第二章 解三角形 §1 正弦定理与余弦定理 1.1 正弦定理
1.掌握正弦定理的表示形式及证明正弦定理的向量方法. 2.学会运用正弦定理解决两类基本的解三角形问题.
三角形的边与角之间有什么数量关系呢？ 我们分别用a,b,c表示 的边BC，CA，AB，用A，B，C表示 . 下面我们先从特殊的三角形开始研究.
直角三角形ABC中,C=90º，如图.则有 A B C a b c 这个优美的关系对等边三角形无疑也成立，对其他的三角形是否成立呢？
y C1 C B O(A) x 如图所示，以A为原点，以射线AB的方向为x轴正方向建立直角坐标系，C点在y轴上的射影为C1， 即 所以 同理， O(A) y x C B C1 所以 由上面证明过程可以看出，若Ａ为锐角或直角，也可以得到同样的结论.
正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 变式:
分析：将BD,CE分别延长相交于一点A，在△ABC中，已知BC的长及角B与C，可以通过正弦定理求AB，AC的长. 例1 某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩，其一角已破损.现测得如下数据：BC=2.57cm，CE=3.57cm，BD=4.38cm, .为了复原,请计算原 玉佩两边的长（结果精确到0.01cm）. B C D E A 分析：将BD,CE分别延长相交于一点A，在△ABC中，已知BC的长及角B与C，可以通过正弦定理求AB，AC的长.
解：将BD,CE分别延长相交于一点A，在△ABC中，BC=2.57cm,B=45°,C=120°, 因为 ,所以 利用计算器算得 AC≈7.02(cm), 同理：AB≈8.60(cm). 答：原玉佩两边的长分别约为7.02cm,8.60cm.
例2 台风中心位于某市正东方向300km处，正以40km/h的速度向西北方向移动，距离台风中心250km范围内将会受其影响 例2 台风中心位于某市正东方向300km处，正以40km/h的速度向西北方向移动，距离台风中心250km范围内将会受其影响.如果台风风速不变，那么该市从何时起要遭受台风影响？这种影响持续多长时间（结果精确到0.1h）? A 北 D C2 E C1 B
分析：如图所示，台风沿着BD运动时， 由于|AB|=300km>250km，所以开始台风影响不了城市A，由点A到台风移动路径BD最小距离|AE|=|AB|·sin45° 所以台风在运动过程中肯定要影响城市A.这就要在BD上求影响A的始点C1和终点C2，然后根据台风的速度计算台风从C1到C2持续的时间.
解：设台风中心从点B向西北方向沿射线BD移动，该市位于点B正西方向300km处的点A. 假设经过th，台风中心到达点C，则在△ABC中，AB=300km，AC=250km,BC=40tkm,B=45°.
问题1 由例2我们发现，已知两边和其中一边的对角，解三角形时会出现两解的情况.还会出现其他情况吗？你能从代数或几何角度给出解释吗？
问题2 如图，在Rt △ABC中，斜边AB是△ABC外接圆的直径（设Ｒt△ABC外接圆的半径为R），因此 A b O C B B` A B C b O 这个结论对于任意三角形是否成立？ 成立
问题3
（1）在 中，一定成立的等式是（ ） C （2）在 中，若 ，则 是( ) （A）.等腰三角形 (B).等腰直角三角形 （C）.直角三角形 （D).等边三有形 D
> （3） 若A,B,C是△ABC的三个内角， 则sinA+sinB__________sinC. (4) 在 中，c=4,a=2,C= ,则 = ______
通过本节课的学习: 1.掌握正弦定理的表示形式及证明正弦定理的向量方法. 2.学会运用正弦定理解决两类基本的解三角形问题. （1）已知两角及一边； （2）已知两边和其中一边的对角.
只有忠实于事实，才能忠实于真理。 ——周恩来