工程光学 Engineering Optics 郭 峰 青岛理工大学  机械工程学院

§2.2 成像的基本概念与完善成像 １ 光学系统成像的概念 １　光学系统成像的概念 发光物体可以被分解为无穷多个发光物点，每个物点发出一个球面波，与之对应的是以物点为中心的同心光束。经过光学系统之后，该球面仍然是一球面波，对应的光束仍是同心光束，那么，该同心光束的中心就是物点经过光学系统后所成的完善像点(Perfect image point)。 发光物上每个点经过光学系统后所成的完善像点的集合就是该物体经过光学系统后的完善像(Perfect image)。 　　物体所在的空间称为物空间(Object space)，像所在的空间称为像空间(Image space)。 　　绝大多数光学系统由球面、平面或非球面组成，如果各曲面的曲率中心在一条直线上，则称该光学系统为共轴光学系统，该直线为光轴(Optical axis)。 　　非球面, 如抛物面、椭球面等对某些位置等光程的像质不错, 但加工检验有一定困难。因此，后面的讨论主要是由球面和平面组成的光学系统。

２ 完善成像条件 入射波面为球面波时，出射波面也是球面波。或入射光是同心光束时，出射光也是同心光束。 ２　完善成像条件 入射波面为球面波时，出射波面也是球面波。或入射光是同心光束时，出射光也是同心光束。 等光程是完善成像的条件：　物点与像点间任意两条光路的光程相等。

３ 物、像的虚实 实际光线相交所形成的点为实物点或实像点 光线的延长线相交所形成的点为虚物点或虚像点 a）实物成实像 b）实物成虚像 ３　物、像的虚实 实际光线相交所形成的点为实物点或实像点 光线的延长线相交所形成的点为虚物点或虚像点 a）实物成实像 b）实物成虚像　　 c）虚物成实像 d）虚物成虚像

Engineering Optics  Dr. F. Guo  Qingdao TECH  Spring 2013 §2.3 光路计算与近轴光学系统 　　大多数光学系统都是由折、反射球面或平面组成的共轴球面光学系统。平面看成是球面半径无穷大的特例，反射是折射在 n’=-n时的特例。可见，折射球面系统具有普遍意义。物体经过光学系统的成像，实际上是物体发出的光束经过光学系统逐面折、反射的结果。因此，我们首先讨论光线经过单个折射球面折射的光路计算问题，然后再逐面过渡到整个光学系统。 光线通过光学系统时是逐面折、反射，设计计算也是逐面依次进行，故首先讨论单个折射面。 Engineering Optics  Dr. F. Guo  Qingdao TECH  Spring 2013

若干概念与术语 E n n’ h C O r O：顶点。 C：球面曲率中心。 OC：球面曲率半径, r。 OE：透镜球面，也是两种介质 n 与 n’ 的分界面。 h：光线投射高度。

※子午面(Meridional plane): 包含物点（或物体）和光轴的光路截面。 h A C O r ※子午面(Meridional plane): 包含物点（或物体）和光轴的光路截面。 ※ 单个折射球面的结构参数： r , n , n’。 给定了结构参数和物点A后，即可确定A点的像。

※ 物点A在光轴上，其到顶点O的距离OA为物方截距，用 L 表示。 E n n’ A h -U C O r -L ※ 物点A在光轴上，其到顶点O的距离OA为物方截距，用 L 表示。 ※ 入射光线AE与光轴的夹角为物方倾斜角也叫物方孔径角，用U 表示。

像方参数与对应的物方参数所用的字母相同，并加以“ ’ ” 相区别。 E n n’ h A’ A -U C U’ O r 像方参数与对应的物方参数所用的字母相同，并加以“ ’ ” 相区别。 -L L’ 折射光线EA’ 由以下参量确定： ※像方截距：顶点O到折射光线与光轴交点，用L’表示。 ※像方孔径角：折射光线EA’ 与光轴的夹角，用U’ 表示。

只知道无符号的参数，光线可能有四种情况。要确定光线的位置，仅有参量是不够的，还必须对符号作出规定。

符号规则 （一）光路方向 从左向右为正向光路，反之为反向光路。 正向光路 反向光路

（二）线段 沿轴线段： 从起点（原点）到终点的方向与光线传播方向相同，为正；反之为负。 即线段的原点为起点，向右为正，向左为负。 - +

（1）曲率半径 r ,以球面顶点O为原点，球心C在右为正，在左为负。 原点规定： （1）曲率半径 r ,以球面顶点O为原点，球心C在右为正，在左为负。 E A O +r C A E C -r O

（2）物方截距L 和像方截距L’ 也以顶点O为原点，到光 线与光轴交点，向右为正，向左为负。 A A’ -L +L’ E O C A E C -L’ -L A’ O

（3）球面间隔 d 以前一个球面的顶点为原点，向右为正，向左为负。（在折射系统中总为正，在反射和折反系统中才有为负的情况） O1 O2 O1 O2 +d +d O1 O2 -d

2. 垂轴线段：以光轴为界，上方为正，下方为负。 A B +y O E C +h A’ B’ -y’

※ 角度的度量一律以锐角 来度量，由起始边 顺时针转到终止边 为正，逆时针为负。 （三）角度 ※ 角度的度量一律以锐角 来度量，由起始边 顺时针转到终止边 为正，逆时针为负。 ※ 起始边规定如下： （1）光线与光轴的夹角，如U, U’ , 以光轴 为起始边。 A B -L y O E C r L’ A’ B’ h -y’ U’ -U

（2） 光线与法线的夹角，如I, I’, 以光线 为起始边。 A B -L y O E -U C r L’ A’ U’ B’ h -y’ I I’

（3） 入射点法线与光轴的夹角φ（球心角），以光轴 为起始边。 A B -L y O E -U C r L’ A’ U’ B’ h -y’ I I’ φ

练习：试用符号规则标出下列光组及光线的位置 （1）r = -30mm, L = -100mm, U = -10° （2）r = 30mm, L = -100mm, U = -10° （3）r1 = 100mm, r2 = -200mm , d = 5mm, L = -200mm, U = -10° （4）r = -40mm, L’ = 200mm, U’ = -10° （5）r = -40mm, L = -100mm, U = -10°, L’= -200mm

※光学系统 的作用之一是对物体成像，因此必须搞清物像的基本概念和它们的关系。 ※物体通过光学系统（光组）成像，光学系统(各种光学仪器)由一系列光学零件 组成。。 ※光学系统一般是轴对称的，有一条公共轴线，称为光轴。这种系统被称为“共轴系统” 光轴

双凸 正月牙 平凸 在光学仪器中最常用的光学零件是透镜，目前绝大多数是球面透镜（系统）。 双凹 平凹 负月牙 由这些球面系统（透镜）组成的光学系统有对称轴，也称为共轴球面系统

由两个球面构成的透镜中，通过两球面球心的直线为光轴。 光轴与透镜面的交点称为：顶点 光轴 顶点 由两个球面构成的透镜中，通过两球面球心的直线为光轴。

若有一个面为平面，则光轴通过球面的球心与平面垂直。 顶点 若有一个面为平面，则光轴通过球面的球心与平面垂直。

（1）正透镜：中心比边缘厚度大，起会聚作用 （2）负透镜：中心比边缘厚度小，起发散作用 透镜分两大类 （1）正透镜：中心比边缘厚度大，起会聚作用 （2）负透镜：中心比边缘厚度小，起发散作用

物像的虚实 ※ 由实际光线成的像，称为实像。 如电影，幻灯机，照相机成像 在凸透镜2f 外放一个点燃的蜡烛，后面放一个纸屏，当纸屏放到某一位置时，会在屏上得到蜡烛清晰的像。 ※ 由实际光线成的像，称为实像。 如电影，幻灯机，照相机成像

F’ F’ 有的光学系统成的像，能被眼睛看到，却无法在屏上得到这些像不是由实际光线相交得来，而是由实际光线的反向延长线相交得来。※ 由反射或折射光线的反向延长线相交所得的像称为虚像如照镜子，显微镜，望远镜等。

与像类似，物也分两种 ※ 实物：自己发光的物体。如灯泡、蜡烛等，也可以是被照明后发光的物体，如人物，景物等。 ※ 实物：自己发光的物体。如灯泡、蜡烛等，也可以是被照明后发光的物体，如人物，景物等。 ※ 虚物：不是由实际光线而是由光线的延长线相交而成的物。虚物不能人为设定，它是前一系统所成的像被当前系统截取得到的。 A A’

请判断物与像的虚实 A A A’ A’ b. 实物成虚像 a. 实物成实像 A’ A A’ A c. 虚物成实像 d. 虚物成虚像 （对于第二个透镜）

※ 实物，虚像对应发散的同心光束。 ※ 虚物，实像对应汇聚的同心光束。 照相机 物的虚像 实物

注意：物、像的概念是相对于光组来说的 对于L1而言，A1B1是AB的像; 对L2而言，A1B1是物，A’B’是像，则A1B1称为中间像 B1

※物所在的空间为物空间，像所在的空间为像空间，两者的范围都是 （-∞,+∞） ※ 通常对于某一光学系统来说，某一位置上的物会在一个相应的位置成一个清晰的像，物与像是一一对应的，这种关系称为物与像的共轭。

当结构参数 r , n , n’ 给定时，只要知道 L 和 U ，就可求L’ 和 U’ 共轴球面系统中的光路计算公式 A E O C n n’ r -L -U 当结构参数 r , n , n’ 给定时，只要知道 L 和 U ，就可求L’ 和 U’

△AEC中，－L＋r = AC , 并由正弦定理可得： n I E n’ -U φ C A O r -L 第一步： 连接CE △AEC中，－L＋r = AC , 并由正弦定理可得：

第二步：由E点作出射光线， 由折射定律 则可求I’ 的大小； 第三步：由图可知 则可知U’ 的大小: n I E n’ I’ A’ -U φ C U’ A O r -L 第二步：由E点作出射光线， 由折射定律 则可求I’ 的大小； 第三步：由图可知 则可知U’ 的大小:

第四步：在△EA’C中，CA’ = L’-r, 由正弦定理，可得 n I E n’ I’ A’ -U φ C U’ A O r L’ -L 第四步：在△EA’C中，CA’ = L’-r, 由正弦定理，可得

子午面内光路计算L计算公式 上述四个公式就是子午面内光路计算公式，当 n, n’, r 和 L, U 已知时，可依次求出U’ 和 L’。

当物点位于光轴上无限远处时，可以认为它发出的光是平行于光轴的平行光，此时有 L＝－∞，U＝0 O E C r I φ n n’ h 入射角可以按 计算 然后再按其它公式计算

A E O C n n’ -240mm 例：已知一折射球面其r =36.48mm，n =1， n’ =1.5163。轴上点A的截距 L=-240mm，由它发出一同心光束，今取U为-1°、-2 °、 -3 °的三条光线，分别求它们经折射球面后的光路。（即求像方截距L’ 和像方倾斜角U’ ）

U= -1°: U’= 1.596415° L’=150.7065mm U= -2 °: U’= 3.291334° L’=147.3711mm U= -3 °: U’= 5.204484° L’=141.6813mm

可以发现：同一物点发出的物方倾斜角不同的光线过光组后并不能交于一点！轴上点以宽光束经球面成像时，存在像差（球差）。 E n n’ A C O -240mm 可以发现：同一物点发出的物方倾斜角不同的光线过光组后并不能交于一点！轴上点以宽光束经球面成像时，存在像差（球差）。

小节与概括(自学) 光线经过单个折射球面的折射 球心 C，入射光 AE，法线EC，折射光 EA‘, I 、I'为入射角和折射角，AC为光轴，O为球面顶点

光轴：通过球心Ｃ的直线 子午面：通过物点和光轴的截面　 物方（像方）截距：顶点O到光线与光轴的交点Ａ（Ａ‘）的距离，用L（L’）表示. 物方（像方）孔径角: 入射(出射)光线与光轴的夹角, 用U（U’）表示. L、U 两量唯一地确定了一条光线在子午面内的位置。 计算目的: 已知 L、Ｕ, 经过已知的r、n 、n’ ，求出像方截距L’ 、像方孔径角U’

符号规则(Sign convention): 1 沿光轴方向线段（如 L, L’和r）:规定光线传播由左向右为正方向。以折（反）射面顶点 为原点。由顶点到光线与光轴交点或球心的方向和光线传播正方向相同时，该方向取正；相反取负。 2 垂轴线段: 以光轴为基准, 在光轴以上为正, 在光轴以下为负。 3 光线与光轴夹角: 用由光轴转向光线所形成的锐角度量, 顺时针为正，逆时针为负。 4 光线与法线夹角(入射角、折射角), 用光线转向法线的锐角方向度量，顺时针为正，逆时针为负. 5 光轴与法线夹角:用由光轴转向法线所形成的锐角度量, 顺时针为正，逆时针为负。 6相邻两折射面间隔(d):由前一面到后一面顶点, 顺光线方向为正, 逆光线方向为负. 在折射系统中, d恒为正.

2. 近轴(Paraxial)光路计算公式 当孔径角U很小时（指绝对值很小），这时光线在很靠近光轴的区域内（此区域通常称为近轴区），光线称为近轴光线。此时，相应的I　、I’ 、U’　等都比较小,角度的正弦可用其弧度值代替. 则

2. 近轴(Paraxial)光路计算公式 派生公式 校对公式 u 和 u’ 的关系 l 和 l’ 的关系

上述三个公式是一个公式的三种不同的表达形式， 中间的公式表示成不变量Q的形式，称为“阿贝不变量” Abbe’s invariant

由阿贝不变量公式和物像位置关系公式可知，l’ 与 u 无关。 这说明轴上点发出的靠近光轴的细小同心光束经球面折射后仍是同心光束，可以会聚到一点，也就是所成的像是完善的。 ※ 由近轴细光束成的完善像称为高斯像 ※ 光学系统在近轴区成像性质和规律的光学称为高斯光学或近轴光学。

在近轴区，我们用弧度代替了正弦，实际上，把正弦展开成级数，可得： 用θ代替了sinθ，误差是后面各项的和。 θ愈大，误差愈大，θ很小时才有足够的精度。 误差所允许的范围就是近轴区的范围，它由相对误差 的大小来确定。 例： θ<5o

（1）在一定条件下是方便的，实际当中有的光线的孔径角U比较小，至少中心部分是如此。 2. 近轴(Paraxial)光路计算公式 使用公式的优缺点： 　　（1）在一定条件下是方便的，实际当中有的光线的孔径角U比较小，至少中心部分是如此。 （2）将用公式算出作为像点位置作为标准位置，称为高斯像点。 　　（3）局限性：因为已经做了近似，所以算不出细微的误差（像差）。

例：仍用上例的参数，r = 36.48mm, n=1, n’=1.5163 l = - 240mm, sinU= u = - 0.017， 求：l ’, u’ 与大L公式计算的结果比较：L’=150.7065mm.（1°）

近轴区有限大小的物体经过单个折射球面的成像 §2.4 球面光学成像系统 §2.4.1 单折射面成像 近轴区有限大小的物体经过单个折射球面的成像

β 称为垂轴放大率或横向放大率 （一）垂轴放大率 垂直于光轴，大小为 y 的物体经折射球面后成的像大小为 y’ ,则 n E B n’ y h A’ -u C u’ A O -y’ r B’ l’ -l （一）垂轴放大率 垂直于光轴，大小为 y 的物体经折射球面后成的像大小为 y’ ,则 β 称为垂轴放大率或横向放大率

可见β只取决于介质折射率和物体位置。 △ABC∽ △A’B’C 有： 代入上式 由阿贝不变量公式可得： 可得： B n E n’ y h -u C u’ A O -y’ r B’ l’ -l △ABC∽ △A’B’C 有： 代入上式 由阿贝不变量公式可得： 可得： 可见β只取决于介质折射率和物体位置。

（1）若β>0, 即 y 与 y’ 同号，表示成正立像。反之成倒立像。 对横向放大率的讨论 根据β的定义和公式，可以确定物体的成像特性： （1）若β>0, 即 y 与 y’ 同号，表示成正立像。反之成倒立像。 （2）若β>0, 即 l 与 l’ 同号，表示物象在折射球面同侧，物像虚实相反。反之l 与 l’ 异号，物像虚实相同。 可归结为： β> 0, 成正立像且物像虚实相反。 β< 0, 成倒立像且物像虚实相同。

！ （3）若|β| >1, 则| y’ | > | y |，成放大 像， 反之 |y’ | < | y |，成缩小 像 还可发现，当物体由远而近时，即 l 变小，则β增大 ！ 成像的位置、大小、虚实、倒正极为重要！！！

（二）轴向放大率 轴向放大率表示光轴上一对共轭点沿轴向移动量之间的关系。它定义为物点沿光轴作微小移动 dl 时，所引起的像点移动量 dl’ 与 dl 之比，用α表示。 对公式 微分，有

整理后 由于 所以

讨论： （1）折射球面的轴向放大率恒为正，说明物点沿轴向移动时，像点沿光轴同方向移动。 由 得到以下结论： （1）折射球面的轴向放大率恒为正，说明物点沿轴向移动时，像点沿光轴同方向移动。 （2）轴向与垂直放大率不等，空间物体成像时要变形，立方体放大后不再是立方体。折射球面不可能获得与物体相似的立体像。

（三）角放大率 在近轴区内，角放大率定义为一对共轭光线与光轴夹角u’ 与 u 的比值，用γ表示 B n E n’ y h A’ -u C O -y’ r B’ l’ -l 在近轴区内，角放大率定义为一对共轭光线与光轴夹角u’ 与 u 的比值，用γ表示

将式 l u = l’ u’ = h 代入上式 可得 上式两边乘以n’/n，并利用垂轴放大率公式，可得 上式为角放大率与横向放大率之间的关系式。 角放大率表明了折射球面将光束变宽或变细的能力，只与共轭点的位置有关，与光线的孔径角无关

将 代 可得： 将轴向放大率与角放大率公式相乘，有： 上式为三种放大率的关系。 即：

上式称为拉格朗日－赫姆霍兹公式，它表明实际光学系统在近轴区域成像时，在一对共轭面内，其n，u，y或n’，u’，y’ 的乘积为一常数 J。 J 称为拉赫不变量或传递不变量，可以利用这一性质，在物方参数固定后，通过改变u’ 来控制y’ 的大小，也就是可以通过控制像方孔径角来控制横向放大率。

解： 例：已知一个光学系统的结构参数，r = 36.48mm, n=1, n’= 1.5163, l = - 240mm, y=20mm 已求出：l’=151.838mm，现求β, y’ （横向放大率与像的大小） 解： β<0： 倒立、实像、两侧 |β|<1：缩小

上例中，若l1= - 100mm， l2= -30mm, 求像的位置大小。 利用公式 当 l1= - 100mm 时： l1’=365.113mm β1= - 2.4079 y1’= - 48.1584mm 放大倒立实像，两侧

当l2= - 30mm 时： l2’= - 79.0548mm β2= 1.7379 y2’= 34.7578mm 放大正立虚像同侧

d1 §2.4.2 共轴球面系统 由两个折射面组成的透镜， 均已知。 A1’=A2 A1 O1 O2 n1 n2’ n1’=n2 -l1 u1 u2’ u1’=u2 l2’ d1 l2 l1’ 现在已知 l1 和 u1，要求l2’ 和 u2’

（1）用小 l 公式算出光线经第一个折射面后的像方截距 l’1和孔径角u1 ’ A1 O1 n1 n1’ -l1 u1 u1’ l1’ A1’

注意： d1 （2）将第一个面的出射光线作为第二个面的入射光线，再利用小l公式求解最终的 l’2和u2 ’ 将第一个折射面像空间参数转化为第二个折射面物空间参数，称为转面公式。 O1 O2 n2’ n1’=n2 u2’ u1’=u2 l2’ d1 l2 l1’ A1’=A2

Engineering Optics  Dr. F. Guo  Qingdao TECH  Spring 2013 推而广之，如果有 k 个折射球面，也必须先给定光学系统的结构参数： （1）每个球面的曲率半径 r1，r2……rk （2）每个球面间隔 d1，d2……dk （3）每个球面间介质折射率 n1，n’1= n2， n’2= n3 …… n’k-1= nk ，最后一个面后的折射率为n’k. i i+1 Engineering Optics  Dr. F. Guo  Qingdao TECH  Spring 2013

反复应用小 l 公式进行计算，此时，前一个面的像空间就是后一个面的物空间。 参数关系： ※ 上述公式为共轴球面系统近轴光线计算的转面公式，它对于宽光束成像也适用，只需将小写字母u 和 l换成大写即可。

将公式 两式中对应项相乘，可得： 由于： 有： 这就是光线高度转面公式 的一般形式，在计算时如u1 和 h1 已知，则可算出 hk 和 u’k

拉赫公式 这说明，拉赫不变量不仅对于一个面的物像空间，而且对于整个系统的每一个面都是不变量。 由第一面，有拉赫公式 同样第二面，有 而 所以有 这说明，拉赫不变量不仅对于一个面的物像空间，而且对于整个系统的每一个面都是不变量。 利用这一点，我们可以对计算结果进行检验

（一）横向放大率 三、放大率公式 由于 y’1=y2 , y’2=y3……上式可以写成： 整个系统的横向放大率是各个折射面放大率的乘积

Engineering Optics  Dr. F. Guo  Qingdao TECH  Spring 2013 若将 代入，可得： 由拉赫公式 还可得到： Engineering Optics  Dr. F. Guo  Qingdao TECH  Spring 2013

（二）轴向放大率 对转面的一般公式进行微分后，可得： 说明整个光学系统的轴向放大率是各个折射面放大率的乘积

角放大率 根据转面的一般公式可变换为： 三者关系 很明显，为：

§2.4.3 计算实例 l =-100, h=10

§2.4.3 计算实例

Engineering Optics  Dr. F. Guo  Qingdao TECH  Spring 2013 §2.4.3 计算实例 Engineering Optics  Dr. F. Guo  Qingdao TECH  Spring 2013

Engineering Optics  Dr. F. Guo  Qingdao TECH  Spring 2013 §2.4.3 计算实例 Engineering Optics  Dr. F. Guo  Qingdao TECH  Spring 2013

§2.4.3 计算实例

§2.4.3 计算实例

§2.4.3 计算实例