§2.2 离散型随机变量及其概率分布 离散随机变量及分布律 定义 若随机变量 X 的可能取值是有限多个 §2.2 离散型随机变量及其概率分布 离散随机变量及分布律 定义 若随机变量 X 的可能取值是有限多个 或无穷可列多个，则称 X 为离散型随机变量 描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率 分布或分布律，即 或 X x1 x2 … xK … P p1 p2 … pk …

或 概率分布的性质 非负性 规范性

离散随机变量及分布函数 其中 . F( x) 是分段阶梯函数, 在 X 的可能取 值 xk 处发生间断.

例: 设随机变量的分布律为 -1 2 3 求 的分布函数,并求 即

例 袋中有5个球，其中2个白球，3个黑球， 从中随机地一次抽取3个球，求取得白球数的 概率分布． 解 令 表示“取得的白球数”，则 可 能取值为0，1，2， 可以求得的分布律为

的分布列的表格形式为 X 0 1 2 P 1/10 6/10 3/10

X = xk 1 0 Pk p 1 - p 或 (1) 0 – 1 分布 0 < p < 1 常见离散r.v.的分布 (1) 0 – 1 分布 X = xk 1 0 Pk p 1 - p 0 < p < 1 或 凡试验只有两个结果, 常用0 – 1 应用 场合 分布描述, 如产品是否合格、人 口性别统计、系统是否正常、电力消耗 是否超标等等.

(2) 二项分布 n 重Bernoulli 试验中, X 是事件A 在 n 次试 验中发生的次数 , P (A) = p ,若 则称 X 服从参数为n, p 的二项分布，记作 0–1 分布是 n = 1 的二项分布

二项分布的取值情况 设 .039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .0000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 由图表可见 , 当 时， x P • 1 2 3 4 5 6 7 8 分布取得最大值 0.273• 此时的 称为最可能成功次数

设 .01 .06 .14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .002 < .001 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ~ 20 • x P 1 3 5 7 9 2 4 6 8 10 20 由图表可见 , 当 时， 0.22 • 分布取得最大值

二项分布中最可能的成功次数 的定义与推导 若 可取的一切值 则称 为最可能出现的次数

对固定的 n、p, P ( X = k) 的取值呈不 对称分布 固定 p, 随着 n 的增大，其取值的分布 趋于对称 当( n + 1) p = 整数时,在 k = ( n + 1) p 与 ( n + 1) p – 1 处的概率取得最大值 当( n + 1) p  整数时, 在 k = [( n + 1) p ] 处的概率取得最大值 对固定的 n、p, P ( X = k) 的取值呈不 对称分布 固定 p, 随着 n 的增大，其取值的分布 趋于对称

例 独立射击5000次, 命中率为0.001, 求 (1) 最可能命中次数及相应的概率； (2) 命中次数不少于1 次的概率.

解 (1) k = [( n + 1)p ] = [( 5000+ 1)0.001] =5

(2) 令X 表示命中次数,则 X ~ B(5000,0.001)

问题 如何计算 ？ Possion定理 设 , 则对固定的 k Poisson定理说明若X ~ B( n, p), 则当n 较大， 问题 如何计算 ？ , 则对固定的 k 设 Possion定理 Poisson定理说明若X ~ B( n, p), 则当n 较大， p 较小, 而 适中, 则可以用近似公式

利用Poisson定理再求前例中 (2) 解 令X 表示命中次数, 则 X ~ B( 5000,0.001 ) 令 此结果也可直接查 P.299 泊松 分布表得到，它与用二项分布算得的结果 0.9934仅相差万分之一.

在Poisson 定理中， 由此产生了一种离散型随机变量的概率分布 — Poisson 分布

(3) Poisson 分布 若 其中 是常数，则称 X 服从参数为 的Poisson 分布. 记作 注:

例 夏季用电高峰时，个别用户会因为超负荷、线路老化等问题发生断电事故。已知某城市每天发生的停电次数X服从参数 =0

例 某厂产品不合格率为0.03, 现将产品 装箱, 若要以不小于 90%的概率保证每箱 中至少有 100 个合格品, 则每箱至少应装 多少个产品？

解 设每箱至少应装100 + m 个, 每箱的不 合格品个数为X , 则X ~ B ( 100 + m , 0.03 ) 由题意 3 (100+m)0.03=3+0.03m 取 = 3

应用Poisson定理 查Poisson分布表, =3 得 m +1 = 6 , m = 5 故每箱至少应装105个产品,才能符合要求.

超几何分布：

几何分布： X为伯努力试验中事件A首次发生时的试 验次数，A发生的概率为p，则X服从参数 为p的几何分布。

几何分布具有无记忆性： 则对任意正整数m，n有

负二项分布（Pascal分布）：