第一章 复数及复平面 复数及其几何表示 复平面拓扑
第一节 复数及几何表示 一、复数域与复数的公理化定义 二、复数域是实数域的扩充 三、复数的运算 四、共轭复数 五、复数的几何表示 第一节 复数及几何表示 一、复数域与复数的公理化定义 二、复数域是实数域的扩充 三、复数的运算 四、共轭复数 五、复数的几何表示 六、复数的三角表示 七、复球面及无穷大
一、复数域与复数的公理化定义 1. 复数域 虚数单位 Cardan介绍 对虚数单位的规定:
虚数单位的特性: ……
复数的定义 注意：
例1 解 令
两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等. 复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0.
复数的加法和乘法的定义
注意： 说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的大小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 也就是说, 复数不能比较大小.
2. 复数的公理化定义
二、 复数域是实数域的扩充
三、 复数的运算 性质
注意：
减法是加法的逆运算 注：
除法是乘法的逆运算 注：
乘方运算
开方运算
例2 解
四、 共轭复数 定义 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数. 例3 解 结论：
例4 解
性质
共轭复数的性质:
复数运算举例 例5 解
例6 解
例7 解
例8 证
五、复数的几何表示 1. 复平面的定义
2. 复数的模(或绝对值) 显然下列各式成立
3. 利用平行四边形法求复数的和差 两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致.
4. 复数和差的模的性质 如何证明?
5. 一对共轭复数在复平面上的位置关系
六、复数的三角表示 1. 复数的辐角 说明 辐角不确定.
辐角主值的定义:
2.复数表示 利用直角坐标与极坐标的关系 复数可以表示成 复数的三角表示式 再利用欧拉公式 欧拉介绍 复数可以表示成 复数的指数表示式
例9 将下列复数化为三角表示式与指数表示式: 解 故三角表示式为 指数表示式为
例10 解
(三角式) (指数式)
结论一： 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和. 证
[证毕] 从几何上看, 两复数对应的向量分别为 两复数相乘就是把模数相乘, 辐角相加.
由此可将结论推广到 n 个复数相乘的情况:
结论二：两个复数的商的模等于它们的模的商; 两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差. 证 按照商的定义, [证毕]
例11 解
棣莫佛公式(复数的乘方) 棣莫佛介绍 棣莫佛公式
注意：
复数的开方
例12 解 即
注意： 如何用开方运算解方程？
例13 证
两边平方, 并化简得 下面例子表明, 很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表示; 也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定它所表示的平面图形.
例14 解
例15 解 所以它的复数形式的参数方程为
七、复球面及无穷大
球面上的点, 除去球极 N 外, 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用球面上的点来表示复数. 我们规定: 复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应, 记作 .
注意：
Cardan资料 Girolamo Cardan (1501-1546) Girolamo Cardan or Cardano was an Italian doctor and mathematician who is famed for his work Ars Magna which was the first Latin treatise devoted solely to algebra. In it he gave the methods of solution of the cubic and quartic equations which he had learnt from Tartaglia.
欧拉资料 Leonhard Euler Born: 15 April 1707 in Basel, Switzerland Died: 18 Sept 1783 in St Petersburg, Russia
棣莫佛资料 Abraham de Moivre Born: 26 May 1667 in Vitry (near Paris), France Died: 27 Nov 1754 in London, England