理论力学 2011.9修改稿

课本及内容 力学与理论力学（下册） 其中，上册以力学为主，下册以分析力学为主，是经典力学或理论力学课程的主要内容。 中国科学技术大学国家基础科学人才培养基地物理学丛书 作者：秦敢，向守平 科学出版社，2008 其中，上册以力学为主，下册以分析力学为主，是经典力学或理论力学课程的主要内容。 首先，我们需回顾力学的内容并进行必要的衔接。

《力学》内容概要 质点运动学（观测并记录质点的运动） 质点动力学（找出运动的规律和原因） 质点系力学（应用于多个质点的体系） 质点的位置、速度、加速度，轨迹 质点动力学（找出运动的规律和原因） 质点的受力，由初始位置和速度确定之后的运动 质点系力学（应用于多个质点的体系） 质点系，多个质点体系的守恒量 非惯性参考系，平动和转动（牛顿力学不适用的参考系中的处理） 刚体的平面运动（刚体是特殊的质点组） 角速度，角动量，转动动能 一些简单应用（如有心力场，碰撞，振动等）

力学基础内容（回顾） 质点运动学 质点的模型，质点运动的描述： 已知位置随时间变化，求速度、加速度随时间的变化 轨迹（消去时间 t，得空间曲线） 坐标系： 直角坐标系（x,y,z） 柱坐标系 (r,j,z) （极坐标系）(r,q) 球坐标系 (r, q, j) 其他正交曲线坐标系 自然坐标系

力学基础内容（重温） 质点动力学 牛顿三定律 牛顿三定律的深入探讨，哪个更基本？ 从分析受力，来计算加速度、速度、位置随时间的变化（已知初始位置，初始速度） 牛顿三定律的深入探讨，哪个更基本？ 惯性系。力的定义。惯性质量与引力质量。 对于粒子与场的作用，作用力与反作用力的关系。 相对论情况下，第二定律成立的形式。

力学基础内容（重温） 质点系力学 非惯性参考系，非惯性力 内力和外力 动量和角动量 动能和势能 质点系的质心，质心系 动量守恒和角动量守恒及其成立的条件 机械能守恒及其成立的条件 非惯性参考系，非惯性力 平动参考系 转动参考系，科里奥利力，离心力

力学基础内容（重温） 刚体力学 刚体模型 角速度和角加速度 转动惯量 转动的角动量和转动动能 力矩 刚体的平面运动

其他一些应用课题 有心力场（万有引力和行星运动，带电粒子散射） 碰撞（两体碰撞，散射截面） 振动（阻尼振动，受迫振动，多维小振动） 带电粒子的运动 狭义相对论 非线性力学 流体力学 连续介质体系的力学

分析力学主要内容 约束与虚功原理 拉格朗日力学 哈密顿力学 刚体的运动学和动力学 达朗贝尔原理，拉格朗日方程，泛函变分和哈密顿原理，运动积分、对称性和守恒定律 哈密顿力学 正则方程，正则变换，泊松括号，哈密顿-雅克比方程 刚体的运动学和动力学

分析力学的基础 以牛顿三定律的经典力学为理论基础 应用数学方法建立完整的理论体系 得到一些原理性的结果 有些结果推广到非经典的领域（如相对论和量子力学）更加自然

分析力学与牛顿力学方法比较 分析力学 牛顿力学 优点 处理方法流程规范 善于复杂的体系处理 约束越多方程数越少 直观，易于理解 解算简单问题比较方便 缺点 不够直观 对于简单问题的处理显得麻烦 常常需要具体灵活的分析 约束越多方程数越多越繁琐 第1次课

直角坐标系 坐标：(x,y,z) y x z o

直角坐标系中的矢量运算 矢量的表示和爱因斯坦求和约定： 点乘： 叉乘：

直角坐标系的矢量运算举例 证明： 其中： 可证：

x y z o r p 柱坐标系 坐标：

球坐标系 坐标： z p x y o r 坐标转换可用单位并矢点乘：

球坐标系与直角坐标的关系 z p x y o r 通过求导可得球坐标中：

一般的正交曲线坐标系 x y z o p 坐标： 称为拉梅系数。曲线长度满足

自然坐标系 自然坐标系不是数学上严谨的坐标系，但符合人们的自身体验，因而应用于日常生活中十分容易理解。 轨迹确定，之后能用路程确定位置。 力(矢量)分为是改变速率的部分(沿速度方向)和改变方向的部分(垂直于速度方向)。 x y z o p

约束与自由度 一般情况下，约束为k个方程 假设约束有k个。对于n个质点，3n个坐标中，有k个约束，则自由度为s=3n-k，从理论上说，可以用s个独立变量来描述系统。 这些独立变量描述系统，在分析力学中对应于由这些自变量组成一个函数（系统函数）。

约束的类型 约束方程分类，依照含不含速度，分为：完整约束或几何约束，非完整约束运动约束或微分约束，如果可以积分，可将微分约束转化为几何约束； 依照是否显含时间，分为：稳定约束，非稳定约束； 依照是否为等号，分为：不等号时是可解约束，等号是不可解约束。

约束的类型 完整约束（几何约束） 不完整约束 且不可积分成完整约束，也称为微分约束。 可解约束： 或 或双面可解 稳定的几何约束 不稳定的几何约束 不完整约束 且不可积分成完整约束，也称为微分约束。 可解约束： 或 或双面可解

可积分的条件 非完整约束是否可以通过乘以某个函数变为可积分的？若使 必须 即 则 反之亦然

不可解和可解约束 x2+y2=l2 x2+y2≤ l2 O (x,y) 每个不可解约束，会使系统降低一个自由度。

约束的线性变分 完整约束使得自由度减少，一般的完整约束可写为方程 变分之后，可成为线性变分，形如

可化为线性变分的非完整约束 完整约束使得自由度减少，非完整约束中，一般不可积分，因此不影响独立变量的个数，但如果是线性约束，能影响广义坐标变分的独立性。线性非完整约束形如 可导致变分约束（注意到dt=0） 作业：1.1，1.2，1.3，1.4 第2次课

广义坐标 坐标的个数比系统的自由度s多的时候，存在约束。约束的个数k正好等于坐标的个数减去系统自由度。 对于可解约束，是将其视为不可解约束来处理，如果发生离开约束的情况，就放弃约束，增加一个独立坐标，重新处理。

广义坐标的选用 各个质点的真实坐标可以入选系统的广义坐标。 n个质点的系统，真实坐标有3n个，但广义坐标只有s=3n-k个。由于存在k个约束，广义坐标的个数较少，需要选择使用。 广义坐标也可以选用其他参数。选取的原则是：能够方便地表示系统每个质点的几何位置。即表达式 越简洁越好。

虚位移 假想系统的各质点瞬时发生了微小的符合约束条件的位移，称为虚位移。 位移发生在与约束面相切的方向，而约束力是发生在与约束面垂直的方向。 用广义坐标表示了各个质点的位置之后，虚位移可以看作当广义坐标任意变化之后，各个质点位置随之变动而产生的位移。 广义坐标的变化可以任意选取，但真实坐标的变化因为有约束存在而不能任意选取。

理想约束 约束力常常与约束面的方向相垂直，或在系统中作为内力双双出现，有 其中 是虚位移 习惯上，将虚位移视为变分，实位移视为微分。 分析力学中处理的约束情况绝大多数（或者说默认为）是理想约束。非理想约束的情况下，分析力学常用的方法是不成立的，通常可以将某些引起虚位移做功的约束力视为主动力，化为理想约束处理。

理想约束 两质点A和B安置在刚性轻杆两端，杆可绕中央的O点旋转。在质点A上施加一个力F，考虑两质点所受到的约束力，是否一定与虚位移方向垂直？是否为理想约束？ 这个例子，虽然每个质点的约束力并不与虚位移垂直，可验证其仍是理想约束。 A O B F

理想约束 考虑空间曲面的约束，取3维空间直角坐标为广义坐标，曲面的几何约束为 对于曲面上相邻的任意点，相距d r，有 即 与曲面的切面垂直。同时，约束力也与曲面的切面垂直，因而两者平行，满足关系 其中c是常数，R是约束力。

虚位移和真实的微小位移的差别 1.虚位移是瞬时完成的（dt=0），而实位移需要一小段时间（dt≠0）。 2.虚位移在满足约束的条件下可以任意选取，并未真是发生，而实位移一般与质点的真实运动相关。 3. 虚位移的方向无论是稳定约束还是非稳定约束，都是沿着约束的切线方向，而实位移在非稳定约束时，不一定沿着约束的切线方向。（例如，在膨胀着的气球上爬行的小虫）

虚功原理 系统处于平衡时，每个质点所受合力为0 考虑虚位移所做的功，有 对于理想约束，约束力所作虚功为0。从而在虚位移下主动力做的功总和也为0，即

虚功原理 虚功原理可处理系统的平衡问题。此时，我们只要关注系统的主动力的总虚功为0的事实。而约束力在方程中消失，我们不必去解算。 显然，这是系统处于平衡的必要条件。对于不可解的(稳定)约束，这个条件可以证明也是充分条件（约束如果不是稳定的，就不会有静力平衡的情况出现）。

虚功原理 使用广义坐标，方程可以化为： 由于广义坐标是独立变量，因此有必要定义广义力 方程化为

虚功原理 由于广义坐标的独立性，可得 对于保守力体系， 则

虚功原理 对于保守力体系，虚功原理可化为 则系统的势能达到极值，极小值时平衡是稳定的，极大值时平衡是不稳定的

虚功原理举例 F 双连杆的平衡问题 l1 l2 匀质的双连杆一端固定在顶部，另一端受到水平方向恒定的力，求平衡时两杆的角度。 求约束力时，可将约束力看成主动力，同时解约束，增加自由度，然后求解。 （本书29页。秦家桦，285页。陈世民，170页。金尚年，46页。） l1 q1 l2 F q2 作业：1.9，1.10，1.11 第3次课

求解 解：

虚功原理举例 圆弧中两球的平衡问题 R 半径为R的固定圆弧上，有两个同样大小但质量不同的匀质小球，其半径为R/3，求平衡时两球的位置。 q1 q2 虚功原理举例 圆弧中两球的平衡问题 半径为R的固定圆弧上，有两个同样大小但质量不同的匀质小球，其半径为R/3，求平衡时两球的位置。 这个问题用虚功原理或势能最小原理。

求解 解： 这里三个球心正好构成正三角形。平衡时，小球组的质心正好在铅垂线上，是最低的。

虚功原理举例 求约束面的形状 一个均质杆一端靠在光滑的墙壁，另一端所在的约束面是什么形状才能使杆在任何位置都能平衡？（本书第10页） 用势能最小原理，当虚位移发生时，杆的重心高度应该不变。 y q x O

达朗贝尔原理 考虑动态情况，这时可以将系统中的每个质点的加速运动看成在局部的非惯性参考系下的静力平衡问题，需要加上惯性力，因此

达朗贝尔原理进一步深化 由于广义坐标的独立性，从达朗贝尔原理可进一步推出

拉格朗日方程的由来 注意到由 同时将广义速度与广义坐标视为不同的变量，可推得

拉格朗日方程 因此，得到拉格朗日方程 其中T是系统质点的总动能

保守力体系的拉格朗日方程 对于保守力，由于 拉格朗日方程成为 其中L=T-V是系统的拉格朗日量。

拉格朗日方程方法的长处 拉格朗日方程依然是从牛顿力学导出的，其方程与牛顿力学给出的结果必然相同。 拉格朗日方程方法适合处理具有复杂约束的系统。广义坐标的优选可使得约束的表达式更加简单。约束使自由度减少，从而使方程数减少，未知量减少，自然消去了很多不需要知道的约束力未知数。 拉格朗日方法是使用能量作为分析对象的，而能量是标量，处理方便；另外，能量在各种物理过程中普遍存在并相互转化，可方便地推广应用到其他物理领域。而牛顿力学是使用矢量分析，受坐标变换影响大，且矢量有较多的分量，处理较繁琐。

拉格朗日方程解法步骤 确定系统自由度 选择广义坐标 将各个质点的位置矢量用广义坐标表达 计算各个质点的速度 给出系统的总动能 如果是保守系，给出势能，如果不是保守系，给出广义力 相应得到拉格朗日方程组 结合初始条件求解

实例 r m1 m2 q O x z 连线穿孔两小球的运动 自由度为2 广义坐标r，q。 r1= r er，r2= (r-L) ez

实例 通过角动量守恒，可化为自由度为1的径向运动。 运动方程与势阱中的小球的运动方程完全相似，有机械能守恒，能量由势能和动能之间相互转换。 Eo r E Veff 作业：1.6，1.8，1.13，1.14 第4次课

哈密顿原理 作用量的定义 哈密顿原理告诉我们，系统从t1演化到t2的所有可能路径中，系统将沿着使作用量取极值的那条路径移动。 “可能路径“是指广义坐标qi关于时间t的所有连续可微的函数关系qi(t)，且在初始时刻t1和终了时刻t2的位置是已知的确定值。

变分法求极值 哈密顿原理告诉我们，求解真实运动过程（得到坐标与时间的函数关系）就是寻求作用量函数达到极值的问题。 对于自变量为“函数”的函数极值问题，可以使用变分法。 为了求S的极值，使函数q(t)稍作改变，改变量为l*dq(t)，其中dq(t)在两端为0且连续可导，l为系数参量。

变分法求极值 函数q(t)变成q(t)+l*d(t)，这时积分值S也可以看成是参数l的函数。 如果函数q(t)可以使S取到极值，同样必须在l=0时，S(l)取极值。即

变分法求极值 积分得（注意到ddq=ddq） 由于dq(t)在两端为0且其他点的任意性，从而必须有

变分法求极值 S取极值时，所需满足的条件正是拉格朗日方程。反之，真实的过程满足拉格朗日方程，能使作用量函数S取到极值。 以上过程也能直接用变分法进行：

变分法求极值的其他例子 最速下降线问题。上下两端点固定，求哪种曲线的轨道能使质点从上端点由静止在最短时间内运动到下端点？ y A x1 B

变分法求极值的其他例子 最速下降线问题，解为摆线。 令q为曲线上的切线与x轴的夹角，则 X y q

变分法求极值的其他例子 悬链线问题，解为双曲余弦线。 X y

变分法求极值的其他例子 光线行进时间为极值（通常是极小值）的路径。 X y

变分法求极值的其他例子 单位球面上短程线问题。 a代表切线et与经线eq夹角。这说明 z p1 x y o r p2 单位球面上短程线问题。 a代表切线et与经线eq夹角。这说明 由于z轴选取的任意性，erxet必须为常矢量。且短程线在与之垂直的平面内。

变分法求极值的其他例子 事实上，可积分求解球面上短程线问题： 是过零点的平面方程，应该是同时过始末两点，且与球面相交所得的圆。 作业：1.16，1.18，1.20，1.21 第5次课

条件变分问题 积分约束条件下的变分问题 举例：由一条长度为L且始末两点是x轴上固定点的曲线与x轴围成最大面积。 y 积分约束条件下的变分问题 举例：由一条长度为L且始末两点是x轴上固定点的曲线与x轴围成最大面积。 通用的处理方法：将约束条件乘以参数l，加到被积函数之中，使之取极值。 S若取到极值，必须 即满足约束条件。

条件变分问题 令q为曲线切线与x轴的夹角，则 X y

与哈密顿原理类似的其他原理 莫培督原理。应用于保守力体系。等能而不等时的变分为0。由哈密顿原理： 为了强调是等能变分而不是等时的，变分符号用 D 代替 d ：

莫培督原理 进一步，若动能T可改写为： 则 式中dt已被消去。这即是莫培督原理的变分形式，可用等能变分求运动轨迹。

莫培督原理举例 y x a 求抛体运动

与哈密顿原理类似的其他原理 费马原理 应用于几何光学。光线沿用时最短的路径前进 平衡体系能量最小（重力势能，静电能，磁场能量），如果没达到最小，可经过一段时间的调整，耗散能量，最后达到最小。而哈密顿原理和费马原理的最小值取得是瞬时的。

从哈密顿原理看拉格朗日函数的 相加性 两个相互独立体系组成统一体系： LA=TA-VA，LB=TB-VB，则L=LA+LB

从哈密顿原理看拉格朗日函数的 非唯一性 拉格朗日函数可以加上任一个函数f(q,t)的时间全微商，不影响结果。因为全微分的积分是定值，对作用量的变分没有贡献。 由于始末端固定，f的变分为0 也可以直接验证 满足拉格朗日方程。

从哈密顿原理看拉格朗日函数的 非唯一性 直接验证： 为了简便，拉格朗日函数中的时间全微分项可以适当去除。

解题实例 螺旋线上的珠子 轨道方程为已知 陈世民，P25例1.5

解题实例 q 在竖直平面内的弹簧摆

解题实例 M m 在竖直平面内的两个绳连重物 作业：1.24，1.25，1.26，1.28 第6次课

拉格朗日函数与运动积分 一般情况下，拉格朗日方程为s个二阶微分方程（s为自由度），求解之后，有2s个积分常数。这些积分常数需要初始条件（t=0时的广义坐标和广义速度）确定，得到 有时，某个Ci可以表示为广义坐标和广义速度的组合，在运动过程中保持守恒，成为运动积分：

拉格朗日函数与运动积分 广义动量的定义： 拉格朗日方程成为类似牛顿定律的方程 循环坐标：如果拉格朗日函数中不显含有某个广义坐标，则此坐标成为循环坐标。循环坐标对应的广义动量守恒，是运动积分。

拉格朗日函数与广义能量 当拉格朗日函数不显含时间时，能够得到的运动积分是广义能量 H。

拉格朗日函数与广义能量 对于几何约束，可以求速度表达式为： 动能表达式中所含的广义速度的

拉格朗日函数与广义能量 此时，L不显含t时，有守恒量 对于稳定的几何约束，T=T2，H=T+V是机械能。这里着重指出的是，如果约束是不稳定的，系统的机械能并不守恒，守恒的是广义能量H。

广义能量举例 求解一个弹簧振子在一个以w角速度绕z轴旋转的、在xy平面内的光滑管中的运动。 与机械能守恒不同 可看作是离心力产生的势能。 不稳定约束产生了T0项 q y z x

相对论时的拉格朗日函数 相对论中的光速不变性，要求光在运动时的空间和时间的参量变化保持下式不变（都为0）： 推而广之，我们要求在相对论中，质点移动产生的ds在不同参考系中也保持不变。同时我们知道在普通三维空间中，两点之间的间距|dr|在不同参考系中都保持不变，因此，只要将时间变成第4维，运动位移成为4维向量 而ds正比于它在4维空间中的间距|dr(4)|，也能保持不变。

相对论时的拉格朗日函数 如何描述一个自由质点的运动，是最基本最简单的问题。对此，我们希望给出相对论时空中的自由质点运动的作用量函数。因为作用量函数是标量，标量不会因选取不同的坐标系而变化，而对于自由运动的质点，我们能构造出的具有这种不变性的量仅仅是它运动时的4维间距，是仅知的标量。因此，取 为了能在低速情况下回到经典的拉格朗日函数，必须取恰当的系数

相对论时的拉格朗日函数 这样，我们得到了相对论时的拉格朗日函数，并能验证它在低速情况下能回到经典力学的拉格朗日函数（仅相差一个常数）： 从而，质点的动量为 与经典情况相比，产生了质量增加的效果。

相对论时的拉格朗日函数 保守场中，质点的运动方程为： 这即是质点的受力方程 动能

相对论时的拉格朗日函数 质能公式： 这里b是归一化速度，g是相对论因子。 拉格朗日函数这时并不是动能减势能。 有了拉格朗日函数，相对论的运动过程都已经得到解决。具体运用到各个方面，可以与各个经典物理的结果作比较分析。

相对论的时空变换 4维时空的“位移”： 位移的绝对值是4维空间的标量，不随选取不同的坐标系而变化。 对于另外一个以匀速v0运动的惯性系，经典力学给出伽利略变换： 我们需要寻找4维时空的变换，使得在低速时是伽利略变换，且保持4维矢量的模不变。

相对论的时空变换 两个惯性系之间的4维时空的坐标进行变换时，由于起始时间和原点重合，因而时空坐标原点也重合。 因为 x'=x-v0t=x+ibict，这里 b=v0/c，可看作位置（x，ict）在 x' 坐标轴上的投影（点乘积）。故 x' 轴的向量平行于(1，ib)，归一化为(g，igb)，这里 g = (1-b2) -1/2 x ic t' x' ic t x'=x-v0 t (x, ic t) 而时间轴（ict')与空间轴(x')应该相“垂直”，才能保证"长度"不变，故时间轴向量为（-igb，g)，从而得到洛仑兹变换：

相对论的时空变换 因为dt 是4维空间的标量，是时空坐标变换时的不变量，用它代替dt 求速度时，可得 4维空间的速度向量 u(4) =(dr, icdt)/dt = g(v, ic) 4维向量：动量-能量 mu(4) = (p,iE/c) 它们都遵从洛仑兹变换。如 它们都有不变的模 作业：1.30，1.33，1.36，1.37 第7次课

拉格朗日函数的空间均匀性 拉格朗日函数的空间均匀性指当将系统进行一个微小的平移之后，拉格朗日量不改变。 由dr的任意性得到动量守恒。

拉格朗日函数的空间各向同性 拉格朗日函数的空间各向同性指当将系统进行一个微小的转动之后，拉格朗日量不改变。 由dj 的任意性得到角动量守恒。 空间均匀性可看作x,y,z是循环坐标，各向同性可看作j是循环坐标。

带电粒子在电磁场中的拉格朗日函数 在相对论中，我们取4维时空的位移向量为 空间的电磁场同样是由4维的电磁场势能向量描述，后面可以验证可写为： 描述带电粒子在电磁场中运动的作用量函数dS还需要有一个标量部分，这个标量要有描述粒子运动位移的成份，也要有描述电磁场的成份。此时，dr(4)∙(A,ij/c)符合要求。两个4维向量点乘，得到不随坐标变化的标量。另外还要乘以粒子的电荷e。

带电粒子在电磁场中的拉格朗日函数 在相对论中，可取作用量函数为 而对于低速情况，可取普通的动能代替拉格朗日函数的第一项。当然也可以不替换。 得到拉格朗日函数 广义动量： 拉格朗日方程：

带电粒子在电磁场中的拉格朗日方程 x分量为拉格朗日方程： 利用 得到洛仑兹力方程

粒子在电磁场中运动方程的4维形式 用4维向量重新写拉格朗日函数和方程： 得到 Fji是电磁场张量。方程在4维时空坐标变换下形式不变。

粒子在电磁场中运动方程的4维形式 矩阵形式： 矩阵[Fji]是反对称的，求本征值方程|Fji-lI|=0时，是关于l2的一元二次方程。由于本征值在坐标变换时的不变性，因而方程系数也是不变的。

粒子在电磁场中运动方程的4维形式 其中， 是标量，以后在电磁场的拉格朗日函数中需要用到。 另一个系数E∙B也是不变的，但它是赝标量（考虑时间反向的运动，从受力方程看，速度反向，电场不变而磁场反向，因而E∙B反号，而真标量应该不变。），但(E∙B)2是标量。 + B E 作业：1.29，1.34，1.38，1.39 第8次课

两体碰撞 两体问题是质点相互作用中最简单最基本的过程。 大到太阳和地球的相互作用，小到原子核之间的散射碰撞，都可以简化为两体问题。 两体问题可以约化为单质点的有心力问题。用两点的质点系的质心位置rc和两点间的位移r代替两质点的位置r1，r2。

两体碰撞的拉格朗日函数 定义 m=m1m2/(m1+m2) 是约化质量，可解得 从而拉格朗日函数可写为 r m2 m1 r1 r2 rc

两体碰撞是有心力作用下的平面运动 利用拉格朗日函数的相加性，分解为一个质量为（m1+m2）的自由质点，与一个质量为 m 的在势能 V(r) 中运动的粒子。 牛顿第三定律告诉我们，两质点的相互作用是沿着 r 方向的，因此势能 V(r) 产生的作用力是有心力。 有心力作用时，力矩为0，因而角动量 J = r x mv守恒。以角动量的方向为z轴，因为r垂直于J，质点可限制在xy平面内运动。

两体碰撞的方程 J r z x y 约化质量质点的拉格朗日函数： 相应的拉格朗日方程： 角动量守恒可写为 b是瞄准距离，v0是初始速度

弹性碰撞与非弹性碰撞 弹性碰撞时，相互作用力是保守力，机械能守恒。约化质量的质点的初速度与末速度相等。这意味着它的速率不变但运动方向可能改变。|v1'-v2'|=|v1-v2| 非弹性碰撞时，有耗散作用力将一部分机械能转变成热能，因而其末速率比初速率小，两者比例为参数e。e=1是弹性碰撞，而非弹性碰撞时e<1。|v1'-v2'|=e|v1-v2|

弹性碰撞与非弹性碰撞 一般来说，碰撞之后的速度表示为 v1' = vc + | v1-v2 | e m2 / (m1+m2) 其中 vc = (m1v1+m2v2) / (m1+m2) 是质心的速度，e 是不超过1的向量，代表质点在质心系里碰撞之后的方向，其大小代表速度的恢复率。对于弹性碰撞，其数值为1，对于非弹性碰撞，其数值小于1。

平方反比力的碰撞 对于平方反比力，假设 F(r)=k/r2 ，k的符号决定是斥力或者是引力。对时间积分： 从而 q eq er A B

平方反比力碰撞的轨迹 因此 取eq方向，除以h或 是双曲线，最近距离为 q A B b

平方反比力碰撞的偏转角 令 r →无穷大，求偏转角j 由此得到偏转角 这里b是瞄准距离， b0是偏转90°的瞄准距离 q A B b

微分散射截面 通过散射过程，某一小块立体角dW（可以看作是单位球上的一块小面积）与某块入射面积ds对应起来，微分散射截面就是指 ds/dW。 由偏转角和瞄准距离的关系就能得到散射截面。 卢瑟福散射实验 B b q A

微分散射截面 平方反比力的散射截面为 刚性球的散射截面 q b

碰撞速度的图示 v'2 v'2L v1 v2 vC v'1 v'1L 质心系中，m1和m2的初始速度为 v1，v2 ~（m2，m1） 碰撞之后速度为v'1，v'2，~（em2, em1） 质心速度为vc 还原到实验室坐标系里，末速度为v'1，v'2 v1 v2 v'1 v'2 v'2L v'1L vC 作业：2.1，2.2，2.3 第9次课

实验室参考系的偏转角 考虑实验室参考系中，初始时m2是静止的。 画出速度 v1c，v2c，v'1c，v'2c，v'1，v'2，vc 长度比例 m2，m1，em2, em1, ??，??，m1 qL q

实验室参考系的微分散射截面 只要求出实验室参考系与质心系的立体角之比，就能利用质心系的微分散射截面公式。完全弹性碰撞时，e=1： 由 得

实验室参考系的微分散射截面 考虑质量比a=m1/m2<<1，=1的两种情况。 a<<1 a=1

实验室参考系的微分散射截面 对于卢瑟福散射，考虑a=m1/m2<<1，=1的两种情况。 a<<1 a=1

实验室参考系的动能交换 碰撞之后 m1的动能平均值为 利用刚性球模型 当a=m1/m2=e2时碰撞交换走的动能最多，此时m1损失的动能占原先的1/(e2+1)。

碰撞问题举例 平面上两个小球的弹性碰撞，m2初始速度为0。证明：若 m1=m2时碰撞之后两小球的运动方向相互垂直。 可在质心系作速度分析说明两球末速度相互垂直（上图）。 也可用勾股定理对应直角三角形来证明。 也可沿作用力方向分解说明其后速度垂直（下图）。

碰撞问题举例 平面上两个小球的弹性碰撞，m2初始速度为0。分 m1>m2和m1<m2时讨论m1和m2速度偏转方向的范围。 q2L q q q1L m1>m2 m1<m2

相对论高能粒子的碰撞 以 p1，E1，p'1，E'1和 p2，E2，p'2，E'2 分别代表 m1和 m2 质点在碰撞前、后的动量和能量，运用动量守恒和能量守恒，有 由于碰撞是平面问题，可以看作p'1x，p'1y，p'2x，p'2y，四个未知量，最后一个方程给出了能量E的表达，E视为已知。需求解的方程只有3个（动量2个能量1个）还需要一个条件，如偏转角，或其中一个粒子的末动能等。

相对论碰撞例题 能量为Ei 的光子被质量为 me的静止电子所散射。散射后光子能量为Ef 并偏转 q ，证明这几个量有关系 1 - cosq = mec2(1/Ef - 1/Ei ) 证： 化简整理即得。

相对论碰撞例题 一个静止的p+介子衰变成m+子和中微子。三者静止质量分别是mp0，mm0和0。求m子和中微子的动能： 作业：2.4，2.5，2.6 第10次课

开普勒定律 开普勒在观测行星运动的基础上提出了三个定律：1. 行星轨道是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上。2. 行星与太阳连线在单位时间内扫过相同的面积。3. 行星轨道周期的平方与其轨道半长轴的立方成比例。 开普勒第一定律给出了运动的轨道，不是圆上套圆的运动，而是简单的椭圆，是个不小的进步。 开普勒第二定律给出了行星方位随时间变化关系。 开普勒第三定律给出了不同行星的轨道之间的共性。

行星运动和受力 开普勒三定律是运动学定律，从而我们可以从它对行星运动的描述求得行星的受力。牛顿发现万有引力定律，不是靠苹果砸的，而是从开普勒定律推算得到。 开普勒第一定律给出了运动的轨道是椭圆，因此这是平面运动，可用极坐标处理： 计算行星受力，为

行星受力是有心力 由开普勒第二定律，有 可令 是常数，即是角动量守恒，得到eq方向受力为0，行星受力为有心力。 计算行星受力时，时间 t 也用此替换：

万有引力定律 这说明行星受力是平方反比引力。但系数 对每个行星都一样吗？ 开普勒第三定律讲的是行星之间的共性，即 是常数。以上用到了 比照地面重力，这个常数显然与质量有关，故万有引力为

微振动 各个质点在平衡位置附近作微振动，且平衡点的类型是稳定平衡点，即偏离平衡时，系统的势能增加。对于不稳定平衡和随遇平衡，系统无法产生往复振动。 广义坐标一般为 qi=qi(0)+qi(1)，其中0阶量是常量，是平衡时的位置，而1阶量是振动的变量。 在解微振动的问题时，要重新取广义坐标使得qi(0)=0。以下的研究都是基于平衡点在广义坐标取0值进行的。若不这样取，某些结果不能套用。

微振动势能 对势能 V(q) 在平衡位置附近进行小量展开 取V(0)=0，平衡点上又有 ∂V/∂qi=0，并记 因是微振动，忽略2阶以上的高阶小量。写为矩阵二次型形式： 这里第一个下标是行序数，第二个是列序数。

微振动的动能 因为系统有平衡位置存在，因此约束必是稳定的，此时动能是广义速度的二阶齐次项（T=T2），为 这里矩阵 m 的各个分量一般也可以是位置q 的函数，但我们对动能只能保留到2阶小量，因而需在平衡点上计算 m，得到的 m 为常量。

微振动的拉格朗日函数 动能 T 总不能小于0（速度平方总不小于0），因此矩阵 m = ( Mij )sxs 是正定的。 在稳定的平衡点势能V取极小值0，因此 V≥0，k=(kij ) sxs是正定的；同样，T≥0， m =( mij )sxs也是正定的。 拉格朗日函数可写为 拉格朗日方程为

微振动的拉格朗日方程 由矩阵m、k的对称性，得到拉格朗日方程 这是一个线性常微分方程组，即如果 q(A)和 q(B) 都是方程的解，则 q(C) = aq(A) + bq(B) 也是方程的解。因此，q 的运动尽管可能出现多种频率的振动，我们可以把每一个频率的振动单独分解出来研究。对于频率为 w 的振动，不妨设为 q = Re[qw exp(iwt)]，得到线性方程组：

微振动的久期方程 q = 0显然是方程的解。若要得到非 0 解，必须满足久期方程： 对于w2而言，这是一个一元s次方程，应该有s个解，称为s个本征（简正）频率 对于不满足这个久期方程的频率，线性方程组只有 0 解，意味着不存在该频率的振动。反之，能够出现的振动频率必须满足久期方程，且是s个本征频率之一。 当w=wj时，方程组 线性相关，可解得一组非 0 振幅 qw =qwj，称为本征（简正）向量。

本征频率重根时的本征向量 解出的本征向量显然不具有唯一性，但同一个本征频率对应的不同本征向量之间一般只相差一个常数倍，意义相同。只对于久期方程的n重根频率，才能对应有线性无关的n个本征向量出现。 对于有重根频率的情况，s个本征向量能通过适当选取使其是线性无关的。 下面会证明w2是不小于0的实数，从而本征向量的各个分量也为实数。

微振动的本征振动 用 qwT 乘以线性方程，可知： 由于 m和 k 都是正定的实对称二次型矩阵，w2 也是非负的。因此，本征频率都是实数。事实上，w2 也是矩阵 m-1k 的本征值，而 qw 正是对应的本征向量，满足： 由于久期方程是关于w2 的一元 s 次方程，应该有 s 个根，前面已经说了这些根都是非负实数，因此对应 s 个本征频率的振动。

微振动的本征坐标 广义坐标 q 随时间的变化是由这 s 个本征频率的振动的线性组合构成。即： 其中，常数 Aj 和 aj 依初始条件待定。事实上，上式可以改写为： 这里引入新的广义坐标 Q，它也称为本征坐标，其每个分量对应一个频率的振动，它与广义坐标 q 之间的线性变换是矩阵 R，由本征向量排列而成。本征坐标 Q 可由 Q = R-1q 求得。

微振动的本征坐标 以 Q 为新的广义坐标则能得到单一频率的振动。可验证如下：注意到 将j=1,2,…,s各个等式逐列排列起来，即 令矩阵 w2 是以 s 个 w2j 构成的对角矩阵，则有： 本征坐标 Q 的方程解得各个本征频率的振动。

一些矩阵的具体表示

微振动的解法小结 确定微振动的平衡位置。 调整广义坐标以便使平衡位置处于所有 qj=0 处。 在平衡位置处将势能函数展开并保留到二阶小量。 写出系统的总动能，展开并保留到二阶小量。 列出久期方程，解出s个本征频率wj。 对于每个本征频率，解出相应的本征向量 。 给出广义坐标随时间变化的通解： 通过初始条件确定各本征振动中的待定系数。 作业：2.7，2.8，2.9 第11次课

q1 q2 微振动实例 二维耦合摆问题：

微振动实例 m M 三原子问题：

微振动实例 三原子问题： w=0相当于系统质心不动（或匀速运动）。 对应的解为

微振动实例 q1 双单摆问题： q2

阻尼振动 物体在运动过程中经常遇到阻尼。 阻尼力与物体运动速度有关。 常见的有： 这里处理与速度 v 成正比的粘滞阻尼。 摩擦阻尼（与速度无关）。 粘滞阻尼（与速度 v 成正比）。 尾流阻尼（与速度平方成正比）。 波阻尼等与速度关系复杂的类型。 这里处理与速度 v 成正比的粘滞阻尼。

耗散函数 粘滞阻尼力： 阻尼的广义力： 这里耗散函数F定义为

带耗散的拉格朗日方程 耗散函数是非负的。 耗散现象使得系统的机械能丧失。 有阻尼时的拉格朗日方程： 化为矩阵形式：

方程组求解 使用试探解 elt 能方便的求出本征振动频率和阻尼率。其中，如果是简谐振动，l 就是纯虚数。 若要ql有非0解，方程的系数行列式必须为0。这样就得到一个关于l的一元2s次方程。为了研究根l的性质，用非0解qlT乘以原方程得 由于三个系数都是非负的，可知：l的实部非正，与c成正比。l若是复数，则与其共轭l*一同出现。此一元二次方程的两个解具有同一个本征向量。

本征值和本征坐标 记每个本征值lj 对应本征向量为 qlj，j=1,2,..,s。同时具有同样这个本征向量还有另一个本征值lj+s 。 则最后整体的解为 对应实根lj的系数Aj是实数，对应复根lj的系数Aj是复数，但必须满足 Aj = A*j+s ，lj = l*j+s（共轭关系），使两者相加之后为实数。 本征坐标同样可以通过线性变换得到 作业：2.10，2.11，2.13 第12次课

阻尼振动实例 K 被3根弹簧连接的两个质点，具有阻尼。 k k

阻尼振动实例 弱阻尼情况（a<b<0）： 中阻尼情况（a<0<b）： 强阻尼情况（0<a<b）：

阻尼振动的波形 欠阻尼情况 （振荡衰减） 过阻尼情况 （衰减无振荡） 合成（中阻尼 ）

受迫振动 以前讨论的都是自由振动，但在平衡位置附近的质点有时受到周期振荡的外力。 拉格朗日函数不变，拉格朗日方程左端不变，右端所受广义力包括了新加的外力： 假设q(a)(t)和q(b)(t)都是方程的解，则可验证 q(c)(t)=q(a)(t) - q(b)(t) 是齐次方程的解。即方程的通解是齐次通解加任一特解。 外力也可以包含有几个频率的振荡，分别求出各个频率的特解，他们的和即是整个方程的特解。

受迫振动的特解 受迫振动的特解与外力的振荡具有相同的周期（或频率）。 把外力和广义坐标的振动都用复数处理是简便的。 用qi(t) = qi ei wot 试解，并解线性方程组可得到各个系数 qi 。对 qi(t) 取实部之后即得频率为 w0 的外力驱动时的特解。

自由度为1时受迫振动的特解

自由度为1时受迫振动的通解

受迫振动特解的分析 振幅最大值在频率为 w0max 时取得： 在没有阻尼的情况下，频率为固有频率时，振幅趋向于无穷大。这即为共振现象。但振幅过大时，微振动假设已不成立。 有阻尼的情况下，共振发生在驱动的外力的频率大致与固有频率相同的时候。

多自由度的受迫振动 多自由度时，齐次通解在有耗散时，最后趋向于0，只剩下驱动源的频率的振动。特解可以通过解线性方程组得到。 先求齐次方程的通解 构造齐次方程 解久期方程，得到s对本征值lj、lj+s（两个负实数，或实部为负数的一对共轭复数），进而解出本征向量qlj，j=1,2,…,s。 得齐次方程通解

多自由度的受迫振动 对于每个频率的驱动源分别求特解。 多个驱动源同时存在时，特解也可叠加。最后得到：

与电容、电阻、电感的电路同构 电子学的有交流电源的电容、电阻、电感的电路所得到的方程与力学上的微振动的受迫振动的方程具有相同的数学形式（线性二阶常微分方程组），称为数学上的同构。对应关系如下： 电压 交流电源 电荷 电流 电感 电阻 电容倒数 广义力 外力 广义坐标 广义速度 质量 耗散系数 弹性系数

电路的“拉格朗日函数”和“耗散函数” 对于一个线性的交流电源的电容、电阻、电感的电路系统，可以比照力学系统进行处理。首先看看需要确定哪几个（自由度）电荷（电流的时间积分）做变量（广义坐标），确定系统“拉格朗日函数”和“耗散函数”

电路分解举例 作业：2.12，2.14，2.15 第13次课

非线性振动 如果微振动的假设不成立，可能可以用的方法有： 举例：单摆问题。振幅 A 不是非常小。 解析方法求精确解。 微扰法逐次求出更高阶的小量。 数值求解。 举例：单摆问题。振幅 A 不是非常小。

单摆的非线性振动周期 取参数 j 使其在单摆的周期内变化 2p： 可得椭圆积分：

非线性单摆的微扰解法 也可以用微扰法求解单摆问题：

非线性单摆的微扰解法 非线性存在时不能用复数方法求解。这里一阶方程出现了一个问题，驱动力包含与固有频率相同的频率的成分，会产生振幅趋向于无穷大的振荡，与我们的假设不符。这是由于非线性时，振荡频率有变化，而我们的基频也应该有所改变。

非线性单摆的微扰解法 解得的频率修正项与解析法求得的相符。 二阶及以上的计算需要更多高阶项。 具体到单摆的问题，需要计入5次谐波，每一级小量是单摆振幅的平方。

广义势能 一般意义上，势能只是位置（广义坐标）的函数，而拉格朗日函数是动能减去势能。 从带电粒子在电磁场中的拉格朗日函数（相对论形式）来看，拉格朗日函数不一定是动能减去势能，用拉格朗日函数直接描述质点的运动可能更基本，只在特殊情况下才写为动能减去势能。

广义势能描述带速度的力 由拉格朗日方程： 由此，一些包含速度的力可以由广义势能描述。如劳伦兹力：

洛伦兹力的广义势能 从广义势能得劳伦兹力： 与原先的表述相同。 例：求广义势能，受力为 第14次课