第二节 中心极限定理 一、问题的引入 二、基本定理 三、典型例题 四、小结
一、问题的引入 实例: 考察射击命中点与靶心距离的偏差. 这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微小误差的总和, 这些因素包括: 瞄准误差、测量误差、子弹制造过程方面 (如外形、重量等) 的误差以及射击时武器的振动、气象因素(如风速、风向、能见度、温度等) 的作用, 所有这些不同因素所引起的微小误差是相互独立的, 并且它们中每一个对总和产生的影响不大. 某个随机变量是由大量相互独立且均匀小的随机变量相加而成的, 研究其概率分布情况. 问题:
二、基本定理 定理四（独立同分布的中心极限定理）
定理四表明:
定理五(李雅普诺夫定理) 李雅普诺夫
则随机变量之和的标准化变量
定理五表明: (如实例中射击偏差服从正态分布) 下面介绍的定理六是定理四的特殊情况.
定理六(德莫佛－拉普拉斯定理) 德莫佛 拉普拉斯 证明 根据第四章第二节例题可知
根据定理四得 定理六表明: 正态分布是二项分布的极限分布, 当n充分大时, 可以利用该定理来计算二项分布的概率.
下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近.
三、典型例题 例1 解 由定理四, 随机变量 Z 近似服从正态分布 N (0,1) ,
其中
例2 一船舶在某海区航行, 已知每遭受一次海浪的冲击, 纵摇角大于 3º 的概率为1/3, 若船舶遭受了90 000次波浪冲击, 问其中有29 500～30 500次纵摇角大于 3º 的概率是多少？ 将船舶每遭受一次海浪的冲击看作一次试验, 解 并假设各次试验是独立的, 在90 000次波浪冲击中纵摇角大于 3º 的次数为 X, 则 X 是一个随机变量,
分布律为 所求概率为 直接计算很麻烦，利用德莫佛－拉普拉斯定理
某保险公司的老年人寿保险有1万人参加,每人每年交200元. 若老人在该年内死亡,公司付给家属1万元. 设老年人死亡率为0 某保险公司的老年人寿保险有1万人参加,每人每年交200元. 若老人在该年内死亡,公司付给家属1万元. 设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率. 例3 解 设 X 为一年中投保老人的死亡数, 由德莫佛－拉普拉斯定理知,
保险公司亏本的概率
例4 对于一个学生而言, 来参加家长会的家长人数是一个随机变量. 设一个学生无家长、1名家长、 2名家长来参加会议的概率分别为0.05，0.8，0.15. 若学校共有400名学生, 设各学生参加会议的家长数相互独立, 且服从同一分布. (1) 求参加会议的家长数 X 超过450的概率; (2) 求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率. 解
根据独立同分布的中心极限定理，
由德莫佛－拉普拉斯定理知,
例5 证
根据独立同分布的中心极限定理，
四、小结 独立同分布的中心极限定理 李雅普诺夫定理 三个中心极限定理 德莫佛－拉普拉斯定理 中心极限定理表明, 在相当一般的条件下, 当独立随机变量的个数增加时, 其和的分布趋于正态分布.