五、机械振动 山东大学精品课程 医学物理学

机械振动 — 物体在一定位置附近作来回往复的运动 振动有各种不同的形式： 机械振动、电磁振动 广义振动：任一物理量(如位移、电流等)在某一数值附近反复变化。 医学物理学

第一节、简谐振动 一、简谐振动(simple harmonic vibration )的基本特征 以弹簧振子为例讨论，弹簧振子是典型的简谐振动 弹簧的弹力 根据牛顿第二定律有 所以 其解 （以后只取此式的形式） 或 医学物理学

并且ω是决定于系统自身的常量，则该物理量的变化过程就是简谐振动。 任何物理量x 的变化规律满足方程式 并且ω是决定于系统自身的常量，则该物理量的变化过程就是简谐振动。 二、描述简谐振动的特征量 1. 振幅A 振动物体离开平衡位置的最大幅度 在SI制中，单位为 m(米) 2. 周期和频率 周期T 振动物体完成一次振动所需的时间 频率n 振动物体在1 秒内所完成振动的次数 圆频率ω 振动物体在2π 秒内所完成振动的次数 医学物理学

在SI制中, 单位分别为 周期 S (秒)、频率 Hz (赫兹)、角频率 rad·s-1 (弧度 / 秒) 三者关系 在SI制中, 单位分别为 周期 S (秒)、频率 Hz (赫兹)、角频率 rad·s-1 (弧度 / 秒) 二、简谐振动的矢量图解法 简谐振动可以用旋转矢量来描绘 t=0时刻, 投影点位移 在任意时刻, 投影点的位移 简谐振动曲线如图 以上描述简谐振动的方法称为简谐振动的矢量图解法. 医学物理学

 简谐振动的速度：  谐振动的加速度： 称为加速度振幅； 加速度比位移的相位超前（或落后） 称为速度振幅；速度比位移的相位超前π/2 医学物理学

位移 速度超前位移（π/2） 加速度超前于位移π） 医学物理学

例 1：有一劲度系数为32.0 N  m-1 的轻弹簧, 放置在光滑的水平面上，其一端被固定, 另一端系一质量为500 g的物体。将物体沿弹簧长度方向拉伸至距平衡位置10.0 cm 处，然后将物体由静止释放, 物体将在水平面上沿一条直线作简谐振动。分别写出振动的位移、速度和加速度与时间的关系。 医学物理学

解：设物体沿x 轴作简谐振动 A = 10.0 cm = 0.100 m 当t = 0 时 ，x = A ，cos =1 ， 即  = 0 所以 x = 0.100 cos 8.00 t m 速度、加速度的最大值为 vm =  A = 8.00×0.100 m  s1 = 0.800 ms1 am= 2 A = (8.00)2 ×0.100 m  s2 = 6.40 ms2 所以 v = 0.800 sin 8.00 t ms1 a = 6.40 cos 8.00 t ms2 医学物理学

例 2：已知某简谐振动的振动曲线如图所示，试写出该振动的位移与时间的关系。 2.0 -2.0 x/cm t/s -4.0 4.0 1 O 解：由图知 A = 4.0×102 m P 当 t =0 时， 由式 x0 = A cos  v0 = A sin  解得 所以 m 又由曲线知 当 t =1s 时,x =0,代入上式得 m 医学物理学

因 所以 即 简谐振动的表达式为 四、简谐振动的能量 以弹簧振子为例 x = A cos ( t+) v = A sin ( t+) 医学物理学

当位移最大时，速度为零，动能为零，势能最大； 在平衡位置时，势能为零，速度最大，动能最大。 所以 因为 医学物理学

总能量是恒定不变的，并与振幅的平方成正比 由公式 得 在平衡位置处，x = 0, 速度为最大；在最大位移处，x =  A, 速度为零。 医学物理学

第二节、简谐振动的叠加 一、同一直线上两个同频率简谐振动的合成 设有两个同频率的简谐振动 合振动 由矢量图得 而 （仍为同频率谐振动） x y o 而  ) A x ) 2 A1 A2 1 x2 x1 医学物理学

讨论：1. 合振幅最大，振动加强 2. 合振幅减小，振动减弱 3. 一般情况 为任意值 A v 1 2 医学物理学

推广：多个同方向同频率简谐振动的合成 合振动仍是简谐振动。 医学物理学

二、同一直线上两个频率相近的简谐振动的合成 两简谐振动分别为 合振动 合振动不再是简谐振动，而是一种复杂振动 矢量图解法 [如图] 由矢量图得合振动的振幅为 医学物理学

由于两个分振动频率的微小差异而 产生的合振动振幅时强时弱的现象称为拍现象。 由于两个分振动频率的微小差异而 产生的合振动振幅时强时弱的现象称为拍现象。 合振动在1s内加强或减弱的次数称为拍频。 拍频为 三角函数法 设两个简谐振动的振幅和初相位相同 合振动为 医学物理学

拍的振幅为 振幅的周期为 拍频为 拍的振动曲线如右图 三、两个互相垂直的简谐振动的合成 两简谐振动为 （1） （2） 医学物理学

以cos  乘以(3)式，cos 乘以(4)式，后相减得 改写为 （3） （4） 以cos  乘以(3)式，cos 乘以(4)式，后相减得 （5） 以sin 乘以(3)式，sin 乘以(4)式后相减得 （6） (5)式、(6)式分别平方后相加得合振动的轨迹方程 医学物理学

此式表明，两个互相垂直的、频率相同的简谐振动合成，其合振动的轨迹为一椭圆，而椭圆的形状决定于分振动的相位差（b－a）。 x A o -A -B B a b y 讨论： 1. b－a  0 或  时 即 合振动的轨迹是通过坐标原点的直线，如图所示。 b－a  0 时，相位相同，取正号，斜率为B/A。 b－a   时，相位相反，取负号，斜率为-B/A。 合振动的振幅 医学物理学

合振动的轨迹是以坐标轴为主轴的正椭圆，如右图所示。 2. 当 时 x A B o y -A -B 合振动的轨迹是以坐标轴为主轴的正椭圆，如右图所示。 b－a= /2 时， 合振动沿顺时针方向进行； x A -A y o b－a = /2 时， 合振动沿逆时针方向进行。 A=B，椭圆变为正圆，如右图所示。 医学物理学

3.如果()不是上述数值，那么合振动的轨迹为椭圆，其范围处于边长分别为2A(x方向)和2B(y方向)的矩形内。 两个分振动的频率相差较大，但有简单的整数比关系，合振动曲线称为利萨如图形。 医学物理学

一个复杂的振动可以是由两个或两个以上的 简谐振动所合成。 *四、振动的分解 一个复杂的振动可以是由两个或两个以上的 简谐振动所合成。 把有限个或无限个周期分别为T ,T/2,T/3,… (或角频率分别为w ,2w, 3w,…)的简谐振动合成起来，所得合振动也一定是周期为T 的周期性振动。 医学物理学

将复杂的周期性振动分解为一系列简谐振动的操作，称为频谱分析。 周期性函数 f (t) 的傅里叶级数可表示为 将复杂的周期性振动分解为一系列简谐振动的操作，称为频谱分析。 将每项的振幅A和对应的角频率画成图线，就是该复杂振动的频谱 (frequency spectrum)，其中每一条短线称为谱线。 医学物理学

频谱分析 频谱分析用于发声、听觉、心电图和脑电图等定量分析中，频谱图可为诊断各种疾病提供依据。 医学物理学