第1讲 集合与映射的有关概念 掌握以下主要内容: 1.集合、子集、幂集、n元组和笛卡尔积. 2.映射的定义及性质. 3.逆映射. 4.复合映射.

《离散数学》 (Discrete Mathematics) 《离散数学》(第二版), 邓辉文 编著 清华大学出版社, 2010 ISBN 978-7-302-13711-5 《离散数学习题解答》(第二版), 邓辉文 编著, 清华大学出版社, 2010 ISBN 978-7-302-13712-2

离散数学研究的对象: 离散量及其之间的关系. 离散量与连续量及其之间的转换. 现今计算机的处理对象是非常特殊的离散量: 0和1. 学习离散数学的目的: 1.培养各种能力. 2.为后继专业课程的学习作知识上的准备.

离散数学的基本内容: 5.组合计数(Chapter 8) 1.集合与关系 Chapter 1 集合、映射与运算 Chapter 2 关系 2.数理逻辑 Chapter 3 命题逻辑 Chapter 4 谓词逻辑 3.代数结构(Chapter 5 ) 4.图论 Chapter 6 图论 Chapter 7 几类特殊的图 5.组合计数(Chapter 8)

学习离散数学的方法: 参考文献: 1.听视频讲座. 2.看网络课件. 3.作业. 4.网络课件中的12套模拟试题. 耿素云 屈婉玲,离散数学(修订版),高等教育出版社, 2004. Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications (Fourth Edition), McGraw-Hill Companies, Inc.1998.(有中译本,2002)

Chapter 1 Sets, Mappings and Operations 集合是现代数学的最基本概念(?). 映射又称为函数, 它是现代数学的基本概念, 可以借助于集合下定义. 运算本质上是映射, 但其研究有其特殊性. 集合、映射、运算及关系(Chapter 2)是贯穿于本书的一条主线.

1.1 集合的有关概念 1. 集合 集合(用处?)已渗透到自然科学以及社会科学的各个研究领域, 在信息的表示及处理中,可以借助于集合去实现数据的删节、插入、排序以及描述数据间的关系. 在一定范围内, 集合(set)是其具有某种特定性质的对象汇集成的一个整体, 其中的每一个对象都称为该集合的元素(element). 这里所指范围是全集U(见图1-1).(避免悖论!) 在数学中常用{ }表示整体. 若x是集合A中元素,则记xA, 否则xA.

常见的数的集合用正+黑体字母表示: N是自然数集合,包括数0；Z是整数集合；Q是有理数集合；R是实数集合；C是复数集合. 表示集合的常用方法: (1)列举法:{0, 2, 4, 6, 8}, N = {0, 1, 2, 3, …}. (2)描述法:{x|x满足的条件}. (3)递归法 自然数集合N可递归定义, 在后面章节定义命题公式及谓词公式时还会用此法. 有限集合A的元素个数|A|.

Remarks 1.集合中的元素可以是集合, 例如A = {a, {a, b}, b, c}. 2.集合之间的元素原则上是没有次序的, 如 A = {a, {a, b}, b, c}就是 {a, b, c , {a, b}}; 3.集合中的元素原则上不重复, 如{a, {a, b}, b, b, c}还是集合A. 不含有任意元素的集合称为空集, 记为或{ }.

2.子集 A  B, 特别地是任意集合的子集. A = B. Theorem 1-2(P3) (1) A  A. (2) A  B, B  A  A = B. (3) A  B, B  C  A  C. Theorem 1-3 A = B  A  B 且 B  A.

注意 与  的不同. 例1-2 由A  B, B C可否得出A  C? Solution 不成立,例如A = {a, b}, B = {a, b, c}, C = {a, {a, b, c}}. 课堂练习: 4, 5. 3. 幂集 X = {a, b}  P(X) = {, {a}, {b}, {a, b}}. P(P()) = P({}) = {, {}}(P5, 6(1)). , {}, {{}}(P5, 2)

Theorem 1-4 Proof 由乘法原理证明? 4.n元组 Def 1-4 将n个元素(?)x1, x2,…, xn按一定顺序排列就得到一个n元(有序)组. 在数据结构中就是一个线性表.

n = 2: (x, y). n = 3: (x, y, z) 显然, 一般说来(x, y)  (y, x). 注意区别(a, b, c), ((a, b), c), (a, (b, c))的不同.

n维向量是n元组, 长度为n的线性表是n元组, 抽象数据结构Data_Structure = (D, S) 本身是一个2 元组. 2元组常称为有序对或序偶. 5.笛卡儿积

CAB = {(, a, 1), (, b, 1), (, a, 2), (, b, 2)}. 例1-4(P4) 设A = {a, b}, B = {1, 2}, C = {}, 求AB, BA, BC, CAB. Solution BC = {(1, ), (2, )} CAB = {(, a, 1), (, b, 1), (, a, 2), (, b, 2)}.

Remark   A = A   = . P5, 10? Theorem Hint 可推广到更多个集合的笛卡儿积的情形:

1.2 映射的有关概念 1.映射的定义 映射=函数(高数中?),它也是现代数学中的基本概念,要求我们在各学科中都要会使用映射的观点. 函数在信息科学中得到了充分的应用,大家熟悉的C语言是一种函数型语言. Def A B

函数的表示: 函数符号的选取. 注意区别函数f与函数表达式f(x). 映射的两个特点: (1)解析式 (2)图形 (3)表格(数值计算中出现较多) 函数符号的选取. 注意区别函数f与函数表达式f(x). 映射的两个特点: (1)全函数; (2)唯一性.

B上A: 例1-5 Theorem 1-6 注意B上A的记号与该结论的关系. x1 x2 x3 y1 y2

X f(X) f-1(Y) Y

n元函数(n 1): n = 0: C语言中的无参函数?

2.映射的性质 (1)单射

(2)满射 例如, 是Z到N的满射, 但不是Z到Z的满射(?).

(3)双射 双射又称为一一对应:既单又满. 例1-8 例1-9(P8)

Def 1-11 有限集合A上自身的双射称为A上的置换(permutation). 例1-10 Def 1-11 有限集合A上自身的双射称为A上的置换(permutation). A = {1, 2, 3, 4}上的所有置换有多少个? 4! 1 2 3 1 2 3

设f: AB, 将对应关系f逆转(改变方向), 一般来说, 不能得到B到A的映射: 3. 逆映射 设f: AB, 将对应关系f逆转(改变方向), 一般来说, 不能得到B到A的映射: Def 1-12 设f: AB, 若将对应关系f逆转后能得出一个得到B到A的映射, 则称该映射为f的逆映射, 记为f-1. a b c 1 2 3

Theorem 1-7 f 的逆映射存在的充要条件是f是双射. 对于y = sin x, 当 时, 有反函数, 常记为 当 时, y = sin x仍有反函数, 但不能 记为arcsin. 显然, 当 时, 无反函数.

4. 复合映射 设f: A  B, g: B  C: 例1-12 a b c 1 2 3    

例1-13(P9) f: RR, f(x) = x2, g: RR, g(x) = x + 2, 求f◦g和g◦f. Solution x  R: (f◦g)(x) = g(f(x)) = g(x2) = x2 + 2. (g◦f)(x) = f(g(x)) = f(x+2) = (x+2)2. Remark f◦g  g◦f.

Theorem 1-9 Theorem 1-10 (1)若f和g是单射, 则f◦g是单射. (2)若f和g是满射, 则f◦g是满射. (3)若f和g是双射, 则f◦g是双射. Proof (2)任意z  C, 由于g是满射, 存在y  B, 使得z = g(y). 又由于f是满射, 存在x  A, 使得y = f(x). 于是z = g(y) = g(f(x)) = (f◦g)(x). 故f◦g是满射(see below).

Theorem 1-11 (1)若f◦g是单射, 则f是单射, g不一定. (2)若f◦g是满射, 则g是满射, f 不一定. (3)若f◦g是双射, 则f是单射且g是满射. Proof (1)任意x1, x2 A, 若f(x1) = f(x2),

显然, g(f(x1)) = g(f(x2)), 即(f◦g)(x1) = (f◦g)(x2). 由于f◦g是单射, 因此 x1 = x2 显然, g(f(x1)) = g(f(x2)), 即(f◦g)(x1) = (f◦g)(x2). 由于f◦g是单射, 因此 x1 = x2. 故f是单射. g不一定(见上图)?

一般来说f◦g  g◦f, 但 Theorem 1-12