3.1.1《数系的扩充 与复数的概念》

教学目标 理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念。 教学重点：复数及其相关概念，能区分虚数与纯虚数，明白各数系的关系。 教学难点：复数及其相关概念的理解

引言：在人和社会的发展过程中，常常需要立足今天，回顾昨天，展望明天。符合客观发展规律的要发扬和完善，不符合的要否定和抛弃。那么，在实数集向复数集发展的过程中，我们应该如何发扬和完善，否定和抛弃呢？

复习回顾 自然数 整数 有理数 实数 ？ 用图形表示包含关系： 数系的扩充 N Z Q R

思考？ 引入一个新数： 我们已知知道： 对于一元二次方程 没有实数根． 我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？ 知识引入 对于一元二次方程 没有实数根． 我们已知知道： 我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？ 思考？ 引入一个新数： 满足

形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数. 全体复数所形成的集合叫做复数集， 一般用字母C表示 . 现在我们就引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定： （1）i21； （2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结合率和分配率)仍然成立。 形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数. 全体复数所形成的集合叫做复数集， 一般用字母C表示 .

复数的代数形式： 通常用字母 z 表示，即 虚部 实部 其中 称为虚数单位。 复数集C和实数集R之间有什么关系？ 讨论？ 复数a+bi

复数集，虚数集，实数集，纯虚数集之间的关系？ 　思　考？ 复数集 复数集，虚数集，实数集，纯虚数集之间的关系？ 虚数集 纯虚数集 实数集

练一练： 5 +8， 1.说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。 2、判断下列命题是否正确： 5 +8， 2、判断下列命题是否正确： （1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数 （2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数 （3）若a为实数，则Z= a一定不是虚数

例1 实数m取什么值时，复数 是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？ 练习:当m为何实数时，复数 是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？ 解: （1）当 ，即 时，复数z 是实数． （2）当 ，即 时，复数z 是虚数． （3）当 即 时，复数z 是 纯虚数． 练习:当m为何实数时，复数 是 （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数

则 思考： 如何定义两个复数的相等？ 我们知道若 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等． 思考： 如何定义两个复数的相等？ 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等． 注意：一般对两个复数只能说相等或不相等；不能比较大小。

练习： 解题思考： 复数相等的问题 求方程组的解的问题 一种重要的数学思想：转化思想 例2 已知 ，其中 求 1、若x，y为实数，且 例2 已知 ，其中 求 解题思考： 复数相等的问题 转化 求方程组的解的问题 一种重要的数学思想：转化思想 2.若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6) =0，求x的值. 1、若x，y为实数，且 求x，y 练习：

小结: 1.虚数单位i的引入； 2.复数有关概念： 复数的代数形式: 复数的实部 、虚部 复数相等 虚数、纯虚数

B 计算： 1 -1

o x 你能否找到用来表示复数的几何模型呢？ 实数可以用数轴上的点来表示。 实数 数轴上的点 (数) (形) 数轴 直线 一一对应 规定了 正方向， 原点， 单位长度 数轴 直线 (几何模型) x o 1 你能否找到用来表示复数的几何模型呢？

o 有序实数对(a,b) 复数z=a+bi 直角坐标系中的点Z(a,b) （数） （形） 建立了平面直角坐标系来表示复数的平面 z=a+bi 一一对应 复数z=a+bi 直角坐标系中的点Z(a,b) （数） （形） 平面向量 y 建立了平面直角坐标系来表示复数的平面 z=a+bi b Z(a,b) ------复数平面 (简称复平面) o x a x轴------实轴 y轴------虚轴 概念辨析 例题

实数a在数轴上所对应的点A到原点O的距离。 复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。 能否把绝对值概念推广到复数范围呢？ 复数的绝对值 实数绝对值的几何意义: (复数的模) 实数a在数轴上所对应的点A到原点O的距离。 复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。 a y X z=a+bi O A x Z (a,b) | a | = | OA | O | z | = |OZ|

(4)z4=1+mi(m∈R) (5)z5=4a-3ai(a<0) 例3 求下列复数的模： (1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i (4)z4=1+mi(m∈R) (5)z5=4a-3ai(a<0) 思考： (1)复数的模能否比较大小？ (2)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？ 这些复 数对应的点在复平面上构成怎样的图形？ (3)满足|z|=5(z∈C)的z值有几个？ 图示

满足|z|=5(z∈C)的复数z对应的点在复平面上将构成怎样的图形？ y 满足|z|=5(z∈C)的复数z对应的点在复平面上将构成怎样的图形？ 5 –5 5 O x 设z=x+yi(x,y∈R) –5

辨析： 1．下列命题中的假命题是（ ） (A)在复平面内，对应于实数的点都在实 轴上； (B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在 虚轴上； 1．下列命题中的假命题是（ ） D (A)在复平面内，对应于实数的点都在实 轴上； (B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在 虚轴上； (C)在复平面内，实轴上的点所对应的复 数都是实数； (D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复 数都是纯虚数。

2．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对应的点在虚轴上”的（ ）。 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件 C

复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题 (几何问题) (代数问题) 例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。 变式：证明对一切m，此复数所对应的点不可能位于第四象限。 解题思考： 表示复数的点所在象限的问题 复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题 转化 (几何问题) (代数问题) 一种重要的数学思想：数形结合思想

再见