Chap 9 無窮級數 9.1 數列 9.2 級數和收斂 9.3 積分測試和p-級數 9.4 級數的比較 9.5 交錯級數 9.1 數列 9.2 級數和收斂 9.3 積分測試和p-級數 9.4 級數的比較 9.5 交錯級數 9.6 比例與根式測試 9.7 Taylor多項式和近似值 9.8 冪級數 9.9 以冪級數表示函數 9.10 Taylor和Maclaurin級數

Section 9.1 數列 學習目標: • 依序排出數列 • 決定數列的斂散性 • 寫出一般項數列的公式 • 單調和有界數列的性質的應用以及決定數列的斂散性

例題1 依序排出數列 Solution:

定義數列的極限

定理 9.1 數列的極限

例題2 求數列的極限 Solution:

定理9.2 數列極限的性質

例題3 決定數列的斂散性 Solution:

例題4 利用L’Hôpital’s原理決定數列的收斂 Solution:

定理 9.3 求數列極限的夾擠定理

例題5 夾擠定理的應用 Solution:

定理9.4 絕對值定理

觀察數列的規律

例題6 求數列的第n項 Solution:

例題7 求數列的第n項 Solution:

單調數列的定義:

例題8 決定數列是否單調 Solution:

有界數列的定義:

定理9.5 單調有界數列

例題9 單調有界數列 Solution:

Section 9.2 級數與收斂 學習目標: •了解無窮級數收斂的定義 •利用無窮幾何級數(無窮等比級數)的性質 •利用一般項檢驗無窮級數的發散

級數收斂和發散的定義:

例題1 級數的收斂和發散 Solution:

例題2 改寫為望遠鏡級數 Solution:

幾何級數

定理 9.6 幾何級數的收斂和發散 證明:

例題3 幾何級數的收斂和發散 Solution:

例題4 循環小數化為分數 Solution:

定理 9.7 無窮級數的性質

定理 9.8 收歛級數一般項的極限 證明:

定理 9.9 利用一般項檢驗發散

例題5 利用一般項檢驗發散 Solution:

Section 9.3 積分測試和p-級數 學習目標: • 利用積分測試判斷無窮級數是否收歛 • 利用p-級數和調和級數的性質

定理 9.10 積分測試 證明:

例題1 積分測試的應用 Solution:

例題2 積分測試的應用 Solution:

p-級數與調和級數

定理 9.11 p-級數的收斂和發散 證明:

例題3 p-級數的收斂和發散 Solution:

例題4 測試級數的斂散性 Solution:

Section 9.4 級數的比較 學習目標: • 利用(直接)互比測試決定級數的斂散性 • 利用極限互比測試決定級數的斂散性  

定理9.12 (直接)互比測試

例題1 (直接)互比測試的應用 Solution:

例題2 (直接)互比測試的應用 Solution:

定理 9.13 極限互比測試 證明:

例題3 極限互比測試的應用 Solution:

例題4 極限互比測試的應用 Solution:

例題5 極限互比測試的應用 Solution:

Section 9.5 交錯級數 學習目標: • 利用交錯級數測試來決定一個無窮級數是否收歛 • 利用交錯級數餘式來求交錯級數和的近似值 • 收歛，條件收斂和絕對收斂 • 重排無窮級數可能得到不同的和  

定理9.14 交錯級數測試 證明:

例題1 利用交錯級數測試 Solution:

例題3 無法引用交錯級數測試的情形 Solution:

定理 9.15 交錯級數的餘項 證明:

例題4 求交錯級數的近似值 Solution:

定理 9.16 絕對收斂 證明:

絕對和條件收斂的定義

例題5 絕對和條件收斂 Solution:

Section 9.6 比例與根式測試 學習目標: • 利用比例測試決定一個級數是否收歛 • 利用根式測試決定一個級數是否收歛 • 複習本章所學的各種測試

定理9.17 比例測試 證明:

例題1 利用比例測試 Solution:

例題2 利用比例測試 Solution:

例題3 比例測試失敗 Solution:

定理9.18 根式測試

例題4 利用根式測試 Solution:

測試斂散性的引導法則

Section 9.7 Talor多項式和近似值 學習目標: • 求基本函數的多項式近似並與原基本函數比較 • 求基本函數的Talor和Maclaurin多項式近似 • 求Talor多項式的餘項  

例題1 Solution:

例題2 Solution:

n次Talor多項次和n次Maclaurin多項式的定義:

例題4 求 ln x 的Talor多項式 Solution:

例題5 求cos x的Maclaurin多項式 Solution:

例題7 以Maclaurin多項式求近似值 Solution:

Talor多項式的餘項

定理 9.19 Talor定理

例題8 決定近似值的準確度 Solution:

例題9 要求準確度的近似值 Solution:

Section 9.8 冪級數 學習目標: • 了解冪級數的定義 • 求冪級數的收斂區間和收歛半徑 • 決定冪級數在收斂區間的端點是否收歛 • 冪級數的微分和積分  

冪級數的定義:

收歛半徑和收斂區間

定理9.20

例題2 求收斂半徑 Solution:

例題3 求收斂半徑 Solution:

例題4 求收斂半徑 Solution:

在端點的斂散性 (Endpoint Convergence)

例題5 求收斂區間 Solution:

例題6 求收斂區間 Solution:

定理 9.21 以冪級數定義的函數的性質

例題8 Solution:

例題8 Solution:

Section 9.9 以冪級數表示函數 學習目標: • 將一個函數表成幾何冪級數 • 利用級數的運算求冪級數

例題1 求以0為中心的幾何冪級數 Solution:

例題2 求以1為中心的幾何冪級數 Solution:

冪級數的運算

例題3 兩個冪級數的和 Solution:

例題4 積分求冪級數 Solution:

例題5 積分求冪級數 Solution:

Section 9.10 Talor和Maclaurin級數 學習目標: • 求函數的Talor或Maclaurin級數 • 求二項級數 • 利用已知Talor級數求其他的Taloir級數

定理 9.22 收歛冪級數的形式 證明:

Talor和Maclaurin的定義

例題1 寫下冪級數 Solution:

定理 9.23 Talor級數的斂散性 證明:

例題2 一個收斂的Maclaurin級數 Solution:

求Talor級數的引導法則

例題3 合成函數的Maclaurin級數 Solution:

例題4 二項級數 Solution:

例題5 求二項級數 Solution:

例題6 從基本表求冪級數 Solution:

例題8 的冪級數 Solution:

例題9 定積分的冪級數近似法 Solution: