材料力学（乙） 复习课 赵 沛 浙江大学交叉力学中心 浙江大学工程力学系 2019年6月18日

一、绪论 杆件 衡量杆件承载能力的三个方面 材料力学的任务 变形固体 变形固体的四个基本假设 外力 分布力 表面力 集中力 按作用方式分 外力的分类 体积力 内力 静载荷 按随时间变化情况分 交变载荷 动载荷 冲击载荷 研究内力的方法：截面法（截、取、代、平）

一、绪论 σ τ ε  与截面垂直的应力分量——正应力 与截面平行的应力分量——切应力 应力的单位 应力 应变 线应变 角应变（切应变） 变形 线位移（点移动的直线距离） 位移 角位移[一线段（面）转过的角度] 杆件变形的4种基本形式 受力特点 变形特点

二、拉伸、压缩与剪切 轴向拉压的特点 受力特点 变形特点 杆件两端作用力大小相等，方向相反，作用线与杆轴线重合。 拉伸时杆件伸长，横向尺寸缩小；压缩时杆件缩短，横向尺寸增大。 轴力与轴力图 轴力 轴力图 轴向拉压时，杆件横截面上内力的合力 ，称为轴力。符号：拉力为正，压力为负。 表示轴力沿杆件轴线变化的图形，称为轴力图。同一杆件的轴力图采用同一比例，标明极值和正负号。

二、拉伸、压缩与剪切 截面上的应力 横截面上的应力 斜截面上的应力 ，只有正应力 斜截面上的应力： 变形与应变 纵向变形 横向应变 应力应变关系 拉压杆纵向变形公式： 轴线应变公式： 横向应变 与纵向应变 之比的绝对值为一个常数，即 称为胡克定律，E为弹性模量，单位与应力相同。

二、拉伸、压缩与剪切 材料力学性质 失效应力 塑性指标 塑性材料的失效应力为屈服极限 ，脆性材料的失效应力为强度极限 塑性材料的失效应力为屈服极限 ，脆性材料的失效应力为强度极限 伸缩率 与截面收缩率 。工程上一般认为 为塑性材料。 强度条件 许用应力 强度条件 强度条件应用 失效应力 除以大于1的安全因数，即为许用应力，即 强度校核； 截面设计； 求许用载荷。

杆件截面尺寸发生突变，引起局部应力急剧增加的现象 二、拉伸、压缩与剪切 应力集中 杆件截面尺寸发生突变，引起局部应力急剧增加的现象 超静定问题 温度应力 温度应力 剪 切 受力特点：一对大小相等、方向相反、作用线距离很近的外力 变形特点：作用力之间的截面发生相对错动 内力：沿截面作用的剪力 实用计算：切应力在剪切面上均匀分布， 剪切强度条件： 挤压 挤压实用计算：

本章复习 3、横截面上的正应力σ计算公式： 正应力σ和轴力FN同号，拉应力为正，压应力为负。 6、低碳钢的拉伸性能。拉伸分为弹性阶段（线弹性阶段、非线弹性阶段）、屈服阶段、强化阶段、局部变形阶段。各阶段对应极限： （比例极限）， （弹性极限）， （屈服极限）， （强度极限）

本章复习 11、强度条件。强度校核、设计界面、确定许可载荷。 杆内的最大工作应力不超过材料的许用应力 12、胡克定律 EA称为杆的抗拉（抗压）刚度。 比例常数E称为弹性模量，是描述固体材料抵抗变形能力的物理量，也称为杨氏模量。

本章复习 12、胡克定律 EA称为杆的抗拉（抗压）刚度。 比例常数E称为弹性模量，是描述固体材料抵抗变形能力的物理量，也称为杨氏模量。 单位(国际单位制)：N/m2 (Pa); 常用单位：MPa或GPa 13、泊松比：横向应变与轴向应变之比的绝对值。

本章复习 13、泊松比：横向应变与轴向应变之比的绝对值。 17、温度应力：温度变化将引起物体的膨胀或收缩。静定结构可以自由变形，不会引起构件的内力，但在超静定结构中变形将受到部分或全部约束，温度变化时往往就要引起内力，与之相对应的应力称为热应力或温度应力。

本章复习 21、切应力的计算 式中， FS为剪力，A为剪切面的面积。 22、切应力强度条件： 23、实用挤压应力公式 24、挤压强度条件

变形特点：平行于作用力偶之间的截面发生相对转动 三、扭转 圆轴扭转 受力特点：一对大小相等、方向相反、垂直于轴线的力偶 变形特点：平行于作用力偶之间的截面发生相对转动 剪切胡克定律： 切应力互等定理： 横截面上的应力： 横截面上的最大应力：

三、扭转 圆截面对圆心的极惯性矩： 圆轴扭转 实心圆截面的抗扭截面系数： 的空心圆截面： 强度条件： 强度校核 强度计算 截面设计 确定许可载荷

本章复习 3、薄壁圆筒切应力计算公式 4、切应力互等定理。 5、剪切胡克定律： 6、距圆心为处的切应变： 7、横截面上同一圆周上任意点的切应力τρ均相同，且与该点到圆心的距离ρ成正比。

本章复习 8、极惯性矩： 9、抗扭截面系数： 10、 11、实心圆截面： 空心圆截面： 12、扭转强度条件：

本章复习 13、 14、单位长度扭转角： 15、扭转刚度条件：

四、弯曲内力 梁 以弯曲变形为主的构件 平面弯曲 有纵向对称面 外力在此面内 变形后轴线在此面内 静定梁的基本形式 悬臂梁 简支梁 外伸梁 一端固定，一端自由 一端固定绞支，一端可动绞支 简支梁一端或两端伸出支座以外 梁的内力 剪力Fs与弯矩M的正负号 剪力方程与弯矩方程 剪力方程是描述剪力与截面位置之间的函数关系；弯矩方程是描述弯矩和截面位置之间的函数关系。 Fs：顺时针转动为正，逆时针转动为负； M：下凸为正，上凸为负

四、弯曲内力 q(x), Fs(x), M(x)间的微分关系 x向右y向上的右手坐标系中 利用微分关系作内力图或检查内力图 梁的内力图 剪力图与弯矩图 内力图标注 内力图画法 1、正值画在坐标轴上方，负值画在下方，标注正负号； 2、标出控制截面内力值与单位。 常见内力图画法： 1、内力方程法； 2、控制面法； 3、叠加法。 表示剪力随截面位置坐标而变化的图形为剪力图；表示弯矩随截面位置坐标而变化的图形为弯矩图

本章复习 1、固定端支座 FRy FRx MR 2、固定绞支座 FRy FRx

本章复习 3、可动铰支座。 FRy 4、剪力FS：构件受弯时，横截面上其作用线平行于横截面 的内力合力。左上右下为正。 5、弯矩M：构件受弯时，横截面上其作用面垂直于横截面 的内力系的合力偶矩。上压下拉为正。

本章复习 6、平面刚架的内力 7、q(x)、FS(x)图、M(x)图三者间的关系。 平面刚架是由在同一平面内，不同取向的杆件， 通过杆端相互刚性连结而组成的结构。 A B C 内力包括：剪力；弯矩；轴力。 弯矩图：画在各杆的受压（凹入）侧，不注明正、负号。 剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧（通常正值画在刚 架的外侧），注明正、负号。 7、q(x)、FS(x)图、M(x)图三者间的关系。

本章复习 9、几种载荷下剪力图与弯矩图的特征 向下倾斜的直线 上凸的二次抛物线 在FS=0的截面或起始点 水平直线 一般直线 或 在C处有转折 在剪力突变的截面 在紧靠C的某一侧截面 在C处有突变 F m 在C处无变化 C 无载荷 集中力 集中力偶 梁上外力情况 剪力图 的特征 弯矩图 Mmax所在 的可能面 q <0 均布载荷 全梁或梁的 边界截面

五、弯曲应力 弯曲的分类 纯弯曲 横力弯曲 几何性质 横截面上仅有M没有Fs 横截面上既有M又有Fs 中性层与中性轴 静矩Sz 惯性矩Iz 抗弯截面系数Wz 弯曲时既不伸长也不缩短的层面为中性层；中性层与横截面的交线为中性轴。 积分 叫做面积A对z轴的静矩。简单图形的静矩Sz=面积A×形心距z轴距离yc 积分 即截面A对z轴的惯性矩。它是杆件截面抗弯能力的一个几何量。 叫做抗弯截面系数，它是一个与截面形状和尺寸有关的几何量。 平行移轴定理 转轴定理

五、弯曲应力 弯曲应力 弯曲正应力 弯曲切应力 强度条件 梁任一截面任一点正应力公式 应用条件：纯弯曲；线弹性；等直杆 梁任一截面任一点切应力公式 最大切应力： 矩形截面 圆形截面 正应力强度条件 切应力强度条件 塑性材料：一个危险截面，一个危险点 脆性材料：两个危险截面，两个危险点

本章复习 1、纯弯曲与横力弯曲。 2、中性层和中性轴。中性轴过截面的形心。 3、纯弯曲的应变与应力 4、 5、纯弯曲最大正应力 6、横力弯曲最大正应力

本章复习 7、弯曲正应力强度条件：梁内的最大工作正应力不超过 材料的许用正应力。 强度校核、设计截面、确定许可载荷 8、矩形截面梁的切应力 9、圆截面梁的切应力

§5.2 纯弯曲时的正应力 5、常见截面的IZ和WZ 圆截面 矩形截面 空心圆截面 空心矩形截面

§5.2 纯弯曲时的正应力 5、常见截面的IZ和WZ 圆截面 空心圆截面

六、弯曲变形 挠度 变形的衡量 挠曲线微分方程 刚度条件 梁在载荷作用下产生的变形是微小的 弯曲变形 叠加法计算弯曲变形 转角 挠曲线微分方程 刚度条件 梁在载荷作用下产生的变形是微小的 弯曲变形 叠加法计算弯曲变形 材料在线弹性范围内工作，梁的位移与载荷呈线性关系 梁上每个载荷引起的位移不受其他载荷的影响 多余约束 超静定次数 变形协调条件 超静定梁 查表后叠加 提高梁刚度的措施 降低弯矩 提高抗弯刚度

本章复习 1、挠度与转角的关系 2、积分法 （1）位移边界条件 （2）光滑连续条件 3、叠加原理与叠加法 当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形是 各自独立的，互不影响。

§6.3 用积分法求弯曲变形 5、简单载荷下梁的挠度与转角（P195表6.1） 1 2 3 悬臂梁 序号 梁上载荷及弯矩图 挠曲线方程 最大转角与挠度 1 2 3 A B Me A B F Fl A B F Fl 悬臂梁

§6.3 用积分法求弯曲变形 5、简单载荷下梁的挠度与转角（P195表6.1） 4 5 悬臂梁 序号 梁上载荷及弯矩图 挠曲线方程 最大转角与挠度 4 5 A B q ql2/2 A B q0 q0l2/6 悬臂梁

§6.3 用积分法求弯曲变形 5、简单载荷下梁的挠度与转角（P195表6.1） + + + 1 2 3 简支梁 MA 序号 梁上载荷及弯矩图 挠曲线方程 最大转角与挠度 1 2 3 MB + q + ql2/8 简支梁

§6.3 用积分法求弯曲变形 5、简单载荷下梁的挠度与转角（P195表6.1） + + + 4 5 6 简支梁 q0 序号 梁上载荷及弯矩图 挠曲线方程 最大转角与挠度 4 5 6 + Fl/4 F F + Fl/4 简支梁

七、应力和应变分析、强度理论 一点的应力状态 每个面上应力均匀 平行面上应力相等 单元体 主平面：切应力为零的平面 主应力：主平面上的正应力 单向应力状态 1个主应力不为0 应力状 态分类 二向应力状态 2个主应力不为0 复杂应力状态 复杂应力状态 3个主应力不为0 应力状态分析 解析法 图解法（应力圆） 7个公式 点面关系 夹角关系

七、应力和应变分析、强度理论 广义胡克定律 应力应变关系 脆性断裂 第一强度理论 第二强度理论 强度理论 塑性断裂 第三强度理论 第四强度理论

本章复习 z dx dz y x dy 3、单元体、主单元体、主平面、主应力。 一点处必定存在这样的一个主应力单元体， 其中三个相互垂直的面均为主平面，三个互相垂直的主应力分别记为1、2、 3 且规定按代数值大小的顺序来排列，即 主应力单元体

本章复习 5、任意斜截面的应力 6、最大正应力的方位 7、最大正应力 8、最大切应力的方位

本章复习 9、最大切应力 10、应力圆（莫尔圆） 圆心的坐标 圆的半径

本章复习 11、应力圆的画法及应用  G1 E 2 D 2 B1 B 20  A C A1 y D′ G2 x 1 xy O 1 yx D′ 

本章复习 12、三向应力状态 三个应力圆圆周上的点及由它们围成的阴影部分上的点的坐标代表了空间应力状态下所有截面上的应力。 该点处的最大正应力（指代数值）应等于最大应力圆上A点的横坐标 1。  A 1  O 2 3 C B 12、三向应力状态

本章复习 12、三向应力状态 最大切应力则等于最大的应力圆的半径  A 1  O 2 3 C 最大切应力则等于最大的应力圆的半径 最大切应力所在的截面与 2所在的主平面垂直，并与1和3所在的主平面成 45º角。 B

本章复习 13、广义胡克定律（主应力） 材料为各向同性，且变形处于线弹性范围。

本章复习 21、材料破坏（失效）的两种类型：断裂与屈服 脆性材料：断裂，破坏极限 σb 塑性材料：屈服，破坏极限 σS 22、四个强度理论 第一类强度理论：以脆断作为破坏的标志。 包括：最大拉应力理论和最大伸长线应变理论。 包括：最大切应力理论和畸变能密度理论。 22、四个强度理论 第二类强度理论：以出现屈服现象作为破坏的标志。

本章复习 23、最大拉应力理论（第一强度理论） 1  [ （脆性材料） 24、最大伸长线应变理论（第二强度理论） （脆性材料） 25、最大切应力理论（第三强度理论） （塑性材料） 26、畸变能密度理论（第四强度理论） （塑性材料）

本章复习 把各种强度理论的强度条件写成统一形式 r称为复杂应力状态的相当应力. 27、相当应力

八、组合变形 1、载荷分解 2、基本变形应力分析 组合变形 叠加原理 3、应力叠加 4、强度分析 拉（压）弯组合 危险点为单向应力状态 强度条件 薄壁承压圆筒 危险点为二向应力状态 强度条件

八、组合变形 弯扭组合 危险点为二向应力状态 强度理论 脆性断裂 塑性屈服

本章复习 1、构件在荷载作用下发生两种或两种以上的基本变形, 则 构件的变形称为组合变形。 2、处理组合变形的基本方法：叠加法 3、拉弯组合：作用在杆件上的外力既有轴向拉( 压 )力，还 有横向力，杆件将发生拉伸 (压缩 ) 与弯曲组合变形。 4、应力分析 横截面上任意一点(z, y)处的正应力计算公式为：    

本章复习 5、弯扭组合  是危险点的正应力， 是危险点的切应力 该公式适用于塑性材料的平面应力状态，且横截面不限于 圆形截面 ； 该公式适用于弯+扭组合变形、拉（压）+扭转的组合变 形、以及拉（压）+扭转+弯曲的组合变形； 切应力的方向可以不用考虑。

本章复习 5、弯扭组合 W为抗弯截面系数，M、T为轴危险截面的弯矩和扭矩。 该公式仅适用于塑性材料发生弯+扭组合变形时，且其截 面为实心圆截面或空心圆截面。

本章复习 6、弯拉（压）扭组合 7、薄壁圆筒的应力与强度分析 轴向应力 周向应力 对于脆性材料 对于塑性材料

九、压杆稳定 压杆稳定 压杆保持原有直线平衡状态的能力 临界应力： 临界压力 两端铰支： 一端自由，一端固定： 长度因数 两端固定： 一端铰支，一端固定： 惯性半径： 柔度（长细比） 大柔度杆： 欧拉公式 中柔度杆： 经验公式 小柔度杆： 强度公式 压杆稳定计算

本章复习 2、两段铰支细长压杆的临界压力（欧拉公式） 4、长细比 5、欧拉公式的适用范围：大柔度杆 6、经验公式的适用范围：中柔度杆     5、欧拉公式的适用范围：大柔度杆 6、经验公式的适用范围：中柔度杆 7、强度条件的适用范围：小柔度杆

本章复习 8、临界应力总图 l0 lp 小柔度杆 中柔度杆 大柔度杆 临界应力总图

本章复习 3、各种支座下的欧拉公式 两端绞支 欧拉公式 长度系数 Fcr 1 l

本章复习 3、各种支座下的欧拉公式 一端固定 一端自由 欧拉公式 长度系数 l Fcr 2l 2

本章复习 3、各种支座下的欧拉公式 两端固定 欧拉公式 长度系数 Fcr l/4 0.5 l l/2 l/4

本章复习 3、各种支座下的欧拉公式 一端固定 一端绞支 欧拉公式 长度系数 Fcr l 0.3l 0.7l 0.7

本章复习 3、各种支座下的欧拉公式 一端固定 一端绞支 欧拉公式 长度系数 Fcr l 0.3l 0.7l 0.7

本章复习 9、压杆的稳定校核 压杆实际压力 计算步骤 （1）计算最大的柔度系数max； （2）根据max 选择公式计算临界应力； （3）根据稳定性条件，判断压杆的稳定性或确定许可载荷。

本章复习 10、提高压杆稳定性的关键 欧拉公式 越大越稳定 减小压杆长度 l 减小长度系数 μ（增强约束） 增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状） 增大弹性模量 E（合理选择材料）

十、动载荷 动载荷 动荷因数 匀角速度 旋转圆环 构件有加速度时的应力计算 动静法、达朗伯原理 匀加速度a向上提升的杆件 能量法解冲击问题 匀角速度 旋转圆环 构件有加速度时的应力计算 动静法、达朗伯原理 匀加速度a向上提升的杆件 能量法解冲击问题 1、冲击物从高处自由下落： 2、冲击物在h处的速度为v： 3、接触时的速度为v： 4、突加载荷： 5、水平冲击：

十一、交变应力 几种特殊循环 交变应力 循环特征 循环特征 应力比 应力幅 平均应力 疲劳失效 产生的原因 断口特征 材料的疲劳极限 疲劳极限或条件疲劳极限的定义 应力-寿命（S-N）曲线 影响疲劳极限的因素 外形；尺寸；表面质量。 减缓应力集中；增加表面光滑度；增加表层厚度。 提高疲劳极限的措施

两章复习 1、动载荷：载荷作用过程中其随时间快速变化，或其本身 不稳定（包括大小、方向），构件内各质点加速度较大。 2、动响应：构件在动载荷作用下产生的各种响应（如应力、 应变、位移等）。 3、实验表明，在静载荷下服从胡克定律的材料，只要应力 不超过比例极限，在动载荷下胡克定律仍成立。 动荷系数：Kd= 动响应 静响应 4、

两章复习 5、冲击：当运动着的物体碰撞到一静止的构件时，前者的 运动将受阻而在短时间停止运动，这时构件就受到了冲 击作用。 6、冲击的求解：能量守恒定律。 7、竖直冲击： 水平冲击：

两章复习 8、交变应力：构件内一点处的应力随时间作周期性变化， 这种应力称为交变应力。 9、疲劳破坏：材料在交变应力作用下的破坏。 10、疲劳破坏的特点：破坏应力值一般低于静载荷作用下 的强度极限值；表现为脆性断裂；断口表面可分为光滑 区与粗糙区。 11、疲劳破坏的过程：裂纹萌生；裂纹扩展；构件断裂。 12、交变应力的分类：对称循环、非对称循环、静循环。 13、疲劳极限。

十三、能量法 Vε = W 能量原理（与功、能有关的定理的统称） 功能原理：弹性范围内 轴向拉压： 应变能的计算 圆轴扭转： 弯曲： 应变能的普遍表达式 克拉贝依隆原理 组合变形时

十三、能量法 互等定理 功的互等定理 位移互等定理 卡氏第一定理 卡氏第二定理 卡氏定理 拉压： 弯曲： 单位载荷法 （莫尔积分） 扭转： 桁架： 1、线弹性范围；2、 ；3、位移为沿广义力方向的广义位移。 图乘法：在单位载荷作用下， 图为直线或折线。

本章复习 4、杆件的应变能 仅适用于满足σ=Eε的线性情况，其他形式需要求积分 应变 能密度 应力 功 正应力 切应力 应变能 力 变形 拉压 扭转 弯曲                               仅适用于满足σ=Eε的线性情况，其他形式需要求积分  

本章复习 5、应变能的普遍表达式   克拉贝依隆原理（只限于线性结构） 6、功的互等定理   7、位移互等定理   9、卡氏第二定理

本章复习 10、卡氏第二定理的应用 （1）轴向拉压   （2）扭转   （3）弯曲  

本章复习 10、卡氏第二定理的应用 （4）桁架   （5）组合变形    

本章复习 13、单位载荷法 14、普遍形式的莫尔定理 该式中Δ应看成广义位移，把单位载荷看成与相对应的广义力。 15、图乘法（等直杆弯曲）

§13.8 计算莫尔积分的图乘法 2、几种常见图形的面积和形心计算公式 C l h 顶点 b a l h C 三角形 二次抛物线

§13.8 计算莫尔积分的图乘法 2、几种常见图形的面积和形心计算公式 C C 二次抛物线 N次抛物线 l h 顶点 l h 顶点 3l/4

十四、超静定结构 超静定结构 外力超静定 内力超静定 混合超静定 相当系统 静定系统+外力+多余约束 力法解超静定问题 变形比较 力法正则方程 变形协调条件 推广形式 对称与反对称性质的利用 结构对称+载荷对称 结构对称+载荷非对称 对称面上非对称内力为0 对称面上对称内力为0 一般结构中对称性的判断与转化

本章复习 5、力法的求解过程 6、力法正则方程 （1）判定超静定次数，做出“相当系统”； （2）在多余约束处满足“变形几何条件”，得到变形协调方程； （3）由补充方程求出多余约束力； （4）在相当系统上求解原超静定结构的内力和变形。 6、力法正则方程 以多余力为未知量的变形协调方程可改写成下式 此即变形协调方程的标准形式，即所谓的力法正则方程。

本章复习 7、正则方程的推广

本章复习 8、当对称结构受力也对称于结构对称轴，则此结构将产生 对称变形； 若外力反对称于结构对称轴，则结构将产 生反对称变形。 9、当对称结构上作用对称载荷，则对称截面上的非对称内 力为零；当对称结构上作用非对称载荷，则对称截面上 的对称内力为零 。