第二章 电磁场基本方程 §2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量 §2.2 法拉弟电磁感应定律和全电流定律 §2.3 麦克斯韦方程组 第二章 电磁场基本方程 §2.1  静态电磁场的基本定律和基本场矢量 §2.2  法拉弟电磁感应定律和全电流定律  §2.3  麦克斯韦方程组  §2.4  电磁场的边界条件 §2.5  坡印廷定理和坡印廷矢量 §2.6  唯一性定理

§2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量 一、库仑定律和电场强度 §2.1  静态电磁场的基本定律和基本场矢量 一、库仑定律和电场强度 电场：这种存在于电荷周围，能对其他电荷产生作用力的特殊的物质称为电场。可见电荷是产生电场的源。 1、试验电荷q所受到的电场作用力： 图2-1 两点电荷间的作用力 2、电场强度 离点电荷q距离为r处的电场强度

二、高斯定理, 电通量密度 1、电通量密度 ∵ 其中：ε是媒质的介电常数, 在真空中ε=ε0 对真空中的点电荷q 高斯定理的积分形式 意义：穿过任一封闭面的电通量, 等于此面所包围的自由电荷总电量。 若封闭面所包围的体积内的电荷是以体密度ρv分布

由于： 三、比奥-萨伐定律, 磁通量密度 比较 高斯定理的微分形式 电流元 μ0是真空的磁导率: 两个载流回路间的作用力 磁通量密度或磁感应强度 意义： 矢量B 可看作是电流回路l′作用于单位电流元(Idl=1 A·m)的磁场力,它是表征电流回路l′在其周围建立的磁场特性的一个物理量 单位：

当点电荷q以速度v在静止电荷和电流附近时, 它所受的总力为： 例 2 .1 参看图2-3, 长2l的直导线上流过电流I。 求真空中P点的磁通量密度。 [解]采用柱坐标, 电流Idz′到P点的距离矢量 载流直导线

对无限长直导线, l→∞, 有 四、安培环路定律, 磁场强度 已知：无限长载流直导线周围的磁感应强度为：

在真空中，磁场强度沿任意回路的线积分，等于该回路所限定的曲面上穿过的总电流。 磁场强度 定义： 单位：安培/米（A/m） 安培环路定律： 在真空中，磁场强度沿任意回路的线积分，等于该回路所限定的曲面上穿过的总电流。 五、两个补充的基本方程 静电场中E沿任何闭合路径的线积分恒为零: 由斯托克斯定理 穿过封闭面的磁通量恒等于零：

§2 .2 法拉第电磁感应定律和全电流定律 一、法拉第电磁感应定律 静态的电场和磁场的场源分别是静止的电荷和等速运动的电荷(恒定电流)。 §2 .2 法拉第电磁感应定律和全电流定律 一、法拉第电磁感应定律 静态的电场和磁场的场源分别是静止的电荷和等速运动的电荷(恒定电流)。 磁场随时间变化在回路中“感生”的电动势 导体回路以速度v对磁场作相对运动所引起的“动生”电动势 法拉第电磁感应定律的微分形式 意义： 随时间变化的磁场将激发电场

二、位移电流和全电流定律 微分形式基本方程如下: 电流连续性方程: J是电流密度即电流的体密度, 它的方向就是它所在点上正电荷流动的方向, 其大小就是在垂直于该方向的单位面积上, 每单位时间内通过的电荷量, 单位为A/m2 意义：每单位时间流出S面的电荷量, 应等于S面内每单位时间所减少的电荷量-dQ/dt。

电流连续性方程的微分形式 的量纲是(库仑/米2)/秒=安/米2, 即具有电流密度的量纲, 故称之为位移电流密度(displacement current density)Jd

二、全电流连续性原理 应用斯托克斯定理 意义：磁场强度沿任意闭合路径的线积分等于该路径所包曲面上的全电流 对任意封闭面S有 穿过任一封闭面的各类电流之和恒为零。这就是全电流连续性原理。

例 2 .2 设平板电容器两端加有时变电压U, 试推导通过电容器的电流I与U的关系。 ［解］ 因为: 图 2-4 平板电容器

§2 .3 麦克斯韦方程组 一、麦克斯韦方程组 积分形式： 微分形式： 法拉第定律 全电流定律 高斯定理 磁通连续性方程 电流连续性方程

这四个方程的物理意义可简述如下: (a) 时变磁场将激发电场; (b) 电流和时变电场都会激发磁场; (c) 穿过任一封闭面的电通量等于此面所包围的自由电荷电量; (d) 穿过任一封闭面的磁通量恒等于零。 注意：利用积分形式的麦克斯韦方程可直接求解具有对称性的场。 如：中心对称性场，轴对称性场，平面对称性场。 微分形式的麦克斯韦方程组给出了空间某点场量之间及场量与场源之间的关系。 注意：麦克斯韦方程的微分形式只适用于媒体的物理性质 不发生突变的区域。

二、本构关系和波动方程 对于简单媒质, 本构关系是 对于真空(或空气), ε=ε0, μ=μ0, σ=σ0。 σ=0的媒质称为理想介质 σ=∞的导体称为理想导体 σ介于二者之间的媒质统称为导电媒质 若媒质参数与位置无关, 称为均匀(homogeneous)媒质; 若媒质参数与场强大小无关, 称为线性(linear)媒质; 若媒质参数与场强方向无关, 称为各向同性(isotropic)媒质; 若媒质参数与场强频率无关, 称为非色散媒质; 反之称为色散(dispersive) 媒质。

同理也可得到：

三、电磁场的位函数 简单媒质中的有源区域时, J≠0, ρv≠0 E和H的非齐次矢量波动方程 因为▽·B=0 ，又由于▽ ·(▽ ×A)=0, 定义矢量位函数A(简称矢位或磁矢位)

洛仑兹规范(Lorentz gauge)：

§2 .4 电磁场的边界条件 一、一般情况 1、方程的推导

得到E和H的切向分量边界条件为 取小体积元： ρs是分界面上自由电荷的面密度(C/m2)

2、方程的意义 任何分界面上E的切向分量是连续的 在分界面上若存在面电流(仅在理想导体表面上存在), H的切向分量不连续, 其差等于面电流密度; 否则, H的切向分量是连续的 在分界面上有面电荷(在理想导体表面上)时, D的法向分量不连续, 其差等于面电荷密度; 否则, D的法向分量是连续的; 任何分界面上B的法向分量是连续的

二、两种特殊情况 1、理想介质是指 ，即无欧姆损耗的简单媒质。在两种理想介质的分界面上不存在面电流和自由电荷，即Js=0， 表2-3 两种理想介质间的边界条件

表2-4 理想介质①和理想导体②间的边界条件 例2.5 同轴线横截面如图2-9（a）所示。设通过直流I,内外导体上电流大小西等，方向相反。求各区中的H和▽×H,并验证各分界处的边界条件。

［解］ 在直流情形下内外导体中电流密度是均匀的,分别为：

（2） （3）

（4） 以上▽×H结果证明表2-1中的麦氏方程组式(b)处处成立。下面再验证边界条件:

§2 .5 坡印廷定理和坡印廷矢量 一、坡印廷定理的推导和意义 将上式两端对封闭面S所包围的体积V进行积分, 并利用散度定理后得

式中右端各项被积函数的含义是: —电场能量密度, 单位: (F/m) (V2/m2)=J/m3; —磁场能量密度, 单位: (H/m) (A2/m2)=J/m3 pσ=E·J=σE2——传导电流引起的热损耗功率密度, 单位: (S/m) (V2/m2)=W/m3。

二、坡印廷矢量 代表单位时间内流出封闭面S的能量, 即流出S 面的功率 单位是W/m2 方向就是功率流的方向, 它与矢量E和H 相垂直, 三者成右手螺旋关系 图2-11 同轴线的功率传输

§2 .6 唯 一 性 定 理 唯一性定理：对封闭面S所包围的体积V，若S面上电场E或磁场H 的切向分量给定，则在体积V内任一点，场方程的解是唯一的。 唯一性的条件只是给定E 或H 两者之一的切向分量。可有三类情况：给定边界上E 的切向分量;或者给定边界上的H 的切向分量;或者给定一部分边界上的E 或者其余边界上的切向H .