概 率 统 计 主讲教师 叶宏 山东大学数学院
§3.5 二维随机变量函数的分布 上一章我们已讨论了一维随机变量函数的分布，现在进一步讨论两个随机变量的函数的分布问题，然后将其推广到多个随机变量的情形.
已知r.v.( X ,Y )的概率分布, g (x, y) 为已知的二元函数, 求 Z = g( X ,Y )的概率分布 问题 已知r.v.( X ,Y )的概率分布, g (x, y) 为已知的二元函数, 求 Z = g( X ,Y )的概率分布 方法 转化为( X ,Y )的事件
离散型二维 r.v.的函数 当( X ,Y )为离散r.v.时, Z 也离散
例 设二维r.v.( X,Y )的概率分布为 X Y pij -1 1 2 -1 求 的概率分布
解 根据( X,Y )的联合分布可得： P ( X,Y ) (-1,0) (1,-1) (1,0) (2,-1) (2,0) X +Y (-1,-1) (-1,0) (1,-1) (1,0) (2,-1) (2,0) X +Y -2 -1 0 1 1 2 X Y 1 0 -1 0 -2 0
故得 P X+Y -2 -1 0 1 2 P X Y -2 -1 0 1
二维连续r.v.函数的分布 问题 已知r.v.( X ,Y )的密度函数， 方法 (1) 先求Z 的分布函数： 求Z=g (X , Y)的密度函数. 方法 (1) 先求Z 的分布函数： (2)再求Z的密度函数:
1. 和的分布：Z = X + Y 设( X ,Y )的联合密度为 f (x,y), 则 x +y= z • z • z 或
或 特别地，若X ,Y 相互独立，则 或 称之为函数 f X (z) 与 f Y (z)的卷积
例 解法一（卷积公式法）
解法二 分布函数法 1 y x x+y = z 当z < 0 时，
当0 z < 1 时， y x 1 x+y = z • z • z
当1 z < 2 时， 1 y x • z x+y = z z-1
当2 z 时， 1 y x x+y = z 2
例
正态随机变量的结论
2. 商的分布： Z = X / Y 问题 公式
例
问题 3. M=max( X,Y )及N=min( X,Y )的分布 设连续型随机变量X , Y 相互独立, X , Y的分布函数分别为 FX (x), FY (y), M = max{X ,Y }, N = min{X ,Y }, 求 M ,N 的分布函数. 问题
推广 设X1 ,…, Xn是n个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为 (i =0,1，…, n) M=max(X1,…,Xn)的分布函数为: …
N=min(X1,…,Xn)的分布函数是 … 特别，当X1,…,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有 FM(z)=[F(z)] n FN(z)=1-[1-F(z)] n
注意 若X1,…,Xn是连续型随机变量，在求得M=max(X1,…,Xn)和N=min(X1,…,Xn)的分布函数后，不难求得M和N的密度函数.
例 设某种电子管的寿命（以天计）近似服从 ，随机地选取3只，求 (1) 其中没有一只寿命超过1210天的概率; (2) 其中没有一只寿命小于1210天的概率. 解：设X1，X2，X3为3只电子管的寿命， 它们相互独立同分布，
FM(z)=[F(z)] n
FN(z)=1-[1-F(z)] n