离为100米. 定一个目标作为点A,再在河的这一边选点B和C,使AB⊥BC,然后,再选点E,使EC⊥BC,用视线确定BC和 AE的交点D. 此时如果测得BD=120米,DC=60米,EC=50米,求两岸间的大致距离AB. A D C E B 解: (方法一)因为 ∠ADB=∠EDC, ∠ABC=∠ECD=90°, 所以 △ABD∽△ECD, 答: 两岸间的大致距离为100米.
此时如果测得DE=120米,BC=60米,BD=50米,求两岸间的大致距离AB. (方法二) 我们在河对岸选定一目标点A,在河的一边选点D和 E,使DE⊥AD,然后选点B,作BC∥DE,与视线EA相交于点C。此时,测得DE , BC, BD, 就可以求两岸间的大致距离AB了。 A D E B C 此时如果测得DE=120米,BC=60米,BD=50米,求两岸间的大致距离AB. 请同学们自已解答并进行交流
想一想 怎样利用相似三角形的有关知识测量旗杆的高度?
方法1:利用阳光下的影子. A B C D E F 怎么办?
方法1:利用阳光下的影子. 测量数据:身高AC、影长BC、旗杆影长EF. 找相似:△ABC∽△DEF. A B C D E F
方法2:利用标杆. A C F E B D G 怎么办?
方法2:利用标杆. 测量数据:身高AD、标杆BE、旗杆与标杆 之间距离BC、人与标杆间距离AB. 找相似:△AGD∽△BGE. △AGD∽△CGF A C F E B D G
方法3:利用镜子的反射. E C B D A 怎么办?
方法3:利用镜子的反射. 找相似:△ADE∽△ABC. 测量数据:身高DE、人与镜子间的距离AE、 旗杆与镜子间距离AC. B D C E
小结: 现实生活中还有许多问题我们可以利用相似三角形的知识去解决,上述题目只能算是沧海一粟,这就需要我们做个有心人,从数学角度学会发现问题,提出问题,并且尝试从不同的角度、不同的途径去分析问题和解决问题,不断锻炼我们的思维能力。
概 括 1、在运用相似三角形的有关知识解实际问题时,要读懂题意, 2、画出从实际问题中抽象出来的几何图形,构建简单的数学模型, 3、然后运用已学的相似三角形的有关知识(相似三角形的识别、相似三角形的性质等)列出有关未知数的比例式,求出所求的结论.
1. 在实际生活中, 我们面对不能直接测量物体的高度和宽度时 1. 在实际生活中, 我们面对不能直接测量物体的高度和宽度时. 可以把它们转化为数学问题,建立相似三角形模型,再利用对应边成比例来达到求解的目的! 2. 能掌握并应用一些简单的相似三角形模型. 中考
1、如图,是一池塘的平面图,请你利用相似三角形的知识,设计出一种测量A、B两点间距离的方案,并对这种方案作出简要的说明。 生活实践 1、如图,是一池塘的平面图,请你利用相似三角形的知识,设计出一种测量A、B两点间距离的方案,并对这种方案作出简要的说明。
解:如图在池塘外选一点P,连AP并延长,连BP并延长使 (或其他值), 则△ABP∽△CDP得 ,量出CD的长就可算出 AB的长。
2.如图,小明在打网球时,使球恰好能打过网,而且落在离网5米的位置上,求球拍击球的高度h. A B C D E 解: ∴△ABC∽△DEC, 得: ∵AB、CD都垂直于地面, 又∵∠C是公共角, ∴∠BAC=∠EDC (分析:由于AB、CD都垂直于地面, ∠C是公共角,所以△ABC∽△DEC,由此可得对应边成比例: )
3. 如图. 有一路灯杆AB,小明在灯光下看到自己的影子DF,那么 (1)在图中有相似三角形吗?如有,请写出. (2)如果已知BD=3m,DF=1m,小明身高为1.6m,你能求得路灯杆的高吗? A C B F D
变式一 有一路灯杆AB(底部B不能直接到达),在灯光下,小明在点D处测得自己的影长DF=3m,沿BD方向到达点F处再测得自己的影长FG=4m,如果小明的身高为1.6m,求路灯杆AB的高度. A E C B D F G
变式二 如图,有一路灯杆AB(底部B不能直接到达),在灯光下,小明在点D处测得自己的影长DF=3m,沿BD方向到达点G处再测得自己的影长GH=4cm,如果小明的身高为1.6m, GF=2m. 你能求出路灯杆AB的高度吗? A M C B H G F D
中考连接 1.(2009年娄底)小明在一次军事夏令营活动中,进行打靶训练,在用枪瞄准目标点B时,要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上,如图4所示,在射击时,小明有轻微的抖动,致使准星A偏离到A′,若OA=0.2米,OB=40米,AA′=0.0015米,则小明射击到的点B′偏离目标点B的长度BB′为( ) A.3米B.0.3米C.0.03米D.0.2米 B
中考连接 2.(2009年甘肃白银)如图3,小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度,移动竹竿,使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时,竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m,则旗杆的高为( ) A.12m B.10m C.8m D.7m A
中考连接 3.(2009年兰州)如图,丁轩同学在晚上由路灯走向路灯,当他走到点P时,发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯的底部,当他向前再步行20m到达点Q时,发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯的底部,已知丁轩同学的身高是1.5m,两个路灯的高度都是9m,则两路灯之间的距离是( ) A.24m B.25m C.28m D.30m D
再 见!