第 6 章 简单的超静定问题 §6-1 超静定问题及其解法 §6-2 拉压超静定问题 §6-3 扭转超静定问题 §6-4 简单超静定梁

§6-1 超静定问题及其解法 Ⅰ. 关于超静定问题的概述 (b)

(b) 图a所示静定杆系为减小杆1 ,2中的内力或节点A的位移(如图b)而增加了杆3。此时有三个未知内力FN1 ,FN2 ,FN3，但只有二个独立的平衡方程── 一次超静定问题。

超静定问题(statically indeterminate problem)：单凭静力平衡方程不能求解约束力或构件内力的问题。 FA FB l (a) FAx A B q (b) l/2 C FC 图a所示简支梁为减小内力和位移而如图b增加了中间支座C成为连续梁。此时有四个未知约束力FAx, FA, FB, FC，但只有三个独立的静力平衡方程── 一次超静定问题。 超静定问题(statically indeterminate problem)：单凭静力平衡方程不能求解约束力或构件内力的问题。

Ⅱ. 解超静定问题的基本思路 例1 解除“多余”约束 (例如杆3与接点A的连接) 基本静定系(primary statically determinate system) 解除“多余”约束 (例如杆3与接点A的连接)

在基本静定系上加上原有荷载及“多余”未知力 并使“多余”约束处满足变形(位移)相容条件 相当系统 (equivalent system) 1 2 B C A F FN3 D

由位移相容条件 ，利用物理关系(位移或变形计算公式)可得补充方程： 1 2 B C A F FN3 FN3 A D 由位移相容条件 ，利用物理关系(位移或变形计算公式)可得补充方程： 于是可求出多余未知力FN3 。

例2 补充方程为 于是可求出多余未知力FC。 基本静定系统 超静定梁 位移相容条件ΔCq+ΔCFc=0 相当系统 y x l/2 C A B

Ⅲ. 注意事项 (1) 超静定次数=“多余”约束数=“多余”未知力=位移相容条件数=补充方程数，因而任何超静定问题都是可以求解的。 (2) 求出“多余”未知力后，超静定结构的内力和位移等均可利用相当系统进行计算。 (3) 无论怎样选择“多余”约束，只要相当系统的受力情况和约束条件确实与原超静定系统相同，则所得最终结果是一样的。

(4) “多余”约束的选择虽然是任意的，但应以计算方便为原则。 (4) “多余”约束的选择虽然是任意的，但应以计算方便为原则。 如上所示连续梁若取B处铰支座为“多余”约束，则求解比较复杂。 y x l/2 C A B q x l/2 C A B q FB

§6-2 拉压超静定问题 Ⅰ. 拉压超静定基本问题 举例说明拉压超静定问题的解法。

例题 6-1 求图a所示等直杆AB的约束力，并求C截面的位移。杆的拉压刚度为EA。

例题 6-1 1. 有两个未知约束力FA , FB（图a），但只有一个独立的平衡方程 FA＋FB－F=0 故为一次静不定问题。

例题 6-1 2. 取固定端B为“多余”约束，FB为多余未知力。相当系统如图b所示，它应满足相容条件为DB＝0，利用叠加法得DBF+DBB=0，参见图c ， d 。

例题 6-1 3. 利用胡克定律后可得补充方程为 由此求得 所得FB为正值，表示FB的指向与假设的指向相符，即向上。

例题 6-1 4. 由平衡方程 FA+FB-F=0 得 FA=F-Fa/l=Fb/l。 5. 利用相当系统（图b）求得DC。

例题 6-1 拉压超静定问题的相当系统应满足变形的相容条件，本例的相容条件为DlAC+DlBC＝0。因为变形和位移在数值上密切相关，可用已知的位移条件DB＝0代替相容条件。 2.小变形的情况下，利用叠加法求位移时，均是利用构件的原始尺寸进行计算的，所以DBB＝FBl/EA，而不用DBB＝FB(l+DBF)/EA' ，A'为在F力作用下变形后横截面的面积。

例题 6-2 求图a所示结构中1, 2, 3杆的内力FN1 , FN2 , FN3。AB杆为刚性杆，1, 2 , 3杆的拉压刚度均为EA。 例题 6-2 求图a所示结构中1, 2, 3杆的内力FN1 , FN2 , FN3。AB杆为刚性杆，1, 2 , 3杆的拉压刚度均为EA。 a A C D B 1 3 2 E F (a)

例题 6-2 1. 共有五个未知力，如图b所示，但只有三个独立的静力平衡方程，故为二次静不定问题。 解： FN2 45o F FAy FAx 例题 6-2 解： 1. 共有五个未知力，如图b所示，但只有三个独立的静力平衡方程，故为二次静不定问题。 FN2 45o F FAy FAx FN1 FN3 (b) a A C B D

例题 6-2 2. 取1杆和2杆为AB杆的多余约束，FN1和FN2为多余未知力。得基本静定系如图c。 C F 3 (c) A B

例题 6-2 3. 由变形图（图d）可得变形相容条件为 (1) (2) FN2 D Dl2 F (d) FN1 C Dl1 E A Dl3 例题 6-2 3. 由变形图（图d）可得变形相容条件为 (2) (1) FN2 D Dl2 F (d) FN1 C Dl1 E A Dl3 B 3 C' D' 45o C1

例题 6-2 4. 利用胡克定律，由(1)(2)式可得补充方程： 解得 FN1=2FN3, (3) FN2=2FN1=4FN3 (4) 例题 6-2 4. 利用胡克定律，由(1)(2)式可得补充方程： 解得 FN1=2FN3, (3) FN2=2FN1=4FN3 (4) FN2 D Dl2 F (d) FN1 C Dl1 E A Dl3 B 3 C' D' 45o C1

例题 6-2 5. AB杆受力如图b所示，ΣMA=0得 联立求解得 FN2 45o F FAy FAx FN1 FN3 (b) a A C 例题 6-2 5. AB杆受力如图b所示，ΣMA=0得 联立求解得 FN2 45o F FAy FAx FN1 FN3 (b) a A C B D

II. 装配应力和温度应力 (1) 装配应力 超静定杆系(结构)由于存在“多余”约束，因此如果各杆件在制造时长度不相匹配，则组装后各杆中将产生附加内力──装配内力，以及相应的装配应力。

(a) 图a中所示杆系(E1A1=E2A2)中杆3的长度较应有长度短了De，装配后各杆的位置将如图中虚线所示。此时，杆3在结点 A' 处受到装配力FN3作用(图b)，而杆1,2在汇交点A' 处共同承受与杆3相同的装配力FN3作用(图b)。

求算FN3需利用位移(变形)相容条件(图a) 列出补充方程 由此可得装配力FN3，亦即杆3中的装配内力为 (拉力）

而杆1和杆2中的装配内力利用图b中右侧的图可知为 至于各杆横截面上的装配应力只需将装配内力(轴力)除以杆的横截面面积即得。 由此可见，计算超静定杆系(结构)中的装配力和装配应力的关键,仍在于根据位移(变形)相容条件并利用物理关系列出补充方程。

两根相同的钢杆1、 2，其长度l =200 mm，直径d =10 mm。两端用刚性块连接在一起如图a所示。将长度为200 两根相同的钢杆1、 2，其长度l =200 mm，直径d =10 mm。两端用刚性块连接在一起如图a所示。将长度为200.11 mm，亦即De=0.11 mm的铜杆3（图b）装配在与杆1和杆2对称的位置(图c)，求各杆横截面上的应力。已知：铜杆3的横截面为20 mm×30 mm的矩形，钢的弹性模量E=210 GPa，铜的弹性模量E3=100 GPa。 例题 6-3

例题 6-3 解： 1. 装配后有三个未知的装配内力FN1, FN2 , FN3，如图d所示。但平行力系只有二个独立的平衡方程，故为一次静不定问题。也许有人认为，根据对称关系可判明FN1=FN2，故未知内力只有二个，但要注意此时就只能利用一个独立的静力平衡方程： (d) 所以这仍然是一次静不定问题。

例题 6-3 2. 变形相容条件(图c)为 这里的Dl3是指杆3在装配后的缩短值，不带负号。

例题 6-3 3. 利用胡克定律由(2)式得补充方程

例题 6-3 4. 联立求解(1)和(3)式得 所得结果为正，说明原先假定杆1、2的装配内力为拉力和杆3的装配内力为压力是正确的。

例题 6-3 5. 各杆横截面上的装配应力如下： （拉应力） （压应力）

例题 6-3 求装配内力也是求解静不定问题，其关键仍是根据相容条件建立变形几何方程。 例题 6-3 求装配内力也是求解静不定问题，其关键仍是根据相容条件建立变形几何方程。 以上计算结果表明，很小的制造误差，却产生较大的装配应力，从而使构件的承载能力降低。因此，要尽量提高加工精度，减小装配应力的不利影响。

(2) 温度应力 也是由于超静定杆系存在“多余”约束，杆件会因温度变化产生的变形受到限制而产生温度内力及温度应力。铁路上无缝线路的长钢轨在温度变化时由于不能自由伸缩，其横截面上会产生相当可观的温度应力。

例题 6-4 两端与刚性支承连接的等截面杆如图a所示。试求当温度升高Dt 时横截面上的温度应力。杆的横截面面积为A，材料的弹性模量为E，线膨胀系数为l。

例题 6-4 解： 1. 若AB杆仅A端固定，B端无约束，当温度升高时，只会产生纵向伸长Dlt，而不会产生内力。当A、B均为固定端时， Dlt受到约束不能自由伸长，杆端产生约束力FA和FB。两个未知力，一个平衡方程，为一次静不定问题。 (b)

例题 6-4 (c) (d) 2. 以刚性支撑B为“多余”约束，FB为多余约束未知力，设基本静定系由于温度升高产生的伸长变形Dlt，由“多余”未知力FB产生的缩短变形DlF分别如图c、d所示。

例题 6-4 3. 变形相容条件是杆的总长度保持不变，即 (c) (d)

例题 6-4 4. 将(2)式代入(1)，得 (2) 补充方程为 (3) (c) (d)

例题 6-4 5. 由(3)式解得 (c) (d)

例题 6-4 6. 杆的横截面上的温度应力为 (c) (d)

例题 6-4 若该杆为钢杆。l =1.2×10-5/(˚C)， E=210 × 109Pa，则当温度升高Dt =40˚时有 （压应力）

§6-3 扭转超静定问题 例题 6-5 两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C处受扭转力偶矩Me作用，如图a所示。已知杆的扭转刚度为GIp。试求杆两端的反力偶矩以及C截面的扭转角。

例题 6-5 (b) MA MB 解： 1. 有二个未知的反力偶矩MA， MB，但只有一个独立的静力平衡方程 故为一次超静定问题。

例题 6-5 (c) 2. 以固定端B为“多余”约束，反力偶矩MB为“多余”未知力。在基本静定系上加上荷载Me和“多余”未知力偶矩MB(如图c)；它应满足的位移相容条件为B截面的扭转角jB=0，利用叠加法可得

例题 6-5 3. 根据位移相容条件并利用物理关系得补充方程 求得 可由平衡方程求得为

例题 6-5 (c) 4. 杆的AC段横截面上的扭矩为 从而有

例题 6-6 图a所示组合杆，由半径为ra的实心铜杆和外半径为rb，内半径为ra的空心钢杆牢固地套在一起，两端固结在刚性块上，受扭转力偶矩Me作用。试求实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩Ta和Tb，并绘出它们横截面上切应力沿半径的变化情况。

例题 6-6 解： 实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩分别为Ta和Tb(图b)，但只有一个独立平衡方程 Ta+Tb= Me (1) 例题 6-6 Tb Ta Me 解： 实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩分别为Ta和Tb(图b)，但只有一个独立平衡方程 Ta+Tb= Me (1) 故为一次超静定问题。

例题 6-6 Tb Ta Me 2. 位移相容条件为实心杆和空心杆的B截面相对于A截面的扭转角相等。在图b中都用j表示（设A端固定）。

例题 6-6 Tb Ta Me 3. 利用物理关系由(2)式得补充方程为

例题 6-6 4. 联立求解(1)式和(3)式得： Tb Ta Me

例题 6-6 5. 实心铜杆横截面上任意点的切应力为 空心钢杆横截面上任意点的切应力为 切应力沿半径的变化情况如图c所示。 (c) ra 例题 6-6 5. 实心铜杆横截面上任意点的切应力为 空心钢杆横截面上任意点的切应力为 ra rb (c) 切应力沿半径的变化情况如图c所示。

例题 6-6 由图c可见，在r = ra处，ta<tb，这是因为 Ga < Gb 。在r = ra处，两杆的切应变是相等的，即 例题 6-6 ra rb (c) 由图c可见，在r = ra处，ta<tb，这是因为 Ga < Gb 。在r = ra处，两杆的切应变是相等的，即 说明r = ra处变形是连续的。

§6-4 简单超静定梁 Ⅰ.超静定梁的解法 解超静定梁的基本思路与解拉压超静定问题相同。求解图a所示一次超静定梁时可以铰支座B为“多余”约束，以约束力FB为“多余”未知力。解除“多余”约束后的基本静定系为A端固定的悬臂梁。 基本静定系

基本静定系在原有均布荷载q和“多余”未知力FB作用下(图b)当满足位移相容条件(参见图c、d) 时该系统即为原超静定梁的相当系统。 若该梁为等截面梁，根据位移相容条件利用物理关系(参见教材中的附录Ⅳ)所得的补充方程为

从而解得“多余”未知力 所得FB为正值表示原来假设的指向(向上)正确。固定端的两个约束力利用相当系统由静力平衡条件求得为

该超静定梁的剪力图和弯矩图亦可利用相当系统求得，如图所示。 思考 1. 该梁的反弯点(弯矩变换正负号的点)距梁的左端的距离为多少？ 2. 该超静定梁可否取简支梁为基本静定系求解？如何求解？

例题 6-7 试求图a所示结构中AD杆内的拉力FN。梁AC和杆AD的材料相同，弹性模量为E； AD杆的横截面积为A，AC梁的横截面对中性轴的惯性矩为I 。

例题 6-7 解： 1.梁AC共有三个未知力(图b)FN，FB，FC ，但平面仅有两个平衡方程，故为一次超静定问题。

例题 6-7 2. 把AD杆视为梁AC的“多余”约束，相应的“多余”未知力为FN。位移(变形)相容条件为梁的A截面的挠度wA等于杆的伸长量DlDA(图b)，即wA=DlDA。

例题 6-7 3. 求wA和DlDA wA是由荷载产生的wAq(图c)和FN产生的wAF (图d)两部分组成，

例题 6-7 把图d所示外伸梁，视为由悬臂梁AB(图e)和简支梁BC(图f)两部分组成。

例题 6-7 4. 把wA和DlDA代入位移(变形)相容条件得补充方程： 由此求得

例题 6-8 试求图a所示等截面连续梁的约束反力FA , FB , FC，并绘出该梁的剪力图和弯矩图。已知梁的弯曲刚度EI=5×106 N·m2。

例题 6-8 解： 1. 该梁有三个未知力FA、 FB 、 FC ，仅有两个平衡方程。故为一次超静定问题。

例题 6-8 2. 若取中间支座B处阻止其左、右两侧截面相对转动的约束为“多余”约束，则B截面上的一对弯矩MB为“多余”未知力，相当系统如图b。

例题 6-8 相当系统的位移条件是B处两侧截面的相对转角等于零，即 3. 查关于梁位移公式的附录Ⅳ可得

例题 6-8 4. 将qB' qB''代入位移相容条件补充方程，从而解得 这里的负号表示MB的实际转向与图b中所设相反，即为MB负弯矩。

例题 6-8 5. 利用图b可得约束力分别为

例题 6-8 绘出剪力图和弯矩图分别如图c,d所示。 (c) (d) FS

例题 6-8 超静定梁多余约束的选择可有多种情况，例如，若以支座B为多余约束，FB为多余未知力，位移条件为wB=0，相当系统如图(e)所示。有如以支座C为多余约束，FC为多余未知，位移条件为wC=0，相当系统如图(f)所示。 位移条件容易计算的相当系统就是最适宜的。 (e) FB (f) FC

*II. 支座沉陷和温度变化对超静定梁的影响 超静定梁由于有“多余”约束存在，因而支座的不均匀沉陷和梁的上,下表面温度的差异会对梁的约束力和内力产生明显影响，在工程实践中这是一个重要问题。

(1) 支座不均匀沉陷的影响 图a所示一次超静定梁，在荷载作用下三个支座若发生沉陷A 、B 、C，而沉陷后的支点A1 、B1 、C1不在同一直线上时(即沉陷不均匀时)，支座约束力和梁的内力将不同于支座均匀沉陷时的值。而支座均匀沉陷时梁的约束力和内力，由于支座沉陷量与梁的跨度相比是微小的，故可认为与支座无沉陷时相同。

现按如图a中所示各支点沉陷B >C > A的情况进行分析。此时，支座B相对于支座A 、C 沉陷后的点A1 、C1 的连线有位移

于是，如以支座B1作为“多余”约束，以约束力FB为“多余”未知力，则作为基本静定系的简支梁A1C1(参见图b)在荷载 q 和“多余”未知力FB共同作用下应满足的位移相容条件就是

其中的wB按叠加原理有(参见图c、d): 于是得补充方程 由此解得

再由静力平衡方程可得

由于未知的约束力有6个，而独立的平衡方程只有3个，故为三次超静定问题。 (2) 梁的上,下表面温度差异的影响 图a所示两端固定的梁AB在温度为 t0 时安装就位，其后，由于梁的顶面温度升高至 t1，底面温度升高至 t2，且 t2>t1，从而产生约束力如图中所示。 l 由于未知的约束力有6个，而独立的平衡方程只有3个，故为三次超静定问题。

现将右边的固定端B处的3个约束作为“多余”约束，则解除“多余”约束后的基本静定系为左端固定的悬臂梁。 它在上,下表面有温差的情况下，右端产生转角qBt和挠度wBt(见图c)以及轴向位移Bt。

如果忽略“多余”未知力FBx对挠度和转角的影响，则由上,下表面温差和“多余”未知力共同引起的位移符合下列相容条件时，图b所示的悬臂梁就是原超静定梁的相当系统：

式中一些符号的意义见图c、d、e。

现在先来求qBt和wBt与梁的上,下表面温差(t2- t1)之间的物理关系。 从上面所示的图a中取出的微段dx, 当其下表面和上表面的温度由t0分别升高至t2和t1时，右侧截面相对于左侧截面的转角dq 由图b可知为 上式中的负号用以表示图a所示坐标系中该转角 dq 为负。

根据上式可知，该悬臂梁因温度影响而弯曲的挠曲线微分方程为 将此式积分，并利用边界条件 得

从而有 至于温差引起轴向位移DBt则为

位移相容条件表达式中由“多余”未知力引起的位移所对应的物理关系显然为

已得出的物理关系 位移相容条件

将以上所有物理关系代入三个位移相容条件的表达式即可解得

第六章结束