数字测图原理及方法 Principle and Methods of Digital Mapping 武汉大学测绘学院

第五章误差理论与数据处理 5.1 误差理论 5.2 误差传播定律及应用 5.3 权及权倒数传播定律 5.4 数据处理理论基础

5.1 误差理论

5.1 误差理论 前面几章讲述的数据采集，要用到各种仪器(经纬仪、水准仪、测距仪），要由人进行操作，要在某种环境中工作，这些因素都会使采集到的数据不准确，即数据中有误差。 例如：1）、距离测量误差 2）、角度测量误差 3）、高差测量误差

测量上一般要求: D往- D返/D<=1/K 1）距离测量误差 A B D往 D返 理论上： D往= D返 实测中： D往≠ D返 测量上一般要求: D往- D返/D<=1/K (K=2000,4000,…..), 测量成果才合格.

2）角度测量误差 A C B A B L1 理论上：∠L1+∠L2+∠L3+∠L4 =360 D L3 C A B C 理论上：∠A+∠B+∠C=180 实测中：A+∠B+∠C≠180

3）高差测量误差 理论上： h1+h2+h3+h4 =0 实测中：h1+h2+h3+h4 ≠ 0 理论上： hAB+hBA = 0 P1 h1 P2 h4 h2 h3 A P4 B P3

一、观测误差产生的原因 观测条件 二、观测误差的种类 ①系统误差 ②偶然误差 ③粗差 三、偶然误差的特性 四、衡量精度的指标

一、观测误差及其产生的原因 观测误差=观测值-真值 一般用符号△表示。即：△= L观– L理 =L-X 1、观测误差：指被观测值(或其函数)与未知量的真实值(或函数的理论值)间的差值。 观测误差=观测值-真值 一般用符号△表示。即：△= L观– L理 =L-X 真值：代表观测值L 真正大小的数值，用 X 表示。 真误差: 观测值L 与 真值X 之间的差值，用 △ 表示。 △ = L – X

一、观测误差及其产生的原因 △ =(hAB+hBA) –0 测量上真值如何得到: △ =(D往- D返) –0 △ =(A+B+C) –180 △ =(L1+L2+L3+L4) –360 △ =(hAB+hBA) –0 △ =(h1+h2 + h1+h2) –0

一、观测误差及其产生的原因 2、 产生的原因-----观测条件 仪器、人和环境，总称为观测条件。 （1）测量仪器： 仪器构造上无法达到理论上的要求；例如水准测量时,水准仪的视准轴不水平,会对水准测量结果影响等. （2）观 测 者： 人的感官上的局限性、操作技能、工作态度； 仪器的安置\瞄准\读数 （3）外界条件：观测时所处的外界环境，如风力、温度、日照、湿度、气压、大气折光等。 仪器、人和环境，总称为观测条件。

一、观测误差及其产生的原因 2、 产生的原因-----观测条件 观测成果的精确度称为“精度”。 如果使用的仪器是同一个精密等级，操作人员有相同的工作经验和技能，工作环境的自然条件（气温、风力、湿度等等）基本一致，则称为相同的观测条件。 在相同的观测条件下，由于测量时产生偶然误差的因素大体相同，因此测量所得结果的精度也是相等的，故称此时的测量为同精度观测或等精度观测。

二、误差的种类 测量误差根据其性质不同,可分为系统误差、偶然误差、粗差。 1.系统误差： 测量误差根据其性质不同,可分为系统误差、偶然误差、粗差。 1.系统误差： 在相同观测条件下，对某一观测量进行多次观测，若各观测误差在大小、符号上表现出系统性，或者具有一定的规律性，或为一常数，这种误差就称为系统误差。 例如：1）、钢尺量距，钢尺的名义长度为30m，而鉴定后的实 际长度为30.006m,测量时,每量一个整尺,就比实际 长度小0.006m,这种误差的大小与所量的直线长度 成正比, 而且正负号始终一致. 系统误差

二、误差的种类 即当直线距离超过一个尺段时，需进行直线定线. 测量误差根据其性质不同,可分为系统误差、偶然误差、粗差。 1.系统误差：在相同观测条件下，对某一观测量进行多次观测，若各观测误差在大小、符号上表现出系统性，或者具有一定的规律性，或为一常数，这种误差就称为系统误差。 例如：2）、定线误差: 传统的距离测量中,距离较长,需要进行分 段丈量. 必须进行直线定线. LAB-SAB>0 系统误差 即当直线距离超过一个尺段时，需进行直线定线. LAB

二、误差的种类 测量误差根据其性质不同,可分为系统误差、偶然误差、粗差。 1.系统误差：在相同观测条件下，对某一观测量进行多次观测，若各观测误差在大小、符号上表现出系统性，或者具有一定的规律性，或为一常数，这种误差就称为系统误差。 例如：3）、水准仪I角对测量高差的影响

水准仪I角对测量高差的影响---系统误差 a1 b1 视准轴 a i i b 水准管轴 B A SA SB SA=SB时，△hAB=0 总结:系统误差具有积累性,可以利用其规律性对观测值进行改正或者采用一定的测量方法加以抵消或消弱.

二、误差的种类 Δ N o 测量误差根据其性质不同,可分为系统误差、偶然误差、粗差。 2.偶然误差： 在相同观测条件下，对一观测量进行多次观测，若各观测误差在大小和符号上表现出偶然性，即单个误差而言，该误差的大小和符号没有规律性，但就大量的误差而言，具有一定的统计规律，这种误差就称为偶然误差。 例如： 1)、距离测量 Δ N o D 9.5 9.4 9.7 9.5 9.6 9.3 9.2 9.6 0.1 -0.2 0 -0.1 0.2 0.3 -0.1 1 2 3 4 5 6 7

例如: 2）、 读数 误差(水准测量) 1.5 1.6 1.7 1591 中丝读数： 1592 1593

总结: 偶然误差不可避免，通过多余观测，利用数理统计理论处理，可以求得参数的最佳估值. 例如: 3）、 照准误差 例如: 4）、 整平误差 总结: 偶然误差不可避免，通过多余观测，利用数理统计理论处理，可以求得参数的最佳估值.

二、误差的种类 总结：在测量工作中，一般需要进行多余观测，发现粗差，将其剔除或重测。 测量误差根据其性质不同,可分为系统误差、偶然误差、粗差。 3.粗差（错误）：由于观测条件的不好，使得观测值中含有的误差较大或超过了规定的数值，这种误差就称为粗差。 例如：已知点有误，往返高差相差悬殊。 总结：在测量工作中，一般需要进行多余观测，发现粗差，将其剔除或重测。 通常，测量中需要进行多余观测。应当剔除观测值中的粗差，利用系统误差的规律性将系统误差消除或减弱到可以忽略不计，使观测值主要含有偶然误差，从而利用数理统计方法求得观测值的最可靠值。

三、偶然误差的特性 其中 通过对大量的实验数据进行统计分析后，特别是当观测次数足够多时，可以得出偶然误差具有以下的规律性： 1、在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值----- 超限数为零；有限性 2、绝对值较小的偶然误差比绝对值大的出现的可能性要大 -----小误差大概率：集中性 3、绝对值相等的正负偶然误差出现的可能性相等 -----正负相等；对称性 4、当观测次数无穷增多时，偶然误差的 算术平均值为零 ----平均理论 。抵偿性 其中

【例】在相同的观测条件下，观测了217个三角形的全部内角。 Ａｉ 三角形内角和真误差:△ｉ＝ ∠Aｉ+∠Bｉ+∠Cｉ-180 i=1,2,3 …..217 Ｂｉ Ｃｉ

直方图 误差分布曲线 (vi/n) 每一误差区间上方的长方形面积，代表误差出现在该区间的相对个数 (vi/n)/3 △ △ - 27-24-21-18-15-12 -9 -6 -3 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 (vi/n)/3 误差分布曲线 △

横轴是曲线的渐近线，这就是偶然误差的第一、二特性 正态分布曲线的特性： 1、 是偶函数。 这就是偶然误差的第三特性。对称性 2、 愈小， 愈大。 有最大值 当△=0时 △ 横轴是曲线的渐近线，这就是偶然误差的第一、二特性 曲线有两个拐点，横坐标为： 当 愈大时，曲线愈平缓，误差分布比较分散 当 愈小时，曲线愈陡峭，误差分布比较集中

四、衡量精度的指标 精度指的是一组观测值误差分布的密集或分散的程度。 1、标准差和中误差 1）标准差 参数 的大小反映了一组观测值误差分布的密集和离散程度。 称为方差 称为标准差（方根差或均方根差）

四、衡量精度的指标 2）、中误差: 标准差的一个估值。 2）、中误差: 标准差的一个估值。 在相同观测条件下进行一组观测，得出的每个观测值都称为同精度的观测值。即每个观测值的真差不同，但中误 差是相同的。 例：2002级的某班的3个小组，在相同观测条件下进行四等水准测量。第1个小组测得闭合差为+2mm,第2个小组测得闭合差为-6mm,第三个小组测得闭合差为0。试判断哪一组观测精度高？ 精度相同

四、衡量精度的指标 中误差 小，精度高 大，精度低 观测条件 误差分布 观测值精度

四、衡量精度的指标 2、容许误差（限差） 即大于2倍中误差的真误差，出现的可能性为5% 即大于3倍中误差的真误差，出现的可能性为0.3% 通常取标准差的两倍（或三倍）作为观测值的容许误差。 实际中常用中误差代替标准差。即

四、衡量精度的指标 3、相对误差 通常是用来衡量和距离有关的观测量的精度的好坏。 相对中误差，相对真误差和相对极限误差。 例:测量两条直线，一条100m，另一条50m，其中误差均为10mm试问两条直线的观测精度相同吗？哪条直线的观测精度高？ 精度不相同 100m的直线的观测精度高

谢谢大家!