授课对象:经济学专业、国际贸易专业、财务管理专业 微分方程在经济学中的应用 授课对象:经济学专业、国际贸易专业、财务管理专业 授课学时：2学时（90分钟） 授课目的: (1)学会解微分方程 (2)体会建模思想和微分方程在经济学中应用 授课教师: 张丽莉
全社会只生产一种产品，可以是消费品，也可以是投资品； 储蓄是国民收入的函数； 一、多马(Domar, E.D.)经济增长模型 多马(Domar, E.D.)经济增长模型的基本假设: 全社会只生产一种产品，可以是消费品，也可以是投资品； 储蓄是国民收入的函数； 生产过程中只用两种生产要素，即劳动力和资本，这两种要素之间相互不能替代； 劳动力按照一个固定不变的比率增长； 不存在技术进步，也不存在资本折旧问题； 生产规模报酬不变。
设S(t)为 t 时刻的储蓄，I(t)为t时刻的投资，Y(t)为t时刻的国民收入，多马曾提出如下的简单宏观经济增长模型： 其中 、 均为正的常数，为初期国民收入， .
第一个方程表示储蓄与国民收入成正比（ 称为储蓄率）， 第二个方程表示投资与国民收入的变化率成正比（ 称为加速数）， 第三个方程表示储蓄等于投资. 由（1）中前三个方程消去S(t)和I(t)，可得关于Y(t)的微分方程:
可分离变量方程 形如 的一阶微分方程，称为可分离变量方程 . 将方程两端分别对x和y积分,得到 其中C为任意常数.
即 两端积分得到 其通解为 , c是任意的常数. 由初始条件 ，得 于是有 由此可得: 均为时间 的单调增加 由 可知， 函数，即它们都是不断增长的.
多马模型的结论与意义 从凯恩斯的理论框架开始，但避免了凯恩斯投资率不会增加资本存量规模的假定（短期分析），从而变成了长期理论。 该模型产生了一种均衡条件，它意味着经济增长的不变比率。 模型提出储蓄或资本的形成是经济增长的决定性变量，一个经济的增长能力依赖于一个经济的储蓄能力，政府可以通过调节储蓄水平、刺激资本积累来实现经济的长期增长。
多马经济增长模型的缺陷 资本产量比不变的假定意味着资本和劳动力根本不能替代，这一假定是不现实的。 该模型过于强调储蓄和资本积累的作用，从而将经济增长推向“唯资本论”的方向。 没有考虑到技术进步在经济发展中的作用。 政府干预的结论带有浓厚的凯恩斯主义的色彩，而对市场机制的作用有所忽视。
二、索洛（Solow, R. M.）经济增长模型 索洛模型假设： 该模型假设储蓄全部转化为投资，即储蓄-投资转化率假设为1； 投资的规模收益是常数； 该模型修正了哈罗德-多马模型的生产技术假设，采用了资本和劳动可替代的新古典科布-道格拉斯生产函数。
设Y(t)为t时刻的国民收入，K(t)为t时刻的资本存量，L(t)为t时刻的劳动力，索洛曾提出如下的经济增长模型：
其中s为储蓄率(s>0)， 为劳动力增长率 ， 为初始劳动力 为K和L的一次齐次函数， 称为生产函数. 由（2）的前两式，可得 ――称为资本劳动力比， 表示单位劳动力平均占有的资本. 令
将 代入上式并利用 可得 为了求出方程(3)的解，需给出生产函数 的具体形式. 为此，下面取生产函数 柯布―道格拉斯(C0bb - Douglas) 生产函数，即设
其中 均为常数. 易知 将其代入（3）得
伯努利（Bernoulli）方程 形如 的方程，称为伯努利方程(它是由James Bernoulli在1695年提出的)，可以化成一阶线性方程来求解，其中n为常数.
将方程两端除以 ，得到 令 有 将(5)代入(4),得到 这是一阶线性方程，可以求解.求出后再用 代回，即得伯努利方程的解.
这是以 为未知函数的伯努利方程.
令 则有 这是关于 的一阶线性方程，其通解为 将 代入上式，得 如果 则由上式有
于是有 其中设
索洛经济增长模型的一些结论与意义 增长必须用人均数据（output per capita）来衡量，强调技术进步时人均收入增长的源泉。 所有增长最终可以归结到两种途径：资本（物质和人力）积累和技术进步。 重新假定生产要素（资本与劳动）具有相互替代性，使资本—产出比由固定不变成为可变。 强调市场机制在经济增长过程中的作用。无论经济处于什么样的初始状态，市场机制只要是完全的，就可以选择合适的资本—产出比，保证充分就业。
索洛模型的缺陷 模型中假定资本与劳动力可以任意替代，以便生产要素可以充分利用，实现均衡增长，是不符合实际的。 缺乏政策指导意义。 认为技术进步是经济增长的决定因素，却有假定技术进步是外生变量，结果使得新古典模型对一些重要的增长事实无法解释。