§6.7 子空间的直和 一、直和的定义 二、直和的判定 三、多个子空间的直和
由维数公式 设 为线性空间V的两个子空间， 有两种情形： 此时 即， 必含非零向量.
此时 不含非零向量，即 情形2）是子空间的和的一种特殊情况 直和
一、直和的定义 注: 设 为线性空间V的两个子空间，若和 中每个向量 的分解式 是唯一的，和 就称为直和，记作 ① 分解式 唯一的，意即 中每个向量 的分解式 是唯一的，和 就称为直和，记作 注: ① 分解式 唯一的，意即 若有 则
② 分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中 都成立. 例如，R3的子空间 这里， 在和 中，向量的分解式不唯一，如 所以和 不是直和.
而在和 中，向量 (2,2,2) 的分解式是唯一的， 事实上，对 都只有唯一分解式： 故 是直和.
二、直和的判定 1、(定理8) 和 是直和的充要条件是零向量 分解式唯一，即若 则必有 2、和 是直和 3、和 是直和
总之，设 为线性空间V的子空间，则下面 四个条件等价: 1） 是直和 2）零向量分解式唯一 3） 4） 4、(定理10) 设U是线性空间V的一个子空间， 则必存在一个子空间W，使 称这样的W为U的一个余子空间.
注意： 余子空间 一般不是唯一的(除非U是平凡子空间). 如，在R3中，设 5、设 分别是线性子空间 的一组基，则 是直和 线性无关.
三、推广 多个子空间的直和 1、定义 都是线性空间V的子空间，若和 中每个向量 的分解式 是唯一的，则和 就称为直和，记作
2、判定 设 都是线性空间V的子空间，则下面 四个条件等价: 1） 是直和 2）零向量分解式唯一，即 3） 4）
例1、每一个n 维线性空间都可以表示成 n 个一维 子空间的直和. 证：设 是 n 维线性空间V的一组基, 则 而 故 得证.
例2. 已知 ，设 证明：1） 是 的子空间. 2）当 时， 证：1） 任取 有 是 的子空间.
下证 是 的子空间. 又对 有 从而有 故 是 的子空间.
2）先证 任取 其中 又 又 是 的子空间， 再证
任取 从而 所以
例3、 和 是直和 证: 则
则零向量还有一个分解式 （*） 在(*)式中，设最后一个不为0的向量是 则(*)式变为 这时， 所以， 是直和.
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