第一章 力和运动 §1-1 质点运动的描述 §1-2 圆周运动和一般曲线运动 §1-3 相对运动 常见力和基本力 §1-4 牛顿运动定律 第一章 力和运动 §1-1 质点运动的描述 §1-2 圆周运动和一般曲线运动 §1-3 相对运动 常见力和基本力 §1-4 牛顿运动定律 §1-5 伽利略相对性原理 非惯性系 惯性力

§1-1 质点运动的描述 一、质点 质点（mass point，particle）：具有质量但忽略其形状和大小的理想物体（几何点）。 把物体看作质点来处理的条件： 做平动的物体； 两相互作用着的物体，如果它们之间的距离远大于本身的线度。

能作为质点处理的物体不一定是很小的，而很小的物体未必能看成质点；同一物体在不同的问题中有时可看成质点, 有时却不能看成质点。 分析质点运动是研究实际物体复杂运动的基础。 研究地球公转 地球上各点的公转速度相差很小，忽略地球自身尺寸的影响，作为质点处理。

研究地球自转 地球上各点的速度相差很大，因此，地球自身的大小和形状不能忽略，这时不能作为质点处理。 二、参考系和坐标系 物质运动具有绝对性 描述物质运动具有相对性 参考系（reference frame）：描述物体运动时，被选作参考的物体。

要定量描述物体的位置与运动情况，就要在参考系上固定一个坐标系（coordinate system）。 常用的坐标系有直角坐标系(x, y, z)、球坐标系(r,,  )、柱坐标系(, , z )、平面极坐标系(r,)。 三、空间和时间 空间（space）反映了物质的广延性，与物体的体积和位置的变化联系在一起。 时间（time）反映物理事件的顺序性和持续性。

目前的时空范围：宇宙的尺度1026 m(~150亿光年)到微观粒子尺度10-15 m，从宇宙的年龄1018 s(~150亿年)到微观粒子的最短寿命10-24 s。

牛顿的绝对时空观 ：空间和时间是不依赖于物质的独立的客观存在。 牛 顿 爱因斯坦的相对论时空观 ：相对论时空观，时间与空间客观存在，与运动密不可分。 爱因斯坦

四、运动学方程 质点运动时，质点的位置用坐标表示为时间的函数，叫做运动学方程（kinematical equation）。 直角坐标系中表示为 例如 将运动方程中的时间消去，得到质点运动的轨迹方程。 例如，平面运动的轨迹方程可表示为

五、位矢 在坐标系中，用来确定质点所在位置的矢量，叫做位置矢量（position vector），简称位矢。位矢是从坐标原点指向质点所在位置的有向线段。 直角坐标系中表示为 位矢的大小为 位矢的方向余弦：

六、位移 设质点做曲线运动： t 时刻位于A点，位矢 ， t +t时刻位于B点，位矢 。 在t 时间内，位矢的变化量（即A 到B的有向线段）称为位移（displacement）。 在直角坐标系中：

z y x o B A s 说明 位移 和路程 s 的区别： 且 只当 时 s =AB 2. 与 r 的区别： 只当 同方向时，取等号。

七、速度 速度是反映质点运动的快慢和方向的物理量。 平均速度（average velocity）： 平均速率（average speed）: 平均速度是矢量，其方向与位移的方向相同。平均速率是标量。平均速度的大小并不等于平均速率。

瞬时速度（instantaneous velocity）： 质点在某一时刻所具有的速度（简称速度）。 瞬时速率（instantaneous speed）： 速度的方向是沿着轨道上质点所在处的切向，指向质点前进的方向。（瞬时）速度的大小等于（瞬时）速率。

直角坐标系中： 其中 速度的大小：

八、加速度 加速度是反映速度变化的物理量。 t 时间内，速度增量为 包括速度方向的变化和速度量值的变化。 平均加速度（average acceleration）：

瞬时加速度（instantaneous acceleration）： 直角坐标系中：

加速度的大小： 加速度的方向就是时间t趋近于零时，速度增量 的极限方向。加速度与速度的方向一般不同。 加速度与速度的夹角为0或180，质点做直线运动。 加速度与速度的夹角等于90，质点做圆周运动。

加速度与速度的夹角小于90，速率增大。 加速度与速度的夹角大于90，速率减小。 质点做曲线运动时，加速度总是指向轨迹曲线凹的一边

例1-1 已知质点做匀加速直线运动，加速度为a，求质点的运动学方程。 解： 对于做直线运动的质点，采用标量形式

§1-2 圆周运动和一般曲线运动 一、切向加速度和法向加速度 §1-2 圆周运动和一般曲线运动 一、切向加速度和法向加速度 在质点的运动轨迹上任一点建立如下坐标系，其中一根坐标轴沿轨迹在该点 P 的切线方向，该方向单位矢量用 表示；另一坐标轴沿该点轨迹的法线并指向曲线凹侧，相应单位矢量用 表示，这种坐标系就叫做自然坐标系（natural coordinates）。 沿轨迹上各点，自然坐标轴的方位是不断地变化着的。

质点速度的方向沿着轨迹的切向，表示为

切向加速度（tangential acceleration）： 切向加速度反映速度大小的变化。 法向加速度（normal acceleration）： 法向加速度反映速度方向的变化。

加速度大小： 方向（与法向的夹角）： 上述切向加速度和法向加速度的表达式对任何平面曲线运动都适用，但式中半径R 要用曲率半径 代替。 一般地，曲线上各点处的曲率中心和曲率半径是逐点变化的，但法向加速度处处指向曲率中心。

二、圆周运动的角量描述 设质点在Oxy平面内绕O点、沿半径为 R 的轨道做圆周运动，以 Ox 轴为参考方向。 角位置（angular position）：  角位移（angular displacement）：  (rad) （ 规定反时针转向为正） 角速度（angular velocity）：

角加速度（angular acceleration）： 匀变速圆周运动 （角量描述） 匀变速直线运动 （线量描述） 式中、0、、0 和 分别表示角位置、初角位置、角速度、初角速度和角加速度。

质点做圆周运动时，线量（速度、加速度）和角量（角速度、角加速度）之间，存在着一定的关系： 圆周运动中，法向加速度也叫向心加速度。

例1-2 计算地球自转时地面上各点的速度和加速度。 解： 地球自转周期 T=246060 s，角速度大小为 地面上纬度为 的P点，其圆周运动的半径为 P点速度的大小为 速度的方向与运动圆周相切。

P点只有运动平面上的向心加速度，其大小为 如已知北京的纬度是北纬3957，则

例1-3 一飞轮边缘上一点所经过的路程与时间的关系为 ，v0、b 都是正的常量。（1）求该点在时刻t 的加速度。（2）t 为何值时，该点的切向加速度与法向加速度的大小相等？已知飞轮的半径为R。 解： （1）该点的速率为 该点做匀变速圆周运动。 切向加速度为 法向加速度为

t 时刻该点的加速度为 加速度的方向与速度的夹角为 （2）切向加速度与法向加速度的大小相等，即

四、抛体运动（projectile motion）的矢量描述 以抛射点为坐标原点建立坐标系，水平方向为 x 轴，竖直方向为 y 轴。设抛出时刻 t =0的速率为v0，抛射角为 ，则初速度分量分别为 O y x 加速度恒定为 故任意时刻的速度为

运动学方程为 可见，抛体运动可看作是由水平方向的匀速直线运动与竖直方向的匀变速直线运动叠加而成。 运动的分解可有多种形式，上述运动学方程又可写为 可见，抛体运动也可以分解为沿抛射方向的匀速直线运动与竖直方向的自由落体运动。

抛体运动的轨迹方程为 （抛物线运动） 令y = 0 ，得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标 ， 它就是射程（range）： 根据轨迹方程的极值条件，求得最大射高为

§1-3 相对运动 常见力和基本力 一、相对运动 考虑两个相对运动为平动的参考系，分别建立坐标系 和 ，设 为对O的位矢。 对于同一个质点 P ，任意时刻在两个坐标系中的位置矢量分别为 和 ，则有 上式成立的条件： 空间绝对性 时间绝对性 构成经典力学的绝对时空观。

因此， 即 称为伽利略（坐标）变换式（Galilean transformation）

对时间 t 求导，可得质点在两个坐标系中的速度关系： 即 称为（伽利略）速度变换式。 注意：上述速度变换式只适用于低速运动的物体。

速度关系对时间 t 求导，可得质点在两个坐标系中的加速度关系： 称为（伽利略）加速度变换式。

例1-4 某人骑摩托车向东前进，其速率为10 ms-1时觉得有南风，当其速率为15 ms-1时，又觉得有东南风，试求风的速度。  45 取风为研究对象，骑车人和地面作为两个相对运动的参考系。 解： 根据速度变换公式：

由图中的几何关系：  45 风速的大小： 风速的方向： 东偏北2634'

例1-5 一货车在行驶过程中，遇到5 m/s竖直下落的大雨，车上紧靠挡板平放有长为l=1 m的木板。如果木板上表面距挡板最高端的距离h=1 m，问货车以多大的速度行驶，才能使木板不致淋雨？ 车在前进的过程中，雨相对于车向后下方运动，使雨不落在木板上，挡板最上端处的雨应飘落在木板的最左端的左方。 解：

例1-6 一观察者A坐在平板车上，车以10 m/s的速率沿水平轨道前进。他以与车前进的反方向呈60°角向上斜抛出一石块，此时站在地面上的观察者B看到石块沿铅垂向上运动。求石块上升的高度。 y x y´ x´ 解： 按题意作矢量图

重力是地球表面物体所受地球引力的一个分量。 二、常见力 1. 重力（gravity） 重力是地球表面物体所受地球引力的一个分量。 引力 重力 地理纬度角 g0 是地球两极处的重力加速度。 重力与重力加速度的方向都是竖直向下。

发生形变的物体，由于要恢复原状，对与它接触的物体会产生力的作用。 2. 弹力（elastic force） 发生形变的物体，由于要恢复原状，对与它接触的物体会产生力的作用。 * 弹簧的弹力： （k称为劲度系数） * 绳子的张力， 杆的张力或压力。 只有不受摩擦的轻绳上的张力才处处相等。 F a Ff * 物体间的正压力（normal force）。

3. 摩擦力（friction force） 静摩擦力（static friction force） 当物体与接触面存在相对滑动趋势时，物体所受到接触面对它的阻力，其方向与相对滑动趋势方向相反。 注：静摩擦力的大小随外力的变化而变化。 最大静摩擦力： （s 为静摩擦因数） 滑动摩擦力（sliding friction force） 当物体相对于接触面滑动时，物体所受到接触面对它的阻力，其方向与滑动方向相反。 （k 为滑动摩擦因数） 对于给定的一对接触面 ，有

4. 万有引力（universal gravitation） 存在于任何 两个物体间的相互吸引力。 牛顿万有引力定律： 其中m1和m2为两个质点的质量，r为两个质点的距离，G叫做引力常量。 引力质量与惯性质量在物理意义上不同，但是二者相等，因此不必区分。 忽略地球自转的影响物体所受的重力就等于它所受的万有引力：

三、基本力 四种基本力（或相互作用）： 万有引力、电磁力、强力、弱力 电磁力（electromagnetic force） 存在于静止电荷之间的电力以及存在于运动电荷之间的磁力，本质上相互联系，总称为电磁力。 除万有引力外，几乎是所有宏观力的缔造者。例如：物体间的弹力、摩擦力，气体的压力、浮力、黏性力等本质上是电磁力。

强力（strong interaction） 在原子核内（亚微观领域）才表现出来，存在于核子、介子和超子之间的、把原子内的一些质子和中子紧紧束缚在一起的一种力。 其强度是电磁力的百倍，两个相邻质子之间的强力可达104 N 。力程：<10-15 m 弱力（weak interaction） 亚微观领域内的另一种短程力。导致衰变放出电子和中微子。两个相邻质子之间的弱力只有10-2 N左右。

任何物体都将保持静止或匀速直线运动的状态，直到其他物体所作用的力迫使它改变这种状态为止。 §1-4 牛顿运动定律 一、牛顿第一定律 任何物体都将保持静止或匀速直线运动的状态，直到其他物体所作用的力迫使它改变这种状态为止。 数学形式： 又称惯性定律（law of inertia）。 惯性（inertia）： 任何物体具有保持其运动状态不变的性质。 惯性系中力的含义。 惯性系与非惯性系。 地面系、地心系、日心系、 银心系

二、牛顿第二定律 物体受到外力作用时，它所获得的加速度的大小与合外力的大小成正比，与物体的质量成反比，加速度的方向与合外力的方向相同。 数学形式： 或 说明 （1）牛顿第二定律中 和 的关系为瞬时关系。 （2） 分量式： Fx=max , Fy=may , Fz =maz 或 Ft=mat , Fn=man （自然坐标系）

三、牛顿第三定律（作用力和反作用力定律） 当物体A以力 作用在物体B上时，物体B也必定同时以力 作用在物体A上，两力作用在同一直线上，大小相等，方向相反。 数学形式： 说明 （1）作用力和反作用力总是成对出现。 （2）作用力和反作用力不能平衡或抵消。 （3）作用力和反作用力属于同一种性质的力。

四、牛顿运动定律应用举例 适用范围： 惯性系、低速运动的宏观物体。 两类具体问题: (1) 常力作用下的连接体问题 (2) 变力作用下的单体问题 解题步骤： （1）确定研究对象，对于物体系，画出隔离图； （2）进行受力分析，画出受力图； （3）建立坐标系； （4）对各隔离体建立牛顿运动方程（分量式） 和物理量间的其他关系； （5）解方程、讨论。

1. 常力作用下的连接体问题 例1-7 设电梯中有一质量可以忽略的滑轮，在滑轮两侧用轻绳悬挂着质量分别为m1和m2的重物A和B，已知m1>m2 。当电梯(1)匀速上升，(2)匀加速上升时，求绳中的张力和物体A相对电梯的加速度。 m1 m2

以地面为参考系，物体A和B为研究对象，分 别进行受力分析。 在竖直方向建立坐标系Oy . 解： 以地面为参考系，物体A和B为研究对象，分 别进行受力分析。 在竖直方向建立坐标系Oy . (1)电梯匀速上升，物体对电梯的加速度ar等于它们对地面的加速度。根据牛顿第二定律，对A和B分别得到： O y m1 m2

(2)电梯以加速度a上升时，A对地的加速度a-ar，B的对地的加速度为a+ar，根据牛顿第二定律，对A和B分别得到： O y m1 m2 讨论 当a =-g时，ar=0，T=0，即滑轮、质点都成为自由落体，两个物体之间没有相对加速度。

例1-8 一个质量为m、悬线长度为l 的摆锤，挂在架子上，架子固定在小车上，如图所示。求在下列情况下悬线的方向(用摆的悬线与竖直方向所成的角表示)和线中的张力： (1)小车沿水平方向以加速度a1做匀加速直线运动。 (2)当小车以加速度a2沿斜面(斜面与水平面成角)向上做匀加速直线运动。  m l a2 m l  a1

(1)以小球为研究对象，当小车沿水平方向做匀加速运动时，分析受力如图，建立图示坐标系。 解： (1)以小球为研究对象，当小车沿水平方向做匀加速运动时，分析受力如图，建立图示坐标系。  O y x m x方向： y方向： m l  a1

(2)以小球为研究对象，当小车沿斜面作匀加速运动时，分析受力如图，建立图示坐标系。 a2 m  x方向： y方向：  m l a2 y x O

例1-9 一重物m用绳悬起，绳的另一端系在天花板上，绳长l=0 例1-9 一重物m用绳悬起，绳的另一端系在天花板上，绳长l=0.5 m，重物经推动后，在一水平面内做匀速率圆周运动，转速n=1 r/s。这种装置叫做圆锥摆。求这时绳和竖直方向所成的角度。 m 以小球为研究对象，受力分析如图，建立坐标系。 解： O x y x方向： y方向：

2. 变力作用下的单体问题 例1-10 计算一小球在水中竖直沉降的速度。已知小球的质量为m，水对小球的浮力为Fb，水对小球的粘性力为Fv=-Kv，式中K是和水的黏性、小球的半径有关的一个常量。 解： 以小球为研究对象，分析受力如图。 小球的运动在竖直方向，以向下为正方向，列出小球运动方程：

令 分离变量后积分得 O t 讨论 称为物体在气体或液体中沉降的终极速度（terminal velocity）

例 1-11 一固定光滑圆柱体上的小球（m）从顶端下滑。 求小球下滑到 q 时小球对圆柱体的压力。 y x 解：在q 处时， 质点受力如图 O 自然坐标系

小球对圆柱体的压力为

y x 小球对圆柱体的压力为 讨论 随着小球下滑，q 从 0 开始增大。 cos q 逐渐减小， F'N 逐渐减小。 当 cos q < 2/3 时， F'N < 0, 这可能吗？为什么？ 这是因为：当 cos q ＝ 2/3 时， FN = 0。此时，小球将离开圆柱体。此后，小球将做抛物运动！

§1-5 伽利略相对性原理 非惯性系 惯性力 一、伽利略相对性原理 一切彼此做匀速直线运动的惯性系，对于描写机械运动的力学规律来说是完全等价的。 在一个惯性系的内部所做的任何力学的实验都不能够确定这一惯性系本身是在静止状态，还是在做匀速直线运动，称为力学的相对性原理，或伽利略相对性原理（Galilean principle of relativity）。

二、经典力学的时空观 以经典力学的时空观为基础，伽利略坐标变换指出了质点的加速度对于相对做匀速运动的不同惯性系K与K′来说是个绝对量，即 牛顿力学中： 因此有 宏观低速物体的力学规律在任何惯性系中形式相同， 或牛顿力学规律在伽利略变换下形式不变。

又如：动量守恒定律

牛顿定律成立的参考系是惯性系。一切相对于惯性系（如地面系）做匀速直线运动的参考系也是惯性系。 *三、非惯性系 牛顿定律成立的参考系是惯性系。一切相对于惯性系（如地面系）做匀速直线运动的参考系也是惯性系。 非惯性系（noninertia system）：相对（地面）惯性系做加速运动的物体。 在非惯性系内牛顿定律不成立。 mg F=kx FN x y y´ x´

平动加速系：相对于惯性系做加速直线运动，但是本身没有转动的物体。例如：在平直轨道上加速运动的火车。 转动参考系：相对惯性系转动的物体。例如：在水平面匀速转动转盘。

*四、惯性力 惯性力：(inertial force) 为了使牛顿第二定律的形式在非惯性系内成立而引进的一个虚构的力。 是非惯性系相对惯性系的加速度。 在非惯性系中，动力学方程表示为 注意：惯性力不是真正作用在物体上的力！ 惯性力无施力者，也无反作用力。 惯性力的实质是物体的惯性在非惯性系中的表现。

惯性力的应用——加速度计

例1-12 一质量为m1、顶角为的三角形光滑物体上。放有一质量为m2的物块。设各面间的摩擦力均可忽略不计。试用非惯性系中力学定律求解三角形物块的加速度。 解： 将坐标系建立在三角形物块上，方向如图，在该非惯性系中，应用非惯性系的力学定律， m1与m2的动力学方程如下： 惯性力

惯性力

例1-13 有一密度为的细棒，长度为l，其上端用细线悬着，下端紧贴着密度为的液体表面。现将悬线剪断，求细棒在恰好全部没入水中时的沉降速度。设液体没有黏性。 解： 在下落的过程中，棒受力如图所示。 取竖直向下为Ox轴的正方向。 当棒的浸没长度为x时，浮力大小为（设棒的截面积 s=1） 此时棒受到的合外力为

由牛顿第二定律得 代入速度定义式： 积分得