高中数学必修4 2.3.1平面向量的基本定理
一、复习回顾: 1、向量b与非零向量a共线的充要条件是 有且只有一个实数λ，使得b=λa 例如： 与 共线
2、如图,已知向量 ,作出向量
思考 给定平面内任意两个向量 , 请你作出向量 , e1 e2 3 e2 e1 2 + e1 e2 -2 e2 e1 3 e2 3 e2 思考 给定平面内任意两个向量 , 请你作出向量 , e1 e2 3 e2 e1 2 + e1 e2 -2 e2 e1 3 e2 3 e2 e1 2 + e1 2 e2 -2 e1 e2 -2
例已知向量e1,e2,求作向量-2.5e1+3e2 . 作法：(1)任取一点o, 作OA=-2.5e1,OB=3e2 (2)作 OACB. 于是OC就是所求作的向量. C B 3e2 e2 e1 -2.5e1 A O
练一练 已知向量 e1、e2 ，求作下列向量： 3e1+2e2 ;(2) 4e1－e2 ;(3) -2e1+1/2e2 . e1 e2
设e1、e2 是同一平面内的两个不共线向量，a是这一平面内的任一向量，下面我们研究a与e1、e2 之间的关系： 二、新课: 1、 设e1、e2 是同一平面内的两个不共线向量，a是这一平面内的任一向量，下面我们研究a与e1、e2 之间的关系： C O B M N Ａ a e1 e2
2、平面向量的基本定理 如果 ， 是同一平面内的两个不共线的 向量,那么对于这一平面内的任一向量 , 有且只有一对实数 １、２使 如果 ， 是同一平面内的两个不共线的 向量,那么对于这一平面内的任一向量 , 有且只有一对实数 １、２使 ＝ １ ＋２ 其中不共线的向量 , 叫做表示这一平面内的所有向量的一组基底。
3、对定理的理解 1)平面内的任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和的形式； 2)分解是唯一的。
三、巩固提高 e1 e2 e2-e1 2e2-e1 A B C D F E 1、已知ABCD为矩形，且AD=2AB,又△ADE为等腰直角三角形，F为ED的中点，EA= e1,EF= e2,以e1、e2 为基底，表示向量AF= ,AD= . e2-e1 2e2-e1 A B C D F E e1 e2
2、如图，AM=1/3AB,AN=1/3AC,求证：MN=1/3BC. 证明：MN=AN-AM =1/3AC-1/3AB =1/3(AC-AB)=1/3BC C B
b a 3、 如图， ABCD的两条对角线相交于点Ｍ，且AB=a,AD=b,用a、b表示MA、MB、MC和MD。 B A C Ｄ M 解：在 ABCD中，∵ AC＝AB+AD= a+b, DB＝AB－AD= a－b， ∴MA=(-1/2)AC= (-1/2)(a+b)
MB=(1/2)DB= (1/2)(a－b) MＣ=(1/2)ＡＣ= (1/2)(a＋b) ＭＤ＝－MB=(-1/2)DB= (-1/2)(a－b)
4、思考题 如图，平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知AM=c,AN=d,试用c、d表示AB和AD. C D M c d A B N
c d A B N 提示：设AB=a,AD=b, 则由M、N分别为DC 、 BC的中点可得：BN=1/2b,DM=1/2a. 从△ABN和△ADM中可得
再见！ 88