二元一次式 二元一次式的化簡 二元一次方程式 自我評量

已學過根據題意列出含有 x 的一次式。例如：買每個 25 元的麵包 x 個，一共需付 25x 元。 搭配頁數 P.6 　在第一冊第 3 章的一元一次方程式中， 已學過根據題意列出含有 x 的一次式。例如：買每個 25 元的麵包 x 個，一共需付 25x 元。 　現在我們要學習含有兩個未知數(如 x、y)的一次式，例如：買每個 25 元的麵包 x 個和每瓶 18 元的果汁 y 瓶，一共要付（25x＋18y）元。

志宏為了響應愛心活動，想要將撲滿中的拾元及伍元硬幣全部捐出來。如果拾元硬幣有 x 枚，伍元硬幣有 y 枚，則志宏總共捐出多少元？ 搭配頁數 P.6 志宏為了響應愛心活動，想要將撲滿中的拾元及伍元硬幣全部捐出來。如果拾元硬幣有 x 枚，伍元硬幣有 y 枚，則志宏總共捐出多少元？ 解 拾元硬幣有 x 枚，共 10x 元； 伍元硬幣有 y 枚，共 5y 元； 所以志宏總共捐出（10x＋5y）元。

搭配頁數 P.6 心怡買每張 15 元的卡片 x 張及每張 12 元的卡片 y 張，回答下列問題： (1)買 15 元的卡片 x 張需_______ 元，12 元 　 的卡片 y 張需_______ 元。 (2)心怡共付____________ 元。 15x 12y 15x＋12y 解 15 (元) × x (元/張)=15x(元) 12 (元) × y (元/張)=12y(元) 總共需要15x ＋ 12y(元)

一桶 5000 毫升的水，倒滿每杯容量 x 毫升的杯子 3 杯，及每杯容量y 毫升的杯子 5 杯後，桶內剩下多少毫升的水？ 搭配頁數 P.7 一桶 5000 毫升的水，倒滿每杯容量 x 毫升的杯子 3 杯，及每杯容量y 毫升的杯子 5 杯後，桶內剩下多少毫升的水？ 逐一減去先後倒出的量 解 一 倒滿每杯容量 x 毫升的杯子 3 杯，就是倒出了 3x 毫升的水； 倒滿每杯容量 y 毫升的杯子 5 杯，就是倒出了 5y 毫升的水； 所以桶內剩下（5000－3x－5y）毫升的水。

一桶 5000 毫升的水，倒滿每杯容量 x 毫升的杯子 3 杯，及每杯容量y 毫升的杯子 5 杯後，桶內剩下多少毫升的水？ 搭配頁數 P.7 一桶 5000 毫升的水，倒滿每杯容量 x 毫升的杯子 3 杯，及每杯容量y 毫升的杯子 5 杯後，桶內剩下多少毫升的水？ 解 二 一次減去全部倒出的量 因為分別倒出了 3x 毫升及 5y 毫升的水， 也就是共倒出（3x＋5y）毫升的水， 所以桶內剩下5000－（3x＋5y）毫升的水。

1.志忠有 83元，買文具花掉了 x 枚壹元硬幣 與 y 枚拾元硬幣，則志忠剩下 ____________ 元。 搭配頁數 P.7 解 1.志忠有 83元，買文具花掉了 x 枚壹元硬幣 與 y 枚拾元硬幣，則志忠剩下 ____________ 元。 83－x－10y 2.佩君有 200 元，買了每枝 x 元的原子筆 2 枝與每枝 y 元的鉛筆 3 枝後，剩下____________ 元。 200－2x－3y

由上面的說明，可以發現二元一次式的值，須由 x 與 y 分別所代表的數為 多少來決定。 搭配頁數 P.7 　在例題 1 與例題 2 中，像 10x＋5y、 5000－3x－5y 這種只含有兩種文字符號(二元)，且這兩種文字符號的最高次方都是一次的式子，稱為二元一次式。 　例題 1 中，志宏捐出 x 枚拾元硬幣，y 枚伍元硬幣，總共捐出（10x＋5y）元。如果捐出的硬幣中，拾元硬幣有 64 枚及伍元硬幣有 17 枚，即表示 x＝64，y＝17，所以總共捐出 10x＋5y＝10×64＋5×17＝640＋85＝725(元)。 　由上面的說明，可以發現二元一次式的值，須由 x 與 y 分別所代表的數為 多少來決定。

當 x＝5，y＝2 時, 當 x＝－2，y＝3 時, 3x－4y＝3×5－4×2 3x－4y＝3×(－2)－4×3 ＝15－8 ＝－6－12 搭配頁數 P.8   (1) 當 x＝5，y＝2 時, (2) 當 x＝－2，y＝3 時, 解 3x－4y＝3×5－4×2 3x－4y＝3×(－2)－4×3 ＝15－8 ＝－6－12 ＝－18 ＝7   (3)   ＝－2+10 ＝ 8

搭配頁數 P.8 也可以用表格的方式來呈現例題 3，如下表：　

搭配頁數 P.8 在下表空格中，填入各二元一次式的值。 解   13       9 10.5                    

學習二元一次式時，同類項須先合併化簡，如果含有不同文字符號就不是 同類項，是不能合併的。 搭配頁數 P.9 　學習二元一次式時，同類項須先合併化簡，如果含有不同文字符號就不是 同類項，是不能合併的。 例如：(1)2x＋3x 中，2x 與 3x 是同類項， 可以合併為 5x。 　　　(2)25x＋18y 中，25x 與 18y 不是同 類項，所以不能合併。

化簡下列各式： (1) 2x＋2y＋4x＋y (2) 3x－4y＋9＋5x＋y－7 搭配頁數 P.9 化簡下列各式： (1) 2x＋2y＋4x＋y (2) 3x－4y＋9＋5x＋y－7 2x 與 4x 為同類項， 2y 與 y 為同類項。 解 (1) 2x＋2y＋4x＋y ＝ 2x＋4x＋2y＋y 6x 與 3y 不是同類 項，不能再合併。 ＝ 6x＋3y (2) 3x－4y＋9＋5x＋y－7 ＝ 3x＋5x－4y＋y＋9－7 ＝ 8x－3y＋2

化簡下列各式： (1) x＋4y－3x＋2 (2)5x－6y－4－6x－2y＋4 搭配頁數 P.9 化簡下列各式： (1) x＋4y－3x＋2 (2)5x－6y－4－6x－2y＋4 (1) x＋4y－3x＋2 解 ＝ x－3x ＋4y＋2 ＝－2x＋4y＋2 (2) 5x－6y－4－6x－2y＋4 ＝ 5x－6x－6y－2y－4＋4 ＝－x－8y

化簡下列各式： (1) （2x＋4y－5）＋（4x－5y＋6） 搭配頁數 P.10 化簡下列各式： (1) （2x＋4y－5）＋（4x－5y＋6） 解 (1) （2x＋4y－5）＋（4x－5y＋6） ＝ 2x＋4y－5＋4x－5y＋6 ＝ 6x －y ＋1

化簡下列各式： (2) 2（3x－y＋9）＋3（x－2y－5） 搭配頁數 P.10 化簡下列各式： (2) 2（3x－y＋9）＋3（x－2y－5） 解 (2) 2（3x－ y＋9）＋ 3（x－2y－5） ＝ 6x －2y ＋18 ＋3x －6y －15 ＝ 9x －8y ＋3

化簡下列各式： (1) （ 4x－5y－9）＋（3x＋4y－8） 搭配頁數 P.10 化簡下列各式： (1) （ 4x－5y－9）＋（3x＋4y－8） 解 ＝ 4x－5y－9＋3x＋4y－8 ＝ 7x －y －17 (2) 4（－2x＋y＋3）＋3（x－2y－5） 解 ＝－8x ＋4y ＋12 ＋3x －6y －15 ＝－5x －2y －3

例題 5 的第 1 小題，也可以將同類項上下對齊，用直式運算： 搭配頁數 P.10 　例題 5 的第 1 小題，也可以將同類項上下對齊，用直式運算：

化簡下列各式： (1) 7x － y ＋ 5 ＋ ） 3x － 5y － 9 10x －6y －4 搭配頁數 P.10 化簡下列各式： (1) 　　　7x － y ＋ 5 　　＋ ） 3x － 5y － 9 　 解 10x －6y －4 (2) 　　　 3x －5y － 7 　　＋ ）－x ＋8y ＋ 8 　 解 2x ＋3y ＋1

化簡下列各式： (1) （3x－2y－1）－（2x＋y－3） 搭配頁數 P.11 化簡下列各式： (1) （3x－2y－1）－（2x＋y－3） (1) 解 （3x－2y－1）－（2x＋y－3） ＝ 3x－2y－1－2x－y＋3 ＝ x －3y ＋2

搭配頁數 P.11     解 (2)     ＝ 3x ＋3 －x －2   ＝ 2x ＋1

化簡下列各式： (1) ( 5x＋2y－8)－(2x－4y＋3) 搭配頁數 P.11 化簡下列各式： (1) ( 5x＋2y－8)－(2x－4y＋3) 解 ＝3x＋6y－11     解

例題 6 的第 1 小題，也可以將同類項上下對齊，用直式運算： 搭配頁數 P.11 　例題 6 的第 1 小題，也可以將同類項上下對齊，用直式運算：

化簡下列各式： (1) 3x － 5y ＋ 2 ＋ ） 6x － 2y －7 －3x －3y ＋9 搭配頁數 P.11 化簡下列各式： (1) 　　　3x － 5y ＋ 2 　　＋ ） 6x － 2y －7 　 解 －3x －3y ＋9 (2) 　　　－2x＋5y －7 　　＋ ） 4x － y － 9 　 解 －6x ＋6y ＋2

現在練習將一個二元一次式進一步列成含等號的式子。例如： 搭配頁數 P.12 　現在練習將一個二元一次式進一步列成含等號的式子。例如： u可晴買了每個 25 元的麵包 x 個和每瓶 18 元的果汁 y 瓶，共花了 147 元。 可列得等式： 25x＋18y＝147 v一桶 5000 毫升的水，倒滿每杯容量 x 毫升的杯子 3 杯，及每杯容量 y 毫升的杯子 5 杯後，桶內還剩 2000 毫升的水。 可列得等式： 5000－3x－5y＝2000

搭配頁數 P.12 　像 25x＋18y＝147 和 5000－3x－5y＝2000 這種含有兩種未知數，且這兩種未知數的最高次方都是一次的等式，稱為二元一次方程式。

搭配頁數 P.12 根據下列各問題，列出二元一次方程式︰ (1)佳怡買了每枝 15 元的鉛筆 x 枝及每個 12 　元的橡皮擦 y 個，一共花了120 元。可列出二元一次方程式：_______________ 。 15x＋12y =120 (2)建成有 83 元，買文具花了 x 枚壹元硬幣和 y 枚拾元硬幣後，還剩下 21元。可列出二元一次方程式：_______________ 。 83－x－10y = 21 或 83－(x＋10y) = 21 解

搭配頁數 P.12 　當二元一次方程式中的未知數（例如：x 與 y），以一組特定的數代入，可使等號左右兩邊的值相等時，稱該組 x、y 所代表的數為此方程式的一組解。 　例如：判別 (1) x＝3，y＝4、 (2) x＝1，y＝2，是否為二元一次方程式 5x＋8y＝47 的一組解。

判別下列各組 x、y 所代表的數，是否為方程式 －2x＋y＝3 的解。 (1) x＝0 , y＝3 (2) x＝－1 , y＝－1 搭配頁數 P.13 判別下列各組 x、y 所代表的數，是否為方程式 －2x＋y＝3 的解。 (1) x＝0 , y＝3 (2) x＝－1 , y＝－1 解 (1) 以x＝0,y＝3代入, (2) 以x＝－1, y＝－1代入, －2x＋y ＝－2×0＋3 －2x＋y ＝－2×(－1)＋(－1) ＝3 ＝ 1，不等於 3 所以 x＝0，y＝3 是方程式－2x＋y＝3 的一組解。 所以 x＝－1，y＝－1 不是方程式－2x＋y＝3 的一組解。

1.判別下列各組 x、y 所代表的數，是否為方程式 －2x－3y＝8 的解。 搭配頁數 P.13 1.判別下列各組 x、y 所代表的數，是否為方程式 －2x－3y＝8 的解。 (1) x＝－1，y＝－2 (2) x＝1，y＝－4 (3) x＝－4，y＝0 (1) －2x－3y＝ －2×(－1)－3 ×(－2) 解 ＝2＋6 ＝8 是解 (2) －2x－3y＝ －2×(1)－3 ×(－4) ＝－2＋12 ＝10 ≠ 8 不是解 (3) －2x－3y＝ －2×(－4)－3 ×(0) ＝8＋0 ＝8 是解

2. x＝2、y＝－3 是下列哪些二元一次方程式的解？（複選） 搭配頁數 P.13 2. x＝2、y＝－3 是下列哪些二元一次方程式的解？（複選） (1) 3x＋4y＝－6 (2) －5x－6y＝－28 (3) －3x＋y＝－9 (1) 3x＋4y＝ 3×(2)＋4×(－3) 解 ＝6－12 ＝－6 是解 (2) －5x－6y＝ －5×(2)－6 ×(－3) ＝－10＋18 ＝8 ≠－28 不是解 (3) －3x＋y＝ －3×(2)＋(－3) ＝－6－3 ＝－9 是解

3.已知 x＝1、y＝a 是二元一次方程式 3x＋2y＝5 的解，則 a＝？ 搭配頁數 P.13 3.已知 x＝1、y＝a 是二元一次方程式 3x＋2y＝5 的解，則 a＝？ 解 3×1＋2×a＝5 2a＝2 a＝1

找出二元一次方程式 2x＋3y＝12 的任意四組解。 搭配頁數 P.14 找出二元一次方程式 2x＋3y＝12 的任意四組解。 假設 x 是一個特定的數,代入 2x＋3y＝12 求 y 解 (1)以x＝0代入2x＋3y＝12   得 2×0＋3y＝12 ⇒ 3y＝12 ⇒ y＝4 (2)以x＝1代入2x＋3y＝12   得 2×1＋3y＝12 ⇒ 3y＝10 (3)以x＝2代入2x＋3y＝12   得 2×2＋3y＝12 ⇒ 3y＝8 (4)以x＝3代入2x＋3y＝12 得 2×3＋3y＝12 ⇒ 3y＝6 ⇒ y＝2

在上述的解法中，也可以假設 y 是一個特定的數，代入方程式中求 x 的值。 搭配頁數 P.14 　在上述的解法中，也可以假設 y 是一個特定的數，代入方程式中求 x 的值。   y用0,2,4,6代入 2x與12皆為2倍數,所以y用2倍數代入比較好算

1.小星求二元一次方程式 2x－y＝8 的解，他選定四個 x 值與四個 y 值。完成下列兩個表格，使各組 x、y 的值是此方程式的解。 搭配頁數 P.15 1.小星求二元一次方程式 2x－y＝8 的解，他選定四個 x 值與四個 y 值。完成下列兩個表格，使各組 x、y 的值是此方程式的解。 解 －8 －6 －4 －2     4 5

2.在下列空格中填入適當的數，使 x、y 的值是二元一次方程式 3x－y＝12的解。 搭配頁數 P.15 2.在下列空格中填入適當的數，使 x、y 的值是二元一次方程式 3x－y＝12的解。 解   5 －3 5 6

搭配頁數 P.15 　當 x 繼續以 4、5、6、⋯⋯ 依序代入隨堂練習第 1 題的方程式時，y 的值都能由方程式求得。 　同理，當 y 繼續以 4、5、6、⋯⋯ 依序代入隨堂練習第 1 題的方程式時，也都能由方程式求得 x 的值。 　事實上，將 x 以任意數代入二元一次方程式時，都可以求得 y 值；將 y 以任意數代入二元一次方程式時，都可以求得 x 值。 　因此可知，一個二元一次方程式的解有無限多組。

搭配頁數 P.16 七年 5 班上課時進行分組教學，每組 6 人或 4 人，其中 6 人一組的有x 組，4 人一組的有 y 組。已知學生共有 30 人，寫出所有分組的方法。 依題意可列得方程式6x＋4y＝30，並化簡為 3x＋2y＝15。 解 因為x、y都代表組數，所以x與y為正整數或0。 因此方程式中，x 以 0、1、2、3、⋯⋯ 依序代入， 解得y後，再檢查y是否也符合正整數或0的條件，如下表。

搭配頁數 P.16 七年 5 班上課時進行分組教學，每組 6 人或 4 人，其中 6 人一組的有x 組，4 人一組的有 y 組。已知學生共有 30 人，寫出所有分組的方法。 解

搭配頁數 P.16 七年 5 班上課時進行分組教學，每組 6 人或 4 人，其中 6 人一組的有x 組，4 人一組的有 y 組。已知學生共有 30 人，寫出所有分組的方法。 解 由上表可知符合條件的解為： (1)x＝1 , y＝6 ,表示6 人的有 1 組 , 4 人的有 6 組 (2)x＝3 , y＝3 ,表示6 人的有 3 組 , 4 人的有 3 組 (3)x＝5 , y＝0 ,每組都是6 人 , 共有 5 組

小琳買兩種卡片共花了 75 元，其中有每張 10 元的卡片 x 張、15 元的卡片y 張。小琳可能買了幾張 10 元的卡片？（兩種都要買） 搭配頁數 P.16 小琳買兩種卡片共花了 75 元，其中有每張 10 元的卡片 x 張、15 元的卡片y 張。小琳可能買了幾張 10 元的卡片？（兩種都要買） 10x＋15y＝75，化簡得 2x＋3y＝15 解     3     x y     2 6 3 4   合 不合 合 不合 不合 不合 不合 由上表可知，小琳可能買了 3 張或 6 張 10 元的卡片。

由例題 9 與隨堂練習可知，一個二元一次方程式雖然有無限多組解，但是如果加上條件的限制，會影響該方程式的解。 搭配頁數 P.16 　由例題 9 與隨堂練習可知，一個二元一次方程式雖然有無限多組解，但是如果加上條件的限制，會影響該方程式的解。

只含有兩種代表數的文字符號，且這兩種文字符號的最高次方都是一次的式子，稱為二元一次式。 搭配頁數 P.17 只含有兩種代表數的文字符號，且這兩種文字符號的最高次方都是一次的式子，稱為二元一次式。 －2x＋y－5、x－3y 皆為二元一次式。

式子做加減運算時，必須是同類項才能合併。 搭配頁數 P.17 式子做加減運算時，必須是同類項才能合併。 x、3x 是同類項，2y、3y 是同類項， x、2y 不是同類項。 因此（x＋2y＋1）＋（3x＋3y＋5） 可以合併成 （ x＋3x）＋（2y＋3y）＋（1＋5） ＝4x＋5y＋6

只含有兩種未知數，且這兩種未知數的最高次方都是一次的等式，稱為二元一次方程式。 搭配頁數 P.17 只含有兩種未知數，且這兩種未知數的最高次方都是一次的等式，稱為二元一次方程式。 3x－7y＝5、8x＝3y 皆為二元一次方程式。

(2)一個二元一次方程式雖然有無限多組解，但是如果加上條件的限制，會影響該方程式的解。 搭配頁數 P.17 (1) 二元一次方程式中的未知數（例如：x 與 y），如果以一組特定的數代入，可使其等號左右兩邊的值相等，便稱該組 x、y 所代表的數為此方程式的一組解。 (2)一個二元一次方程式雖然有無限多組解，但是如果加上條件的限制，會影響該方程式的解。

小莉與家人聚餐，共點了每份 100 元的一號餐 x 份和每份 150 元的二號餐 y 份，則一共花了____________元 搭配頁數 P.18 1-1 1 小莉與家人聚餐，共點了每份 100 元的一號餐 x 份和每份 150 元的二號餐 y 份，則一共花了____________元 100x＋150y 解 一號餐 x 份，共 100x 元； 二號餐 y份，共 150y 元； 共花了 (100x＋150y)元。

小虹帶 400 元，到夜市買了每個 x 元的髮飾 3 個與每雙 2y 元的襪子 5雙，則小虹還剩下______________元。 搭配頁數 P.18 2 小虹帶 400 元，到夜市買了每個 x 元的髮飾 3 個與每雙 2y 元的襪子 5雙，則小虹還剩下______________元。 400－3x－10y x 元的髮飾 3 個，共 3x 元； 解 2y 元的襪子 5雙，共 10y 元； 帶 400 元，剩400－3x－10y元。

搭配頁數 P.18 3 在下表的空格中，填入各二元一次式的值。 解 x 1 3 y 二元一次式   7          

化簡下列各式： (1) －5x＋y－8－4y－3＋9x ＝－5x＋9x＋y－4y－8－3 ＝ 4x －3y －11 搭配頁數 P.18 4 化簡下列各式： (1) －5x＋y－8－4y－3＋9x ＝－5x＋9x＋y－4y－8－3 解 ＝ 4x －3y －11 (2) －（－x＋2y－4） ＝ x －2y ＋ 4 解

化簡下列各式： (3) 3(2x－y＋5)－2(4x＋y－1) 搭配頁數 P.19 4 化簡下列各式： (3) 3(2x－y＋5)－2(4x＋y－1) ＝6x－3y＋15 －8x－2y＋2 解 ＝6x－8x－3y－2y＋15＋2 ＝－2x －5y ＋17       解        

化簡下列各式： (5) 3x ＋ 5y －12 ＋ ） 2x － 7y － 6 5x －2y －18 搭配頁數 P.19 4 化簡下列各式： (5) 　　　3x ＋ 5y －12 　　＋ ） 2x － 7y － 6 　 解 5x －2y －18 (6) 　　　 5x －3y ＋ 8 　　 －） 9x －7y － 5 　 解 －4x ＋4y ＋13

下列哪幾組 x、y 所代表的數是方程式 3x－4y＝－2 的解？（複選） 搭配頁數 P.19 5 下列哪幾組 x、y 所代表的數是方程式 3x－4y＝－2 的解？（複選） 解   (1) 3×(－2)－4×(－2) ＝－6＋8 ＝2 ≠－2 ,不是解 (2) 3×(2.4)－4×(1.3) ＝7.2－5.2 ＝2 ≠－2 ,不是解   ＝0－2 ＝－2 ,是解   ＝－5＋3 ＝－2 ,是解

搭配頁數 P.19 6     解 3a－6＝1 3a＝7  

搭配頁數 P.19 7 已知協志買每枝 20 元的原子筆 x 枝和每枝 30 元的螢光筆 y 枝，兩種都有買，且一共花了 160 元。則： (1)依題意可列得二元一次方程式： __________________ 。 (2)協志可能買幾枝原子筆？ 解 20x＋30y＝160 (A) 作法僅供參考 (A)5 枝 (B)6 枝 (C)7枝 (D)8 枝 x y 檢查 6.5 不合 5 合 3.5 不合 2 合 0.5 不合 －1 不合 1 2 3 4 5 6

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