第七章 应力状态与强度理论

第七章 应力状态与强度理论 §7–1 应力状态的概念 §7–2 平面应力状态分析 §7–3 空间应力状态分析 §7–4 材料的破坏形式 §7–1 应力状态的概念 §7–2 平面应力状态分析 §7–3 空间应力状态分析 §7–4 材料的破坏形式 §7–5 强度理论

第七章 应力状态与强度理论 §7–1 应力状态的概念

第七章 应力状态与强度理论 一、引言 1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？ 铸铁压缩 铸铁拉伸 P M 低碳钢 铸铁 P P 2、组合变形杆将怎样破坏？

第七章 应力状态与强度理论 txy s 二、一点的应力状态： 过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态。 三、单元体： 单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体。 s y y txy s x sz 单元体的性质——a、平行面上，应力均布；b、平行面上，应力相等。 x z 四、普遍状态下的应力表示　　　　　　　

第七章 应力状态与强度理论 txy s 五、剪应力互等定理 过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的剪应力分量,则两个面上的这两个剪应力分量一定等值、方向相对或相离。 s y y txy s x sz x z

第七章 应力状态与强度理论 s t s t 六、原始单元体（已知单元体）： 例1 画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。 A P A M x P A M P x y z B C t yx s x B t xy tzx txz

第七章 应力状态与强度理论 sy y 七、主单元体、主面、主应力： sx 主单元体： 各面上剪应力均为零的单元体。 sz x 主平面： 剪应力为零的截面。 z 主应力： 主面上的正应力。 s2 s1 主应力排列规定：按代数值大小， s3

第七章 应力状态与强度理论 s s 三向应力状态： 三个主应力都不为零的应力状态。 二向应力状态： 一个主应力为零的应力状态。 单向应力状态： 一个主应力不为零的应力状态。 tzx s x B txz A s x

第七章 应力状态与强度理论 §7–2 平面应力状态分析

§7–2 平面应力状态分析 一、解析法 x y sx txy sy O sx txy sy x y z

txy txy §7–2 平面应力状态分析 x y sx sy O 1、任意斜截面上的应力 规定： 截面外法线同向为正； §7–2 平面应力状态分析 x y sx txy sy O 1、任意斜截面上的应力 规定： 截面外法线同向为正； t a绕研究对象顺时针转为正； a逆时针为正。 图1 sy txy sx sa ta a x y O t n 图2 设：斜截面面积为S，由分离体平衡得：

txy txy §7–2 平面应力状态分析 x y sx sy O 考虑剪应力互等和三角变换，得： 图1 sy sx sa ta a x y §7–2 平面应力状态分析 x y sx txy sy O 考虑剪应力互等和三角变换，得： 图1 sy txy sx sa ta a x y O t n 图2 同理：

§7–2 平面应力状态分析 2、求极值 x y sx txy sy O ´

txy t s + - ± = î í ì ¢ ） （ §7–2 平面应力状态分析 x y sx sy O 在剪应力相对的项限内， §7–2 平面应力状态分析 x y sx txy sy O 在剪应力相对的项限内， 且偏向于x 及y大的一侧。 2 x y y x min max t s + - ± = î í ì ¢ ） （

txy t tyx §7–2 平面应力状态分析 例2 分析受扭构件的破坏规律。 解：确定危险点并画其原 始单元体 C M C 求极值应力 §7–2 平面应力状态分析 例2 分析受扭构件的破坏规律。 解：确定危险点并画其原 始单元体 M C t xy C yx txy tyx 求极值应力 y x O

§7–2 平面应力状态分析 破坏分析 低碳钢 铸铁

txy txy §7–2 平面应力状态分析 二、图解法 x y sx sy O 1、应力圆 对上述方程消去参数（2），得： sy sx §7–2 平面应力状态分析 x y sx txy sy O 二、图解法 1、应力圆 对上述方程消去参数（2），得： sy txy sx sa ta a x y O t n 此方程为圆方程—应力圆（或莫尔圆）

txy §7–2 平面应力状态分析 sx sy x y O n sa ta a 2、应力圆的画法 建立应力坐标系，如下图所示， §7–2 平面应力状态分析 sx txy sy x y O n sa ta a 2、应力圆的画法 建立应力坐标系，如下图所示， （注意选好比例尺） 在坐标系内画出点A( x，xy)和B(y，yx) D( sa , ta) 2a n O sa ta x A(sx ,txy) B(sy ,tyx) AB与sa 轴的交点C便是圆心。 C 以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆；

txy §7–2 平面应力状态分析 sx sy x y O n sa ta a 3、单元体与应力圆的对应关系 §7–2 平面应力状态分析 sx txy sy x y O n sa ta a 3、单元体与应力圆的对应关系 面上的应力( ， ) 应力圆上一点( ， ) 面的法线 应力圆的半径 D( sa , ta) 2a n O sa ta x 两面夹角 两半径夹角2 ；且转向一致。 A(sx ,txy) B(sy ,tyx) C

§7–2 平面应力状态分析 O C sa ta A(sx ,txy) B(sy ,tyx) x 4、在应力圆上标出极值应力 2a1 2a0 §7–2 平面应力状态分析 O C sa ta A(sx ,txy) B(sy ,tyx) x 4、在应力圆上标出极值应力 2a1 2a0 s3 s2 s1

§7–2 平面应力状态分析 例3 求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa) 解：主应力坐标系如图 在坐标系内画出点 ta B §7–2 平面应力状态分析 例3 求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa) 解：主应力坐标系如图 在坐标系内画出点 sa ta (MPa) O 20MPa B A C

§7–2 平面应力状态分析 B 解： A 2 AB 的垂直平分线与σα 轴的交点C 便是圆心，以C为圆心，以AC 为半径画圆——应力圆 §7–2 平面应力状态分析 B 解： A 2 AB 的垂直平分线与σα 轴的交点C 便是圆心，以C为圆心，以AC 为半径画圆——应力圆 0  1 sa ta (MPa) O 20MPa B A C 2s0 s3 s2 s1

§7–2 平面应力状态分析 B 主应力及主平面如图 A 2 0  1 sa ta (MPa) O 20MPa B A C 2s0 §7–2 平面应力状态分析 B 主应力及主平面如图 A 2 0  1 sa ta (MPa) O 20MPa B A C 2s0 s3 s2 s1

§7–2 平面应力状态分析 解法2—解析法：分析——建立坐标系如图 60° x y O

§7–2 平面应力状态分析 三、主应力迹线 如图，已知梁发生剪切弯曲（横力弯曲），其上M、Q>0，试确定截面上各点主应力大小及主平面位置。 1 2 3 4 5 P1 P2 q 单元体：

§7–2 平面应力状态分析 t 1 s3 s s3 t 2 a0 s s1 t s3 3 s –45° t s1 s3 t 4 s a0 §7–2 平面应力状态分析 t 1 s3 D1 A2 A1 D2 s s3 C O D1 t 2 2a0 A2 A1 a0 O s C s1 t D1 D2 s3 2a0= –90° 3 D1 s C O –45° t s1 s3 D2 D1 2a0 t A2 A1 O 4 a0 s C s1 D2 A2 A1 D1 D2 C s O s1 5

§7–2 平面应力状态分析 主应力迹线（Stress Trajectories)： 主应力方向线的包络线——曲线上每一点的切线都指示 §7–2 平面应力状态分析 主应力迹线（Stress Trajectories)： 主应力方向线的包络线——曲线上每一点的切线都指示 着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。 拉力 压力 1 3 实线表示拉主应力迹线； 虚线表示压主应力迹线。 1 3

§7–2 平面应力状态分析 y 主应力迹线的画法： x q 3 1 1 3 a 1 2 3 4 i n b c d 1 截面 2 §7–2 平面应力状态分析 y a 1 2 3 4 i n b c 主应力迹线的画法： d x 1 截面 2 截面 3 截面 4 截面 i 截面 n 截面 q 1 3 3 1

第七章 应力状态与强度理论 §7–3 空间应力状态分析

§7–3 空间应力状态分析 一、空间应力状态 s2 s1 x y z s3

t §7–3 空间应力状态分析 1、三向应力分析 y s1 s2 s3 x z §7–3 空间应力状态分析 t max 1、三向应力分析 s2 s1 x y z s3 图a 图b 弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。 整个单元体内的最大剪应力为：

§7–3 空间应力状态分析 t （M Pa ） (M Pa) x y z 例4 求图示单元体的主应力和最大剪应力。（MPa） §7–3 空间应力状态分析 x y z 例4 求图示单元体的主应力和最大剪应力。（MPa） 解：由单元体图知：y z面为主平面 B 10 (M Pa) sa （M Pa ） ta C A 40 50 建立应力坐标系如图，画应力圆和点1′,得: t max A B （0，40） 30 s3 s2 s1 （30，- 40）

 x y §7–3 空间应力状态分析 二、广义虎克定律 1、单向应力状态--应变关系 y sx x z y 2、纯剪切应力状态--应变关系 §7–3 空间应力状态分析 二、广义虎克定律 1、单向应力状态--应变关系 x y z sx x y z  x y 2、纯剪切应力状态--应变关系

§7–3 空间应力状态分析 3、复杂应力状态下的应力 --- 应变关系 sy x y z sx txy sz 依叠加原理,得:

§7–3 空间应力状态分析 s1 s3 s2 主应力 --- 主应变关系 4、平面应力状态下的应力---应变关系:

§7–3 空间应力状态分析 三、体积应变与应力分量间的关系 s1 s3 s2 a1 a2 a3 体积应变： 体积应变与应力分量间的关系:

§7–3 空间应力状态分析 例7 已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：1=24010-6， 2=–16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为 =0.3， 试求该点处的主应力及另一主应变。 所以，该点处的平面应力状态

§7–3 空间应力状态分析 例7 已知：1=24010-6， 2=–16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为 =0.3， 试求该点处的主应力及另一主应变。 解：

§7–3 空间应力状态分析 m e 3 34 2 . - =

§7–3 空间应力状态分析 例8 图a所示为承受内压的薄壁容器。为测量容器所承受的内压力值，在容器表面用电阻应变片测得环向应变 t =350×l0-6，若已知容器平均直径D=500 mm，壁厚=10 mm，容器材料的 E=210GPa，=0.25，试求:1.导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式；2.计算容器所受的内压力。 D x A B y s1 p sm p x O l 图a

§7–3 空间应力状态分析 解：容器的环向和纵向应力表达式 1、轴向应力: 用横截面将容器截开，受力如图b所示,根据平衡方程 sm p D §7–3 空间应力状态分析 解：容器的环向和纵向应力表达式 1、轴向应力: 用横截面将容器截开，受力如图b所示,根据平衡方程 p sm x D 图b

§7–3 空间应力状态分析 y p s t D q dq z 图c O 2、环向应力 用纵截面将容器截开，如图c所示 §7–3 空间应力状态分析 y p s t D q dq z 图c O 2、环向应力 用纵截面将容器截开，如图c所示 3、求内压（以应力应变关系求之） t m 外表面

第七章 应力状态与强度理论 §7–4 材料的破坏形式

§7–4 材料的破坏形式 1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？ P 铸铁拉伸 P 铸铁压缩 M 低碳钢 铸铁 M P §7–4 材料的破坏形式 1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？ P 铸铁拉伸 P 铸铁压缩 M 低碳钢 铸铁 M P 2、组合变形杆将怎样破坏？

§7–4 材料的破坏形式 二、强度理论：是关于“构件发生强度失效起因”的假说。 三、材料的破坏形式：⑴ 屈服； ⑵ 断裂 。 §7–4 材料的破坏形式 二、强度理论：是关于“构件发生强度失效起因”的假说。 三、材料的破坏形式：⑴ 屈服； ⑵ 断裂 。 1、伽利略播下了第一强度理论的种子； 2、马里奥特关于变形过大引起破坏的论述，是第二强度理论的萌芽； 3、杜奎特（C.Duguet)提出了最大剪应力理论； 4、麦克斯威尔最早提出了最大畸变能理论；这是后来人们在他的书信出版后才知道的。

第七章 应力状态与强度理论 §7–5 强度理论

§7–5 强度理论 四个强度理论 一、最大拉应力（第一强度）理论： §7–5 强度理论 四个强度理论 一、最大拉应力（第一强度）理论： 认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大拉应力达到单向拉伸的强度极限时，构件就断了。 1、破坏判据： 2、强度准则： 3、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。

§7–5 强度理论 二、最大伸长线应变（第二强度）理论： §7–5 强度理论 二、最大伸长线应变（第二强度）理论： 认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大伸长线应变达到单向拉伸试验下的极限应变时，构件就断了。 1、破坏判据： 2、强度准则： 3、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。

§7–5 强度理论 三、最大剪应力（第三强度）理论： §7–5 强度理论 三、最大剪应力（第三强度）理论： 认为构件的屈服是由最大剪应力引起的。当最大剪应力达到单向拉伸试验的极限剪应力时，构件就破坏了。 1、破坏判据： 2、强度准则： 3、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。

§7–5 强度理论 -m 四、形状改变比能（第四强度）理论： 变形比能 = 体积变形比能 + 形状变形比能  1 2 m  1 §7–5 强度理论 四、形状改变比能（第四强度）理论： 变形比能 = 体积变形比能 + 形状变形比能 2 3  1 图 a 体积改变 形状改变 图 c 3 -m  1 2 m 图 b

§7–5 强度理论 图 c 3 -m  1 2

§7–5 强度理论 图 c 3 -m  1 2 单元体的应变能为： 图 c 称为形状改变比能或歪形能。

§7–5 强度理论 形状改变比能（第四强度）理论： §7–5 强度理论 形状改变比能（第四强度）理论： 认为构件的屈服是由形状改变比能引起的。当形状改变比能达到单向拉伸试验屈服时形状改变比能时，构件就破坏了。 1、破坏判据： 2、强度准则 3、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。

§7–5 强度理论 相当应力：（强度准则的统一形式） §7–5 强度理论 3、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件及其拉压极限强度不等处于复杂应力状态的脆性材料破坏（岩石、混凝土等）。 相当应力：（强度准则的统一形式） 其中， *—相当应力。

§7–5 强度理论 强度计算的步骤： 1、外力分析：确定所需的外力值。 2、内力分析：画内力图，确定可能的危险面。 §7–5 强度理论 强度计算的步骤： 1、外力分析：确定所需的外力值。 2、内力分析：画内力图，确定可能的危险面。 3、应力分析：画危面应力分布图，确定危险点并画出单元体，求主应力。 4、强度分析：选择适当的强度理论，计算相当应力，然后进行强度计算。

§7–5 强度理论 强度理论的选用原则：依破坏形式而定。 1、脆性材料：用第一理论或第二理论。 2、塑性材料：用第三或第四理论。

§7–5 强度理论 例1 直径为d=0.1m的圆杆受力如图,T=7kNm,P=50kN, 为铸铁构件，[]=40MPa,试用第一强度理论校核杆的强度。 P T 解：危险点A的应力状态如图： A A s t 故，安全。

§7–5 强度理论 例2 薄壁圆筒受最大内压时,测得x=1.8810-4, y=7.3710-4,已知钢的E=210GPa，[]=170MPa,泊松比=0.3，试用第三强度理论校核其强度。 A s x y x y A 解：由广义虎克定律得:

所以，此容器不满足第三强度理论。不安全。 §7–5 强度理论 例2 薄壁圆筒受最大内压时,测得x=1.8810-4, y=7.3710-4,已知钢的E=210GPa，[]=170MPa,泊松比=0.3，试用第三强度理论校核其强度。 A s x y x y A 解： 所以，此容器不满足第三强度理论。不安全。

作业：7-3（c）、7-4（b）、7-5（b）、7-7、7-10、7-12 第七章 应力状态与强度理论 作业：7-3（c）、7-4（b）、7-5（b）、7-7、7-10、7-12