第十八章 单自由度系统的振动

动力学 振动是日常生活和工程实际中常见的现象。 例如：钟摆的往复摆动,汽车行驶时的颠簸，电动机、机床等工作时的振动，以及地震时引起的建筑物的振动等。 1. 振动-----系统在平衡位置附近作往复运动。 2. 振动的利弊： 利：振动给料机 弊：磨损，减少寿命，影响强度 振动筛 引起噪声，影响劳动条件 振动沉拔桩机等 消耗能量，降低精度等。 3. 研究振动的目的：消除或减小有害的振动，充分利用振动 为人类服务。

动力学 4. 振动的分类： 单自由度系统的振动 按振动系统的自由度分类 多自由度系统的振动 弹性体的振动 按振动产生的原因分类： 4. 振动的分类： 单自由度系统的振动 按振动系统的自由度分类 多自由度系统的振动 弹性体的振动 按振动产生的原因分类： 自由振动： 无阻尼的自由振动 有阻尼的自由振动（衰减振动） 强迫振动： 无阻尼的强迫振动 有阻尼的强迫振动 自激振动

动力学 实际中的振动往往很复杂，为了便于研究，需简化为力学模型。 振体 质量—弹簧系统

动力学 运动过程中，使物体回到平衡位置的力称为恢复力

动力学 §12-1　单自由度系统无阻尼自由振动 只需用一个独立坐标就可确定振体的位置，这种系统称为单自由度系统。物体受到初干扰后，仅在恢复力作用下的振动称为无阻尼自由振动 一、振动的微分方程： 图示质量——弹簧系统，以平衡位置为坐标原点，则

动力学 这就是质量——弹簧系统无阻尼自由振动的微分方程。 对于其他类型，同理可得。如 单摆：

动力学 复摆： 对于任何一个单自由度系统，以 q 为广义坐标（从平衡位置开始量取 ），则自由振动的微分方程的标准形式： 解为：

动力学 设 t = 0 时， 代入上两式得： 或： C1，C2由初始条件决定为

动力学 A——振体离开平衡位置的最大位移，称为振幅 n t +  ——相位，决定振体在某瞬时 t 的位置  ——初相位，决定振体运动的起始位置 T ——周期，每振动一次所经历的时间 f —— 频率，每秒钟振动的次数，单位：HZ ， f = 1 / T ωn—— 圆频率，振体在2秒内振动的次数。 ωn=2πf ωn、f 都称为系统的固有频率或自然频率

动力学 无阻尼自由振动的特点： (1) 振动规律为简谐振动； (2) 振幅A和初相位 取决于运动的初始条件(初位移和初速度)； (3)周期T 和固有频率ωn 仅决定于系统本身的固有参数(m,k,J)。 四、其它 1. 如果系统在振动方向上受到某个常力的作用，该常力只影响静平衡点O的位置，而不影响系统的振动规律，如振动频率、振幅和相位等。

动力学 2. 弹簧并联系统和弹簧串联系统的等效刚度 并联 串联 并联 串联

动力学 二、 求系统固有频率的方法 对于质量——弹簧这类系统，当振体静止平衡时，有： ——弹簧在全部重力作用下的静变形 于是： 二、 求系统固有频率的方法 对于质量——弹簧这类系统，当振体静止平衡时，有： ——弹簧在全部重力作用下的静变形 于是： 无阻尼自由振动系统为保守系统，机械能守恒。 当振体运动到距静平衡位置最远时，速度为零，即系统动能等于零，势能达到最大值（取系统的静平衡位置为零势能点）。

动力学 当振体运动到静平衡位置时，系统的势能为零，动能达到最大值。 如： 由Tmax=Vmax求wn的方法称为能量法。

动力学 综上所述，求系统固有频率的方法有： 能量法是从机械能守恒定律出发，对于计算较复杂的振动系统的固有频率，用能量法来求更为简便。 1. 振动微分方程的标准形式 2. 静变形法： 3. 能量法： ：集中质量在全部重力 作用下的静变形 由Tmax=Vmax , 求出

动力学 例1 图示系统。设轮子无侧向摆动，且轮子与绳子间无滑动，不计绳子和弹簧的质量，轮子是均质的，半径为R，质量为M，重物质量 m ，试列出系统微幅振动微分方程，求出其固有频率。

动力学 解：以 x 为广义坐标，静平衡位置为 坐标原点。 静平衡时： 在任意位置x 时：

动力学 应用动量矩定理x： 由 ， 有 振动微分方程： 固有频率：

动力学 解2 ： 用机械能守恒定律 以x为广义坐标（取静平衡位置为原点） 以平衡位置为计算势能的零位置，并注意轮心位移x时，弹簧伸长2x 因平衡时

动力学 由 T+V= 有： 对时间 t 求导，再消去 ，得

动力学 例2 鼓轮：质量M，对轮心回转半径，在水平面上只滚不滑，大轮半径R，小轮半径 r ，弹簧刚度 ，重物E质量为m, 不计轮D和弹簧质量，且绳索不可伸长。求系统微振动的固有频率。 解：取静平衡位置O为坐标原点，取C偏离平衡位置x为广义坐标。系统的最大动能为：

动力学 以平衡位置为重力及弹性势能零位置，则：

动力学 设 则有 根据Tmax=Vmax , 解得

动力学 §12-2 单自由度系统的有阻尼自由振动 自由振动是简谐运动，振幅不随时间而变。但实际中振动的振幅几乎都是随时间逐渐减小的（也称为衰减振动），这是因为有阻尼。 一、阻尼的概念： 阻尼：振动过程中，系统所受的阻力。 粘性阻尼：在很多情况下，振体速度不大时，介质粘性引起的阻尼力与速度的一次方成正比，这种阻尼称为粘性阻尼。 投影式： μ —— 粘性阻尼系数，简称阻尼系数。

动力学 二、振动微分方程及其解： 质量—弹簧系统存在粘性阻尼： 有阻尼自由振动微分方程的标准形式。

动力学 其通解分三种情况讨论： 1、小阻尼情形 —有阻尼自由振动的圆频率

动力学 衰减振动的特点： (1) 振动周期变大， 频率减小。 ——阻尼比 当 时，可以认为

动力学 (2) 振幅按几何级数衰减 振幅： 相邻两次振幅之比 对数减幅系数： 2、大阻尼阻尼情形 积分常数由C1、C2由运动的初始条件决定。

动力学 所示规律已不是周期性的了，随时间的增长，x 0，不具备振动特性。 3、临界阻尼情形 临界阻尼系数 （C1、C2由运动的初始条 件决定） 物体的运动随时间的增长而无限地趋向平衡位置，不再具备振动的特性。 综上所述，系统受粘滞阻尼作用时，只有在n＜ωn的情况下才发生振动，振动的周期较无阻尼时略长，而振幅则按几何级数递减。

动力学 例3 质量弹簧系统，W=150N，st=1cm , A1=0.8cm, A21=0.16cm。 求阻尼系数μ 。 解：

动力学 §12-3 单自由度系统的受迫振动 自由振动由于有阻尼的存在而逐渐衰减，但实际有很多振动并不衰减，这时因为受到干扰力的作用。干扰力时对系统起着激振作用的力，它不依赖于系统的运动而给系统不断地输入能量，使其持速振动。比如：转子的偏心、支撑点或悬挂点的运动等。 系统在干扰力的作用下的振动称为受迫振动或强迫振动。 干扰力的种类很多，我们只讨论简谐变化的干扰力： H—力幅：干扰力的最大值； — 干扰力的圆频率

动力学 一、有阻尼情形 1、振动微分方程及其解 这就是有阻尼强迫振动微分方程的标准形式：二阶常系数非齐次微分方程。其解为：

动力学 x1是对应齐次方程 的通解 小阻尼： （A、 积分常数，取决于初始条件） x2 是特解： 代入原方程并整理 — 受迫振动的振幅 — 强迫振动相位滞后干扰力相位角 振动微分方程的全解为

动力学 （1）n＜ωn时 衰减振动 受迫振动 （2）n=ωn时 （3）n＞ωn时 衰减振动 受迫振动 （2）n=ωn时 （3）n＞ωn时 上述三式的第一部分很快就消失了。第一部分消失之前的运动称为暂态响应，第一部分消失之后的运动称为稳态响应。受迫振动指的是稳态响应，其运动方程为：

动力学 2、有阻尼受迫振动的特点： （1）振动规律 ，为简谐振动，不随阻尼而衰减。 （2）与运动的初始条件无关。 （1）振动规律 ，为简谐振动，不随阻尼而衰减。 （2）与运动的初始条件无关。 （3）频率等于干扰力的频率，不受阻尼影响。 二、无阻尼情形 当n=0时，振动微分方程： 对应齐次方程的解： 特解： 当n=0时，有前述：

动力学 方程全解： 三、幅——频曲线 共振现象 将受迫振动的振幅改写为： 式中： ——静偏离：在干扰力力幅作用下，振体偏离平衡位置的距离 三、幅——频曲线 共振现象 将受迫振动的振幅改写为： 式中： ——静偏离：在干扰力力幅作用下，振体偏离平衡位置的距离 ——阻尼比

动力学 于是： λ——放大系数或动力系数 对于不同的阻尼比x，可得一系列放大系数λ随频率比ω/ωn的变化曲线，称为振幅——频率曲线，简称幅——频曲线。

动力学 阻尼对振幅影响显著。一定时，阻尼增大，振幅显著下降。 —共振频率

动力学 一般ξ较小，可以认为当ω=ωn时系统发生共振，此时 （4）n/ωn=0，即无阻尼情况，当ω=ωn时系统发生共振，B→∞。 四、相——频曲线 有阻尼强迫振动相位总比干扰力滞后一相位角β，称为相位差。

动力学 对于不同的阻尼比x=n/ωn，可得一系列相位差β随频率比ω/ωn的变化曲线，称为相位差——频率曲线，简称相——频曲线。 (1) β在0～ 内变化。 (2) 单调上升。 (3) 当ω/ωn→0时， β →0。 (4) 当ω/ωn≈1（共振区）时，β变化剧烈， ω/ωn=1时无论阻尼大小，β=π/2 。 (5) 当ω/ωn > > 1时， β=π。强迫振动与干扰力反相。

动力学 例4 已知物体重P=3500N，k=20000N/m , 干扰力H=100N, f=2.5Hz , μ=1600N·s/m , 求B,β ,强迫振动方程。 解：

动力学

动力学 §12-4 临界转速  减振与隔振的概念 一、转子的临界转速 §12-4 临界转速  减振与隔振的概念 一、转子的临界转速 引起转子剧烈振动的特定转速称为临界转速。这种现象是由共振引起的，在轴的设计中对高速轴应进行该项验算。 单圆盘转子： 圆盘：质量m , 质心C点；转轴过盘的几何中心A点，AC= e ，盘和轴共同以匀角速度  转动。 当< n（ n为圆盘转轴所组成的系统横向振动的固有频率）时，OC= x+e (x为轴中点A的弯曲变形）。

动力学 （k为转轴相当刚度系数） 临界角速度： 临界转速：

动力学 质心C位于O、A之间 OC= x- e 当转速 非常高时，圆盘质心C与两支点的连线相接近，圆盘接近于绕质心C旋转，于是转动平稳。 为确保安全，轴的工作转速一定要避开它的临界转速。

动力学 二、减振与隔振的概念 剧烈的振动不但影响机器本身的正常工作，还会影响周围的仪器设备的正常工作。减小振动的危害的根本措施是合理设计，尽量减小振动，避免在共振区内工作。 许多引发振动的因素防不胜防，或难以避免，这时，可以采用减振或隔振的措施。 减振：在振体上安装各种减振器，使振体的振动减弱。例如， 利用各种阻尼减振器消耗能量达到减振目的。

动力学 隔振：将需要隔离的仪器、设备安装在适当的隔振器（弹性 装置）上，使大部分振动被隔振器所吸收。 隔振 主动隔振：将振源与基础隔离开。 隔振 主动隔振：将振源与基础隔离开。 被动隔振：将需防振动的仪器、设备单独与振源隔离开。