7.4 随机变量的数字特征 7.4.1 离散型随机变量的数学期望和方差 7.4.2 连续型随机变量的数学期望和方差 7.4.3 常见随机变量的数学期望和方差 7.4.4 随机变量函数的数学期望和方差

7.4.1 数学期望和方差的概念 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习 四、案例 五、概念和公式的引出 六、进一步的练习

一、案例 [轮胎质量] 为了比较两家工厂生产的轮胎质量，某汽车运输公司做了这样的试验，让14辆车况相同的汽车分别装上这两家工厂生产的牌号为A，B的轮胎，并且统计了每辆车在轮胎损坏前所行驶的公里数，见下表

A牌轮胎 B牌轮胎 公里数 11000 12000 14000 8000 10000 40000 车辆数 1 2 4 3 频率

从每组轮胎所行驶的平均公里数来看： A牌轮胎的平均公里数为 （km） B牌轮胎的平均公里数为 （km） 所以汽车运输公司认为B牌轮胎质量较好．

二、 概念和公式的引出 离散型随机变量的数学期望 设离散型随机变量 的分布列为 若级数 绝对收敛，则称级数 为随机变量 … 若级数 绝对收敛，则称级数 为随机变量 的数学期望或均值，记作 或 即 ．如果上式中的级数不绝对收敛， 这时称 的数学期望不存在．

三、进一步练习 练习1[产品的平均产值] 一批产品中有一、二、三等品、等外品及废品五种，相应的概率分别为0.7，0.1，0.1，0.06及0.04，若其产值（单位：元）分别为6，5.4，5，4，0，求产品的平均产值．

解 产品产值 是一个随机变量，其分布列为 6 5.4 5 4 0.7 0.1 0.06 0.04 所以

设A、B两台自动机床，生产同一种标准件．生产 练习2 [产品质量] 设A、B两台自动机床，生产同一种标准件．生产 1000只产品所出的次品数分别用 表示，经过 一段时间的考察， 的分布列分别是 1 2 3 0.7 0.1 1 2 3 0.5 0.3 0.2 问哪一台机床加工的产品质量好些？

解 随机变量 的数学期望分别为 因为 ，所以自动机床A在1000只产品中 所出的平均次品数较少．因此，我们认为A机床加工 的产品质量较高．

四、案例[误差评价] 线切割机床在切割某一批圆柱形钢件时，已知切割后的平均长度为30cm，要判断该机床的切割水平．如果切割后的钢件大部分都在30cm左右，则符合精度要求，我们认为切割水平较好；如果切割后的钢件离30cm差异较大，虽然同样满足切割的平均长度为30cm，但我们认为切割水平有问题． 那么，究竟用什么办法来对机床切割水平进行评价呢？

五、 概念和公式的引出 离散型随机变量的方差 设 是一随机变量，如果 存在，则称 为 的方差，记作 ，并称 ，即 为 的均方差或标准差．

设甲、乙两工厂生产同一种设备，其使用寿命（单位：小时）的分布列见下表，试比较两厂生产的产品质量． 六、进一步练习 练习[质量评价] 设甲、乙两工厂生产同一种设备，其使用寿命（单位：小时）的分布列见下表，试比较两厂生产的产品质量． 800 900 1000 1100 1200 0.1 0.2 0.4 800 900 1000 1100 1200 0.2

解 两厂生产的设备使用寿命的均值相等，但从分布列可以看出，甲厂生产的产品使用寿命比较集中在1000小时左右，说明甲厂产品质量的稳定性较好，而乙厂生产的产品使用寿命却比较分散，说明乙厂产品质量的稳定性比较差．

下面用方差来进行描述． 因为 ，所以甲厂产品寿命的分散程度比较小， 产品质量比较稳定，比乙厂的产品质量好．

7.4.2 连续型随机变量的数学期望和方差 一、概念和公式的引出 二、进一步的练习

一、 概念和公式的引出 连续型随机变量的数学期望 设连续型随机变量 具有密度函数f(x) ，如果广义积分 绝对收敛，则称该积分为随机变量 的数学期望 （或均值），记作 ,即 否则，称 的数学期望不存在．

连续型随机变量的方差 设连续型随机变量 具有密度函数f(x) ，如果广义积分 存在，则称该积分为随机变量 的方差，记作 ，即 否则，称 的数学期望不存在．

数学期望有以下性质： （1）E(c)=c，其中c为常数； （2） ，其中c为常数； （3） （4）如果 相互独立，则

方差有以下性质： （1） （2） ，其中c为常数； （3） ，其中c为常数； （4）如果 相互独立，则

二、进一步练习 练习1 已知 在[a,b]上服从均匀分布，即 ， 求 . 解 因为 ，即 的密度函数为

所以

7.4.3 常见随机变量的数学期望和方差 一、概念和公式的引出

一、 概念和公式的引出 0-1分布 设 服从0-1分布，则 二项分布 设 ，则 泊松分布 设 ，则 均匀分布 设 ，则 正态分布 设 ，则 特别地，当 时，

7.4.4 随机变量函数的数学期望和方差 一、概念和公式的引出 二、进一步的练习

一、 概念和公式的引出 设 是 的函数，随机变量 的数学期望 和方差可按下列公式计算． 如果 是离散型随机变量，且分布列为 ，则

如果 是连续型随机变量，且密度函数为 ，则

二、进一步练习 练习1 设 的分布列为 －2 －1 1 1/4 1/8 1/2 的数学期望． 求

解 由离散型随机变量函数的数学期望的公式，有

练习2[飞机受力] 设风速v在（0，a）上服从均匀分布，即密度函数为 又设飞机机翼所受的正压力W是v的函数，W=kv2 (k>0),求W的数学期望。 解 由连续型随机变量函数的数学期望，有

练习3 设随机变量 相互独立，且 求 解 ， 已知 于是