第四节 基--2按频率抽取的FFT算法Decimation-in-Frequency(DIF) (Sander-Tukey)

一、算法原理 设输入序列长度为N=2M(M为正整数，将该序列的频域的输出序列X(k)(也是M点序列，按其频域顺序的奇偶分解为越来越短的子序列，称为基2按频率抽取的FFT算法。也称为Sander-Tukey算法。

二、算法步骤 1.分组 DFT变换： 已证明频域上X(k)按k的奇偶分为两组，在时域上x(n)按n的顺序分前后两部分，现将输入x(n)按n的顺序分前后两部分: 前半子序列x(n),0≤n≤N/2-1; 后半子序列x(n+N/2),0≤n≤N/2-1; 例：N=8时，前半序列为：x(0),x(1),x(2),x(3); 后半序列为： x(4),x(5),x(6),x(7); 则由定义输出（求DFT）

2.代入DFT中

3. 变量置换--1

3. 变量置换--2

3. 变量置换--3

3. 变量置换--4

4.结论1 一个N点的DFT被分解为两个N/2点DFT。X1(k),X2(k)这两个N/2点的DFT按照：

4.结论2

三、蝶形流图表示 蝶形单元：时域中，前后半部表示式用蝶形结表示。 x(n) x(n+N/2) 与时间抽取法的推演过程一样，由于N=2L,N/2仍为偶数，所以可以将N/2点DFT的输出X(k)再分为偶数组和奇数组，这样就将一个N/2点的DFT分成两个N/4点DFT的输入，也是将N/2点的DFT的输入上、下对半分后通过蝶形运算而形成，直至最后为2点DFT。

例子：求 N=23=8点DIF （1）先按N=8-->N/2=4，做4点的DIF： 先将N=8DFT分解成2个4点DFT： 可知：时域上：x(0),x(1),x(2),x(3)为偶子序列 x(4),x(5),x(6),x(7)为奇子序列 频域上：X(0),X(2),X(4),X(6)由x1(n)给出 X(1),X(3),X(5),X(7),由x2(n)给出

将N=8点分解成2个4点的DIF的信号流图 前半部分序列 X1(k) x1(n) x(0) x(1) x(2) x(3) 4点 DFT 后半部分序列 x(4) x(5) x(6) x(7) 4点 DFT X(1) X(3) X(5) X(7)

(2)N/2(4点)-->N/4(2点)FFT (a)先将4点分解成2点的DIF：

（b)一个2点的DIF蝶形流图 X(0) X(4) X(2) X(6) x3(0) x1(0) 2点DFT x1(1) x3(1)

(c)另一个2点的DIF蝶形流图 X(1) X(5) X(3) X(7) x5(0) x2(0) 2点DFT x2(1) x5(1)

(3)将N/4（2点）DFT再分解成2个1点的DFT (a)求2个一点的DFT 最后剩下两点DFT,它可分解成两个一点DFT，但一点DFT就等于输入信号本身，所以两点DFT可用一个蝶形结表示。取x3(0)、x3(1)为例。

(b)2个1点的DFT蝶形流图 X(0) 1点DFT x3(0) X(4) x3(1) 1点DFT 进一步简化为蝶形流图： X(0)

(4)一个完整N=8的按频率抽取FFT的运算流图 m=2 m=1 X(0) X(4) X(2) X(6) X(1) X(5) X(3) X(7) m=0 x(0) x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7)

(5)DIF的特点 (a)输入自然顺序，输出乱序且满足码位倒置规则。 (b)根据时域、频域互换，可知： 输入乱序，输出自然顺序。

（6）DIF与DIT比较1 相同之处： （1）DIF与DIT两种算法均为原位运算。 （2）DIF与DIT运算量相同。 它们都需要

（6）DIF与DIT比较2 不同之处： （1）DIF与DIT两种算法结构倒过来。 DIT为输入乱序，输出顺序。先运行“二进制倒读”程序，再进行求DFT。 （2）DIF与DIT根本区别：在于蝶形结不同。 DIT的复数相乘出现在减法之前。 DIF的复数相乘出现在减法之后。

作业 试画出N=16点的基-2按频率抽取的FFT流图（DIF）。

第五节IFFT运算方法 以上所讨论的FFT的运算方法同样可用于IDFT的运算，简称为IFFT。即快速付里叶反变换。从IDFT的定义出发，可以导出下列二种利用FFT来计算FFT的方法。

一、利用FFT计算IFFT的思路1 将下列两式进行比较

二、利用FFT计算IFFT的思路2 利用FFT计算IFFT时在命名上应注意： (1)把FFT的时间抽取法，用于IDFT运算时，由于输入变量由时间序列x(n)改成频率序列X(k),原来按x(n)的奇、偶次序分组的时间抽取法FFT，现在就变成了按X(k)的奇偶次序抽取了。 （2）同样，频率抽取的FFT运算用于IDFT运算时，也应改变为时间抽取的IFFT。

三、改变FFT流图系数的方法 1.思路 在IFFT的运算中，常常把1/N分解为(1/2)m，并且在M级运算中每一级运算都分别乘以1/2因子，就可得到IFFT的两种基本蝶形运算结构。（并不常用此方法）

2.IFFT的基本蝶形运算 A A B B (b)时间抽取IFFT的蝶形运算 (a)频率抽取IFFT的蝶形运算

四.直接利用FFT流图的方法 1.思路 前面的两种IFFT算法，排程序很方便，但要改变FFT的程序和参数才能实现。

2.直接利用FFT流图方法的推导 此为DFT可用FFT程序 可知：只须将频域成份一个求共轭变换，即（1）将X(k)的虚部乘以-1，即先取X(k)的共轭，得X*(k)。(2)将X*(k)直接送入FFT程序即可得出Nx*(n)。(3)最后再对运算结果取一次共轭变换，并乘以常数1/N，即可以求出IFFT变换的x(n)的值。

3.直接利用FFT流图方法的注意点 （1）FFT与IFFT连接应用时，注意输入输出序列的排列顺序，即应注意是自然顺序还是倒序。 （2）FFT和IFFT共用同一个程序时，也应注意利用FFT算法输入输出的排列顺序，即应注意自然顺序还是例位序 （3）当把频率抽取FFT流图用于IDFT时，应改称时间抽取IFFT流图。 （4）当把时间抽取FFT流图用于IDFT时，应改称频率抽取IFFT流图。

作业 用C语言完成N=128点的DIT，DIF及IDIT，IDIF。

第六节 线性调频Z变换

一、引入 以上提出FFT算法，可以很快地求出全部DFT值。即求出有限长序列x(n)的z变换X(z)在单位园上N个等间隔抽样点zk处的抽样值。它要求N为高度复合数。即N可以分解成一些因子的乘积。例N=2L 实际上：（1）也许对其它围线上z变换取样发生兴趣。如语音处理中，常常需要知道某一围线z变换的极点所处的复频率。 （2）只需要计算单位圆上某一段的频谱。如窄带信号，希望在窄带频率内频率抽样能够非常密集，提高分辨率，带外则不考虑。 （3）若N是大素数时，不能加以分解，又如何有效计算这种序列DFT。例N=311，若用基2则须补N=28=512点，要补211个零点。

二、问题提出 由上面三个问题提出： 为了提高DFT的灵活性，须用新的方法。 线性调频z变换(CZT)就是适用这种更为一般情况下，由x(n)求X(zk)的快速变换 CZT：来自于雷达专业的专用词汇。

三、算法原理 1.定义 Z 变 换 采 用 螺 线 抽 样, 可 适 用 于 更 一 般 情 况 下 由 x(n) 求X(zk) 的 快 速 算 法, 这 种 变 换 称 为 线 性 调 频 Z 变 换 ( 简 称 CZT ).

2.CZT公式推导1 已 知 x(n) ，0≤n≤N-1,则它的z变换是： 为适应z可以沿平面内更一般的路径取值，故： 沿z平面上的一段螺线作等分角的抽样，则z的取样点Zk可表示为： 其中M：表示欲分析的复频谱的点数。M不一定等于N。A， 都为任意复数。

2.CZT公式推导2

2.CZT公式推导3

3.用CZT求解DFT的流图

4.CZT变换各点的值

5、图形

6、说明1 （1）A为起始样点位置

6、说明2 （2）zk是z平面一段螺线上的等分角上某一采样点。

6、说明3

6、说明4

6、说明5

7、CZT的实现步骤1

7、CZT的实现步骤2

7、CZT的实现步骤3

7、CZT的实现步骤4

7、CZT的实现步骤5

7、CZT的实现步骤6

7、CZT的实现步骤7

8、CZT变换运算流程图

9、CZT运算量的估算1

9、CZT运算量的估算2

10、CZT运算量与直接运算量比较 当M、N足够小时，直接算法运算量少。 但M、N值比较大时（大于50），CZT算法比直接算法的运算量少得多。 例M=50，N=50，N*M=2500次 而CZT<1600次。

11、CZT算法的特点 与标准FFT算法相比，CZT算法有以下特点： （1）输入序列长N及输出序列长M不需要相等。 （3）Zk的角间隔 是任意的，其频率分辨率也是任意的。 （4）周线不必是z平面上的圆，在语音分析中螺旋周线具有某些优点。 （5）起始点z0可任意选定，因此可以从任意频率上开始对输入数据进行窄带高分辨率的分析。 （6）若A=1,M=N,可用CZT来计算DFT，即使N为素数时，也可以。 总之，CZT算法具有很大的灵活性，在某种意义上说，它是一个一般化的DFT。

12、CZT变换的应用1 （1）利用CZT变换计算DFT。

12、CZT变换的应用2 （2）对信号的频谱进行细化分析。其中对窄带信号频谱或对部分感兴趣的频谱进行细化分析。

12、CZT变换的应用3 （3）求解z变换X(z)的零、极点。 用于语音信号处理过程中。 具体方法：利用不同半径同心圆，进行等间隔的采样。

作业

第七节FFT的应用 凡是利用付里叶变换来进行分析、综合、变换…的地方，都可以利用FFT算法来减少其计算量。 FFT主要应用在 （1）快速卷积 （2）快速相关 （3）频谱分析

一、快速卷积 设x(n)的长度为N点，h(n)的长度为M点，则： y(n)的长度为N+M-1点。所以直接计算y(n)线性卷积运算量为NM。

1.利用圆周卷积代替线卷积 用圆周卷积（FFT）代替线卷积的必要条件：x(n)、h(n)补零加长至L=N+M-1. 然后计算圆卷积。求出y(n)代表线卷积。

2、用FFT计算y(n)的步骤 (1)求H(k)=DFT[h(n)] (L点） (2)求X(k)=DFT[x(n)] (L点） (3)计算Y(k)=X(k)H(k) (L点） (4)求y(n)=IDFT[Y(k)] (L点）

2、用FFT计算y(n)与直接计算y(n)的运算量比较

3、分段卷积的方法 （1）重叠相加法 （2）重叠保留法 设x(n)的长度为长序列N，h(n)为短序列列M。

（1）重叠相加法1 （1）x(n)为分段，每段长为p点，p选择与M数量组相同。用xi(n)表示x(n)的第i段.

（1）重叠相加法2

（1）重叠相加法例子

（2）重叠保留法1

（2）重叠保留法2

（2）重叠保留法例子

二、快速相关 1.方法

2.步骤

三、频谱分析 这里我们仅介绍FFT的仪器设备：快速付里叶分析仪。 其功能为： （1）能分析确定性信号的频谱。 （2）估计随机信号的功率谱 （3）并对信号进行快速卷积滤波 （4）计算相关函数

1.频谱分析仪的框图 数据选择器 数据存储器 运算器 数据选择器 A/D 输出缓冲器 控制器 保护滤波器 变址单元 函数发生器 D/A 输入电路 输出 输入

2.部件说明 （1）保护滤波器：对输入信号进行模拟滤波，滤掉噪声，提取感兴趣的有用信号，以便分析频谱。 （2）运算器：完成时间抽取FFT或Chirp-Z变换所要求运算。 （3）RAM:存储输入数据。 （4）ROM(函数发生器）。以表格形式存放蝶形运算因子W. (5)变址单元：根据输入数据，进行码位倒置排序。