绪论（二） 实验数据的处理 复旦大学物理教学实验中心 http://Phylab.fudan.edu.cn 基础物理实验 绪论（二） 实验数据的处理 复旦大学物理教学实验中心 http://Phylab.fudan.edu.cn 符维娟 光华楼西辅楼802 805B softmat@fudan.edu.cn 1

资料领取： 补充讲义一份 实验报告纸一份 数字示波器实验报告册

如何做物理实验

报告分数比例：

为什么要精密测量？ 1894年，英国化学家瑞利(Rayleigh)发现从空气中分离出来的氮 气的密度比从氨中得到的氮气的密度大0.5% Rayleigh和Ramsay与1895年发现惰性气体氩（Argon），氩在 空气中占比约1%。 1929年用化学方法测定的H和16O质量比： 1.007990.00002:16 1927年英国物理学家阿斯顿(Aston)用质谱法测得的 H和16O质量比：1.00778 0.00005:16 1931年，伯奇(Birge)和门泽尔(Menzel)与认为化学法测得的是氢 、氘的平均质量，后者占比约1:5000 1932年被尤雷(Urey)、Brickwedde和 Murphy的光谱测量结果所 证实 译自《Practical Physics》

为什么要进行数据处理？ 大量的 杂乱无章的 难以理解 物理实验的目的：探寻和验证物理规律。 大多数物理规律是用物理量之间的定量关系来表述的。 实验得到的数据只有经过认真地、正确地、有效地处理才能得出公认的、合理的结论。

绪论（二） 测量误差和数据处理 测量与误差 测量的不确定度和结果表达 有效数字及其运算法则 常用的数据处理方法

测量与误差 1、测量(MEASUREMENT) 测量的结果应包括 数值、单位以及结果可信赖的程度 测量是以确定被测对象量值为目的的全部操作， 它是物理实验的基础。 直接测量： 将待测量直接与标准物理量比较 如：用卡尺测长度、秒表测时间、温度计测温度等 间接测量： 利用一定的函数关系由一个或几个直接测量量得到的物理量 如：测量重力加速度、体积、密度、粘度等 测量的结果应包括 数值、单位以及结果可信赖的程度

2、真值（true value）的不可知性 真值是不可知的， 故误差的值从根本上也是不可知的。 物理量自身客观存在的量值称为该物理量的真值. 对待测物理量用同一种方法、使用同样仪器、在同样环境下进行多次重复测量，结果也不完全相同。 所谓“等精度测量” 测量值与真值之间总存在差异。 误差(error)存在于一切测量值中，并贯穿测量的始终。 真值是不可知的， 故误差的值从根本上也是不可知的。 只能估计其范围或限度 因此科学的测量还要给出结果的精确度或误差范围。

3、误差的定义与表达方式 绝对误差(δ )＝测量结果（x）－被测量的真值（a） 相对误差(Er)=绝对误差(δ)/ 真值（a）×100% 在实际操作中（尤其在教学实验中），常常用十分接近于真值的所谓“约定真值”代替真值。 误差有正负之分。 测量误差的大小反映了测量结果的精确程度。 误差分析的作用： 分析误差的性质和原因，正确处理数据，消除减少误差或确定误差的范围，并做出精度评价。 设计实验时，对测量结果先确定一个精度要求，用误差分析方法合理选择测量方法，仪器和条件，以便达到预期。

a.系统误差（systematic error）： 4、误差的分类 按照测量误差的特点、性质和规律，以及对测量结果的影响方式，将其分为系统误差，随机误差和粗大误差三类： a.系统误差（systematic error）： 多次测量时，保持恒定或以特定规律变化的误差分量。 系统误差的特点是具有确定性。 仪器误差—如标尺的刻度偏差、指针的安装偏心等； 理论误差—如伏安法测电阻中欧姆定律的使用； 观测误差—如动态测量时，记录信号有滞后的倾向。

系统误差的处理方法 i) 在确定实验方案时避免其产生 ii) 在实验过程中直接消除 iii) 在数据处理时对实验数据进行修正 增加测量次数误差不能减少，只能从方法、理论、仪器等方面的改进与修正来实现。 i) 在确定实验方案时避免其产生 合理选择实验方法 改进实验装置 事先校准仪器…… ii) 在实验过程中直接消除 例如：用自组电桥测电阻时采用“交换法” iii) 在数据处理时对实验数据进行修正

如：电磁场等的微扰，测量者的心理等。 b.随机误差（random error） ： 在多次测量过程中以“不可预知方式”变化的误差分量。 随机误差的特点是单个具有随机性，而总体服从统计规律。 如：电磁场等的微扰，测量者的心理等。 在相同的测量条件下，对某一被测量进行多次重复测量，假设系统误差已经消除。如果该被测量的真值为a，则根据误差的定义，各次测量的误差为 （i＝1，2，…，n） 实验和统计理论都证明，当重复测量次数足够多时，随机误差服从或接近正态分布（或称高斯分布）规律。

式中的是一个与实验条件有关的常数，称之为正态分布的标准误差。±是曲线两个拐点的横坐标位置。 随机误差的统计处理 ※算术平均值是真值的最佳估计值 随机误差正态分布的性质： ① 单峰性：绝对值小的误差出现的可能性（概率）大，绝对值大的误差出现的可能性小。 ② 对称性：大小相等的正误差和负误差出现的机会均等，对称分布于真值的两侧。 ③ 有界性：非常大的正误差或负误差出现的可能性几乎为零。 ④ 抵偿性：当测量次数非常多时，正误差和负误差相互抵消，于是，误差的代数和趋向于零。 式中的是一个与实验条件有关的常数，称之为正态分布的标准误差。±是曲线两个拐点的横坐标位置。

标准误差的物理意义 如果很大，误差分布的范围就较宽，说明测得值的离散性大，测量的精密度低。 它是描述测量数据分散性指标的特征量 若测量的标准误差很小，则测得值的离散性小，重复测量所得的结果相互接近，测量的精密度高； 如果很大，误差分布的范围就较宽，说明测得值的离散性大，测量的精密度低。 标准误差不是具体的测量误差值，而是一组测量的随机误差出现概率的分布情况，是统计性的特征值。

置信区间和置信概率 f(δ) δ 误差出现在置信区间的概率 置信概率 置信区间 坏值的剔除

标准误差与标准偏差 标准误差（标准差)： 标准偏差－贝塞尔公式： 作为真值a的最佳估计值 标准偏差是标准误差的最佳估计值 无限次测量 有限次测量 n很大，但有限 作为真值a的最佳估计值 标准偏差是标准误差的最佳估计值 ※测量次数n为有限次时用贝塞尔公式计算直接测量的实验标准差

算术平均值的标准偏差与测量次数的影响 平均值的标准偏差比任何一次测量的实验标准差小,增加测量次数,可以减少平均值的标准偏差,提高测量的准确度. 但是,n>10以后,n再增加,平均值的标准偏差减小缓慢,因此,在物理实验教学中一般取n为6～10次 s 5 10 n 15

若无法消除或修正（系统误差或随机误差），应评估其对测量结果可靠性的影响或误差范围。 由此给出引起测量值的离散性的合理指标。 c.粗大误差 由于实验者粗心大意或环境突发干扰而造成的,该测量值为坏值，在处理数据时应予以剔除（采用判据）。

5、测量结果的评价- 精确度 精度 精密度反映随机误差大小的程度，它是对测量结果的重复性的评价。精密度高是指测量的重复性好，各次测量值的分布密集，随机误差小。但是，精密度不能确定系统误差的大小。 正确度反映系统误差大小的程度。正确度高是指测量数据的算术平均值偏离真值较小，测量的系统误差小。但是正确度不能确定数据分散的情况，即不能反映随机误差的大小。 精确度反映系统误差与随机误差综合大小的程度。准确度高是指测量结果既精密又正确，即随机误差与系统误差均小。

测量结果的评价-以打靶为例 真值 uA大 uB2大 下载于百度文库：不确定度.ppt

正确度、精密度与精确度 uA大 uB2大 真值 随机误差大 系统误差大 正确度高 精密度高 精确度高! （c）精确度高，系统误差和随机误差都小。 22

1、测量结果的不确定度 二、测量的不确定度和结果表达 由于实际取得实验结果的过程是复杂的，在实际测量中很难界定系统误差和随机误差，因此，用误差评定测量结果是困难的。为了以最佳方式评价测量结果， 国内外有关计量部门和组织的规定（1980），应引入不确定度（uncertainty of measurement）这一参数，定量表征被测量值的分散性。 任何测量都存在不确定度——不确定度存在原理。 不确定度是测量结果不能肯定的程度，是测量质量的量度。

不确定度与误差的比较 不确定度和误差是两个不同的概念。误差是指测量值和真值之差，一般情况下，它是未知的、确定的、可正可负的量； 不确定度是表示误差可能存在的范围，它的大小可以按一定的方法计算（或估计）出来。不确定度大，不一定误差的绝对值也大。两者不应混淆。（如前：正确度好，精密度低的数据） 测量结果 表示区间 以一定的概率包含真值。 要完整地表示一个物理量，应该有数值、单位、不确定度（ Δ ）这三个要素。

2、不确定度的分类和计算 A类不确定度——测量者对观测列进行统计分析，且用标准不确定度进行估算。 B类不确定度——测量者对观测列不进行统计分析，且用标准不确定度进行估算。 合成不确定度——A、B两类不确定度相互独立， A、B两类不确定度的方和根合成称为合成不确定度，

a.不确定度的分类 A类不确定度(多次测量， 平均值的标准偏差) B1 类不确定度 d为仪器的分度值 （单次测量） B 类不确定度 uB1=d/10（最好） B1 类不确定度 d为仪器的分度值 （单次测量） uB1=d/5 （中等） uB1=d/2 （较差） B 类不确定度 uB1=d （特殊情况，比如数字显示） B2 类不确定度 （仪器不确定度） a为仪器的不确定度限值 C称为“置信因子”，取 （仪器误差均匀分布） 26 26

b.不确定度的合成 测量结果以一定的概率包含真值。 以上置信概率是P=0.683，若将P提高到0.95，则1.96u(x) 单次测量： 在长度测量中，长度值是两个位置读数x1和x2之差， 其不确定度合成公式为： 多次测量： 测量结果以一定的概率包含真值。 以上置信概率是P=0.683，若将P提高到0.95，则1.96u(x) 27

c.不确定度的传递 一般传递公式，当各直接测量的量相互独立无关时： 偏导，测量量对该自变量的变化率 传递系数，该自变量对不确定度的贡献大小 28

加减： 几个常用的传递公式 乘除： 乘方：

d.不确定度的表达 1、测量结果不确定度的一般表示法： 如：长度为（1.05±0.02）cm。 2、不确定度的百分比表示法： 30 30

不确定度的总结 不确定度评定的意义 --- 过大？过小？ 不确定度的分类 --- A类不确定度、B1和B2类不确定度 不确定度的合成 --- 单次测量、多次测量 不确定度的传递 --- 加减、乘除、乘方 不确定度本身一般只取一位有效数字 ---当修约前首位数字是1时，不确定度应保留两位有效数字；运算过程中，一般要取两位或者更多。 测量值的末位有效数字应与不确定度的有效数字对齐 --- 即：测量值的末位有效数字是不确定的。 31

1、有效数字——从第一个不为0的数开始算起的所有数字。 三、有效数字及其运算法则 1、有效数字——从第一个不为0的数开始算起的所有数字。 0.35 (2个) 3.54 (3个) 0.003540 (4个) 3.5400 (5个) 通常规定测量结果数值中的可靠数字与所保留的一位（或两位）可疑数字，统称为有效数字。 哪些是多余的数字——测量结果的一般表示法：量值的大小（数值和单位），并给出不确定度。（1.05+0.02）cm 结合上节课测量例子讲解“可靠数字”“可疑数字” 有效数字[1] ：具体地说，是指在分析工作中实际能够测量到的数字。能够测量到的是包括最后一位估计的，不确定的数字。 我们把通过直读获得的准确数字叫做可靠数字；把通过估读得到的那部分数字叫做存疑数字。 一般情况下不确定度的有效数字只取一位，其数位即是测量结果的存疑数字的位置；有时不确定度需要取两位数字，其最后一个数位才与测量结果的存疑数字的位置对应。

有效数字很重要！ 测量一个物体的厚度 2cm 2.0cm 2.00cm 2.000cm 这些表达式不一样 33

2、有效数字的运算规则: 加减法: 与不确定度最大项的末位有效数字对齐。如 57.31＋0.0156－2.24342（=55.08218）=55.08 0.01 0.0001 0.00001 0.01 乘除法: 与最少个数的有效数字相同。如 57.31×0.0156÷2.24342（=0.398514767）=0.399 四位 三位 六位 三位 特殊数的有效数字位数：参与运算的准确数字或常数，比如1、π、e等的有效数字的位数可以认为 是无限多。 乘方、立方、开方：和原数相同 对数：n位对数表 三角函数：和原数相同 加减法：小数点后位数最少，尾数对齐 乘除法：有效数字位数最少，位数对齐 “不确定度最大项”在讲解不确定度这个概念之前，可以先以“可疑数字最高位”来帮助同学理解。 34

3、为什么使用修约规则？ 有效数字的修约：对某一表示测量结果的数值，根据保留位数的要求，去掉数据中多余的位，叫数值修约，也叫做化整。 即便，计算机运算，也要对结果和误差，运用有效数字运算规则进行判别。 3、为什么使用修约规则？ 有效数字的修约：对某一表示测量结果的数值，根据保留位数的要求，去掉数据中多余的位，叫数值修约，也叫做化整。

Rounding method 修约规则很重要 -- very significant effect on the result. A famous instance: a new index the Vancouver Stock Exchange in 1982. Initially -- 1000.000; after 22 mo. ~ 520 (but stock prices had generally increased) Problem? rounded down 1000s times daily rounding errors accumulated. Recalculating -- with better rounding  1098.892 Nicholas J. Higham (2002). Accuracy and stability of numerical algorithms. p. 54. ISBN 978-0-89871-521-7, 转引自 Wikipedia: Rounding 36

为什么使用修约规则？ 选取修约规则的原则 – 对大量数据进行修约后，修约误差能达到相互抵消，而不导致互相迭加而积累； 数据修约国家标准（GB1807－1987） 选取修约规则的原则 – 对大量数据进行修约后，修约误差能达到相互抵消，而不导致互相迭加而积累； 修约规则“4舍6入5成双”合理假设最后 第二位奇偶几率各半。这样舍去或增加最 后第二位的0.5的几率一样。 这是对测量结果的有效数字修约； 对于误差和不确定度呢？ 一位 首位是1 、2时候，留两位 37 37

有效数字修约规则 “4”代表小于5 “6”代表大于5 小于5舍、大于5入 刚好是5时，若前一位为奇数则入，为偶数则舍。 “4舍6入5成双” 38

一个修约的例子 如：计算值x1为3.54835; x2为3.65325 4舍6入5成双 3.54835 3.65325 不确定度 x1取值 0.0003 3.5484　 3.6532　 0.002 3.548　 3.653　 0.04 3.55　 3.65 0.3 3.5　 3.7　 4舍6入5成双 39

3 . 5 4 8 计算值： . 2 不确定度： 修约结果： 3 . 5 4 8 40

3 . 5 4 8 计算值： . 4 不确定度： 修约结果： 3 . 5 41

向后看 向前看 3 . 5 4 8 3 4 5 计算值： . 3 不确定度： 修约结果： 3 . 5 4 8 42

3 . 6 5 2 3 . 6 5 计算值： . 1 不确定度： 修约结果： 3 . 6 3 . ? 3 . 7 43

例：测量一个圆柱体的密度 分析待测量 间接测量量 转化为3个直接测量量M、D、h 为了不改变有效数字， 单位换算，交换小数点位置，小单位换成大单位 例：测量一个圆柱体的密度 分析待测量 间接测量量 转化为3个直接测量量M、D、h 44

例：测量一个圆柱体的密度 质量的测量：选用最小指示值为0.01g、不确定度限值为0.02g的电子天平， 测得：M=80.36g 高度的测量：选用最小分度值为0.1cm、不确定度限值为0.01cm的钢尺，估读1/5分度， 测得左端读数：H1＝4.00cm 测得右端读数：H2＝19.32cm 45

例：测量一个圆柱体的密度 直径的测量：选用最小分度值为0.002cm、不确定度限值为0.002cm的游标卡尺， 测得数据如下： 46

例：测量一个圆柱体的密度 数据处理： 质量的测量：选用最小指示值为0.01g、不确定度限值为0.02g的电子天平，测得：M=80.36g 多保留一位有效数字 47

例：测量一个圆柱体的密度 例：测量一个圆柱体的密度 数据处理： 高度的测量：选用最小分度值为0.1cm、不确定度限值为0.01cm的钢尺，估读1/5分度，测得左端读数：H1＝4.00cm，测得右端读数：H2＝19.32cm； 多保留一位有效数字 48

例：测量一个圆柱体的密度 数据处理： 直径的测量：选用分度值为0.002cm、不确定度限值为0.002cm的游 标卡尺，测得数据如下： 计算过程中 多保留一位有效数字 49

例：测量一个圆柱体的密度 为了不改变有效数字， 合理使用科学记数法。 单位换算，交换小数点位置，小单位换成大单位 数据处理： 50

四、常用数据处理方法 1、列表法 列表法清晰、简便，是一种重要的数据处理方法 测量次数 左读数/mm 右读数/mm 直径Di/mm 12.764 18.762 5.998 2 10.843 5.995 3 11.987 16.838 5.991 4 11.588 5.996 5 12.346 17.978 5.992 6 11.015 直径平均值 5.9945

为什么要作图？ 作图规则？ 如何读图？ 2、作图法处理实验数据 作图纸请到本部教育超市或者相辉堂内的仓库自行购买，本课程用量不会超过10张。 52

a.为什么要作图 清晰地看到定性关系 方便地比较不同特性 合理地从图上得到有用的信息 在不同磁场下锑化铟的磁阻变化曲线 二极管伏安特性 电阻随温度的变化关系 53

b.作图规则 1.选择坐标纸 2.根据自变量－因变量选择图纸方向（一般取自变量为横坐标），选择合适比例，图纸上1格所表示的数据量值符合原数据量值变化的1、2、5等数（或它们的十进倍率）,便于读取。 3.画坐标轴、分度线（等间距、勿太密）并标明物理量名称（斜体）及单位（正体）。 54

作图规则 40 38 36 34 32 30 R/ 20 30 40 50 60 70  / ℃ 55

作图规则 1.选择坐标纸 2.根据自变量－因变量选择图纸方向（一般取自变量为横坐标），选择合适比例，图纸上1格所表示的数据量值符合原数据量值变化的1、2、5等数（或它们的十进倍率）,便于读取。 3.画坐标轴、分度线（等间距、勿太密）并标明物理量名称（斜体）及单位（正体）。 4.画数据点（不标数据值，要用端正的“+”或者“⊙” 符号来表示，不同组数据要用不同的符号）。 56

作图规则 40 38 36 34 32 30 样品A + 样品B + R/ 20 30 40 50 60 70  / ℃ 57

作图规则 作图规则 1.选择坐标纸 2.根据自变量－因变量选择图纸方向（一般取自变量为横坐标），选择合适比例，图纸上1格所表示的数据量值符合原数据量值变化的1、2、5等数（或它们的十进倍率）,便于读取。 3.画坐标轴、分度线（等间距、勿太密）并标明物理量名称（斜体）及单位（正体）。 4.画数据点（不标数据值，要用端正的“+”或者“⊙” 符号来表示）。 5.画直线或曲线，标明特殊点(特殊点所用符号应有别于 数据点的符号）及坐标值（计算斜率用的点，曲线的峰、 谷等）。 58

作图规则 样品A + 样品B + + + + + 40 38 （60.0, 38.5） 36 34 32 30 R/ （26.0, 31.8） + + R/ + + + 20 30 40 50 60 70  / ℃ 59

作图规则 作图规则 6.写出实验名称、图名、实验者、实验日期。 1.选择坐标纸 2.根据自变量－因变量选择图纸方向（一般取自变量为横坐标），选择合适比例，图纸上1格所表示的数据量值符合原数据量值变化的1、2、5等数（或它们的十进倍率）,便于读取。 3.画坐标轴、分度线（等间距、勿太密）并标明物理量名称（斜体）及单位（正体）。 4.画数据点（不标数据值，要用端正的“+”或者“⊙”符号来表 示）。 5.画直线或曲线，标明特殊点(特殊点所用符号应有别于数据点的符号） 及坐标值（计算斜率用的点，曲线的峰、谷等）。 6.写出实验名称、图名、实验者、实验日期。 60

作图规则 样品A + 样品B + + + + + 40 38 （60.0, 38.5） 36 34 32 30 R/ （26.0, 31.8） + + R/ + + 实验名称：******** 图 名：******** 实 验 者：******** 实验日期：******** + 20 30 40 50 60 70  / ℃ 61

c.如何读图 读某个数据点时－有效数字 读单一坐标值时－有效数字、单位 通过作直线求斜率时 取点、标出坐标值、计算斜率（单位） 取点三个规则： 不能取原始数据点； 尽量远但不超数据范围； 取与X轴刻度线的交点。 62 62

例：如何读图 读单一坐标值时——有效数字、单位； 样品A + 样品B + + + + + 40 38 36 34 32 30 R/ 实验名称：******** 图 名：******** 实 验 者：******** 实验日期：******** 31.8 + 20 30 40 50 60 70  / ℃ 63 63

例：如何读图 读某个数据点时——有效数字； 样品A + 样品B + + + + + 40 38 （60.0, 38.5） 36 34 32 30 样品A + 样品B （60.0, 38.5） （26.0, 31.8） + + R/ + 从图上求斜率 + 实验名称：******** 图 名：******** 实 验 者：******** 实验日期：******** + 20 30 40 50 60 70  / ℃ 64 64

例：如何读图 作图法求斜率： 取点、标出坐标值、计算斜率（单位） 取点三个规则： 不能取原始数据点； 尽量远但不超数据范围； 作图法求斜率： 取点、标出坐标值、计算斜率（单位） 20 30 40 50 60 70 40 38 36 34 32 30 +  / ℃ R/ 样品A + 样品B （60.0, 38.5） （26.0, 31.8） 实验名称：******** 图 名：******** 实 验 者：******** 实验日期：******** 取点三个规则： 不能取原始数据点； 尽量远但不超数据范围； 取与X轴刻度线的交点。 跟学生强调：数据处理不可以写在图纸上 65 65

例：关于作图 例：关于作图 在伏安法测电阻的实验中，同学根据测得的数据如下： 这幅图中存在什么问题呢？ 66

如何找到一条最佳的拟合直线？ 内接法： + 外接法：  实验名称：伏安法测电阻 图 名：内接与外接时的伏安曲线 内接法： + 外接法：  如何找到一条最佳的拟合直线？ 实验名称：伏安法测电阻 图 名：内接与外接时的伏安曲线 实 验 者：******** 实验日期：******** 67

k=(0.45-0.3)/(373-223) =0.15/150=0.001 k=(0.450-0.300)/(374-224) =0.150/150=1.00×10-3(1/mT) （373，0.45） （374，0.450） （223，0.3） （224，0.300） 数据处理时，可能要分段拟合 在不同磁场下锑化铟的磁阻变化曲线 68 68

3、逐差法 逐差法一般用于等间隔线性变化测量所得数据的处理,是把测量数据分成高低两组实行对应项相减的一种数据处理方法. 例如声速的测定实验中，用行波法测量声波波长的以下一列数据： 如果简单的将每一个波峰的距离直接计算出来，有： 只有始末两次测量值起了作用，等效于只测 。为了充分利用测量数据，减小测量误差，应采用逐差法： N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

(1)将测量列按次序分为高低两组 ; (2)取对应项的差值后再求平均： 其中 为6个峰值间的距离，即 . 逐差法是物理实验中常用的数据处理方法，它的优点是：充分利用各个测量数据，减小测量误差和扩大测量范围。其应用的一般条件是：处理等间隔线性变化的测量数据。

是从统计的角度处理数据，并能得到测量结果不确定度的一种方法。 4、最小二乘法 —1806年,法国,勒让德 是从统计的角度处理数据，并能得到测量结果不确定度的一种方法。 假设两个物理量之间满足线性关系，其函数形式可写为 y=a+bx。现由实验测得一组数据 为了讨论简便起见，认为xi值是准确的，而所有的误差都只与yi联系着。那么每一次的测量值yi与按方程（y=a+bxi）计算出的y值之间的偏差为

根据最小二乘法原理，a、b的取值应该使所有y的偏差平方之和 为最小值，根据极值条件 由此可得：

由此可求得a和b

yi和a、b的误差估算以及相关系数 如果y和x的相关性好，可以粗略考虑a的有效位数的最后一位与y的有效数字最后一位对齐，b的有效数字与yn-y1和xn-x1中有效位数较少的相同。

最小二乘法应用举例 巳知某铜棒的电阻与温度关系为： 。实验测得7组数据（见表1）如下：试用最小二乘法求出参量R0以及k 。 表 1：在不温度下，铜棒的电阻值  / ℃ 19.10 25.10 30.10 36.00 40.00 45.10 50.10 R /  76.30 77.80 79.75 80.80 82.35 83.90 85.10 分析：此例中只有两个待定的参量R0和k，为得到它们的最佳系数，所需要的数据有n、 、 、 、 和 六个累加数，为此在没有常用的科学型计算器时，通过列表计算的方式来进行，这对提高计算速度将会有极大的帮助(参见表2)，并使工作有条理与不易出错。 75

最小二乘法应用举例 表2：用最小二乘法拟合数据 i q /℃ Rq/W q´q Rq ´Rq q ´Rq 1 19.10 76.30 364.81 5821.69 1457.33 2 25.10 77.80 630.01 6052.84 1952.78 3 30.10 79.75 906.01 6360.06 2400.48 4 36.00 80.80 1296.00 6528.64 2908.80 5 40.00 82.35 1600.00 6781.52 3294.00 6 45.10 83.90 2034.01 7039.21 3783.89 7 50.10 85.10 2510.01 7242.01 4263.51 n= 245.50 566.00 9340.85 45825.98 20060.79 76

最小二乘法应用举例 说明：电阻Rt与温度t的线性关系良好， 所以取R0的有效数字与R对齐，即：R0＝70.76； 相关系数保留到第一个非9的数字 说明：电阻Rt与温度t的线性关系良好， 所以取R0的有效数字与R对齐，即：R0＝70.76； 又因为t7－t1 = 31.00℃，R7－R1 = 8.80，取k有效数字为以上两个差值中较少的位数3位，则k = 0.288/C。 由此可以得到电阻与温度的相关关系为： 77

最小二乘法步骤： 写出拟合直线方程： 确定方程中的自变量x和应变量y （自变量为两个测量量中不确定度较小的） 代入公式解出： P19. 进一步得出直线的两个参数k、b以及相关系数r 写出结论 如有要求可通过公式得出各物理量的不确定度

最小二乘法应用举例 表2：列表计算 i t / ℃ ( xi ) Rt /  ( yi ) t×t ( x2i ) Rt  Rt ( xi yi ) R计算 /  i /  i2×10-4 /  1 2 3 4 5 6 7 19.10 25.10 30.10 36.00 40.00 45.10 50.10 76.30 77.80 79.75 80.80 82.35 83.90 85.10 364.8 630.0 906.0 1296 1600 2034 2510 5821.7 6052.8 6360.1 6528.6 6781.5 7039.2 7242.0 1457.3 1952.8 2400.5 2908.8 3294.0 3783.9 4263.5 76.26 77.99 79.43 81.13 82.28 83.75 85.19 +0.04 -0.19 +0.32 -0.33 +0.07 +0.15 -0.09 16 361 1024 1089 49 225 81 245.50 566.00 9340.8 45825.9 20060.8 2845×10-4 i t / ℃ ( xi ) Rt /  ( yi ) t×t ( x2i ) Rt  Rt ( y2i ) t×Rt ( xi yi ) R计算 /  i /  i2×10-4 /  1 2 3 4 5 6 7 19.10 25.10 30.10 36.00 40.00 45.10 50.10 76.30 77.80 79.75 80.80 82.35 83.90 85.10 364.8 630.0 906.0 1296 1600 2034 2510 5821.7 6052.8 6360.1 6528.6 6781.5 7039.2 7242.0 1457.3 1952.8 2400.5 2908.8 3294.0 3783.9 4263.5 245.50 566.00 9340.8 45825.9 20060.8

最小二乘法应用举例 计算k 和b的不确定度，由公式计算，可得： 故： 则：

5、用Origin来拟合数据 列出数据表 画出散点图 拟合数据 得到拟合曲线 根据作图要求 修改图 实验名称：***** 图 名：铜棒电阻随温度的变化曲线 实验者：*** 实验日期：**** 列出数据表 画出散点图 拟合数据 得到拟合曲线 根据作图要求 修改图 此处插入的拟合结果是没有考虑有效数字的情况。 R = R0+at Parameter Value Error α 70.8 0.3 R0 0.288 0.009 R SD N P 0.998 7 <0.0001 81 81

用Origin来拟合数据-步骤 2. 画出散点图 4. 得到拟合直线 1. 列出数据表 3. 拟合数据 实验名称：***** 图 名：铜棒电阻随温度的变化曲线 实验者：*** 实验日期：**** 3. 拟合数据 82

用Origin来拟合数据-拟合结果 得出电阻值随温度变化的关系式： 正确的表达式： 或 有效位数 物理量符号、单位 此处要强调拟合结果的有效数字。 <Results Log> Value：相应物理量的数值结果 Standard Error：相应物理量的标准偏差 R：相关系数 N：参与拟合的数据点的数目 P：Probability (that R is zero) R为0的概率 SD：拟合的标准差 正确的表达式： 或 83 83

在网上提前选择实验 并写预习报告！ http://phylab.fudan.edu.cn 物理实验课程 – 基础物理实验 根据选课及分组名单中分组表确认自己所在组别 严格按照分组表登陆对应的“· · · · · ·实验室选实验登记表”选择实验填写姓名 选择实验前请仔细阅读登记表前的选实验要求 完成预习报告和数据处理作业并带至实验室 84

第三周实验安排（光华楼西辅楼8楼） 登陆实验中心网站http://phylab.fudan.edu.cn 组号 实验室 实验名称 第1组 804 液氮比汽化热的测量 碰撞打靶、转动惯量 第2组 802 LCR串联谐振电路 直流电桥、亥姆霍兹线圈 第3组 801 数字示波器，磁阻，二极管 第4组 805B 量子论实验 X光实验 第5组 805A 透镜焦距的测量 牛顿环、光的衍射 第6组 803 计算机实测物理实验 登陆实验中心网站http://phylab.fudan.edu.cn 光华楼西辅楼8楼走廊橱窗内的实验分组名单 85

数据处理作业 数据处理作业要求在下周上课前完成，写在A4大小的纸张上即可,第三周带至实验室交给所在实验室教师或者助教！ 迟交扣分！ （课程网页有作业电子版供下载） 数据处理作业要求在下周上课前完成，写在A4大小的纸张上即可,第三周带至实验室交给所在实验室教师或者助教！ 迟交扣分！

数据处理作业 201803 1．改正下列数据。 (先修正不确定度，一位，再将结果和不确定度对齐) （1）1.32501±0.02 （2）5.2500±0. 345 （3）100600±3000 2．计算（一步一步写过程，中间结果多留一位，用下标标记实际应保留位置） （1）1.35×5.00＋20.0×2.02＋20×0.1 （2）5.02×103－40 （3）(4.160－2.2)×3.768÷2.60 (动手做一做） （3）(4.160－2.2)×3.768÷2.60 = 1.96×3.768÷2.60=（两位！！） （4）4.25×1.800×（1＋4/8）（括号中的“1”为准确数） （以下参照PPT例题） 3、 用千分尺多次测量某一金属薄片的厚度 d（如下表），千分尺的不确定度限值为 0.004mm，试求 d 及其不确定度 u(d)。 d/mm 2.014 2.020 2.016 2.020 2.018 4、 用钢尺（分度值为 1mm，不确定度限值为 0.50mm）测量某一物体的长度 l，实验中用 1/10 估读，读得其左端读数 l1为 10.00cm，右端读数 l2为 17.26cm，试 求 l 及其不确定度 u(l)。 5、 利用单摆测重力加速度 g，当摆角很小时有 g=(4π2L)／T2，式中 L 为摆长，T 为周期，它们的测量结果用不确定度分别表示为：L=（97.69±0.02）cm， T=(1.9842±0.0002)s，试求重力加速度 g 的测量结果。 6．由单摆实验得到如下测量数据，请在作图纸上按作图规则作直线图，根据直线斜率求重力加速度。（本次作业要求必须在作图纸上手绘） 摆长 L / cm 53.4 61.5 71.2 81.0 89.5 95.5 周期 T2 / s2 2.183 2.468 2.877 3.262 3.618 3.861 （提示：原点可取为 L＝50cm，T2＝2.0s2。）

注意事项！ 没有预习报告不可以做实验。 迟到扣0.5分，迟到30分钟以上则不允许做实验，该次实验成 绩为0分。 进入实验室后，预习报告须经指导老师检查并签名。 不许带着别人的实验报告在实验室做实验，一经发现，该实验 作0分处理。 记录数据不可以用铅笔，修改数据须有指导老师签名。实验完 毕后，数据需交指导老师审查并签名。

注意事项！ 按要求独立书写实验报告，不得抄袭别人的报告，引用需注明出处。 交取实验报告的时间： 完成实验后48小时内将报告交至指定信箱，下次实验时取报告。