第6章 IIR数字滤波器的设计 全通系统 最小相位系统 模拟低通滤波器设计 脉冲响应不变法 双线性变换法 模拟域频率变换

全通滤波器的定义 定义：如果用Am(z)表示m 阶实系数全通滤波器的系统函数，则

一阶复系数全通滤波器 a)一阶全通滤波器的极点和零点 极点为： 零点为：

b)一阶全通滤波器的频率响应 故一阶全通滤波器的相位响应是单调递减的。

m阶实系数全通系统 a)m阶全通滤波器的极点和零点 如zk为一个极点， 则zk* 也是一个极点, 1/zk和1/zk*必为系统零点。 b)m阶全通滤波器的频率响应

m阶实系数全通系统可分解为m个一阶全通系统的积，由于一阶全通系统相位是递减的 2阶实系数全通滤波器的相位响应 (a)相位响应的主值 (b)解卷绕后的相位响应

最小相位系统 定义：零极点都在单位圆内的因果系统称为最小相位系统。记为Hmin(z)。 任一实系数因果稳定系统的H(z)都可表示为 设系统H(z)只有一个零点在z = 1/a*在单位圆外，|a|<1，那么H(z)就能表示成 H(z)=H1(z)(z-1 - a*) 按定义H1(z)是一个最小相位系统。H(z)也可等效的表示为 故 H(z) =Hmin(z) A1(z)

例 一实系数因果稳定系统的系统函数H(z)为 由于系统的零点为z = -1/b，故这不是一最小相位系统。 和H(z)具有相同幅度响应的最小相位系统为

a=0.9，b=0.4时H(z)和Hmin(z)的相位响应 最大相位系统(maximum-phase system): 一个稳定的的因果系统，零点全在单位圆外

有理系统函数的稳定性 设有理系统函数H(z)的分母多项式为 构造全通滤波器Am(z) 由H(z)稳定的充要条件

例 已知2阶IIR系统的分母多项式为 试确定系统稳定的条件。 解：由定义知 k2=d2 所以系统稳定的条件为

IIR滤波器设计的基本思想 将数字滤波器的设计为模拟滤波器的设计。 设计满足技术指标的模拟滤波器。 将模拟滤波器转换为数字滤波器。

模拟低通滤波器的设计 模拟滤波器的技术要求 Butterworth模拟低通滤波器 切比雪夫II型模拟低通滤波器 椭圆低通滤波器

G(w)=20log10|H(jw)| dB 滤波器的Gain函数 模拟滤波器的技术要求 |H( jw)| 1 通带 过渡带 阻带 p w s d - p w : 通带截止频率 ws: 阻带截止频率 d p: 通带波动 d s: 阻带波动 通带衰减(db)(passband Attenuation) 阻带衰减(db )(stopband Attenuation) G(w)=20log10|H(jw)| dB 滤波器的Gain函数

wc: 3db 截频, 当wc =1时，称其为 归一化的BWF 巴特沃斯低通滤波器 wc 1 N=1 N=3 N= 5 0.707 N: 滤波器阶数 性质： 1)|H( j 0)|=1, |H(j¥)|=0, -20log10|H( jwc)|3db wc: 3db 截频, 当wc =1时，称其为 归一化的BWF 2)幅度响应单调下降(monotonically decreasing)

3) |H(jw)|2在w=0点1到2N-1阶导数零。称为最大平坦性。 (maximally flat magnitude filter) 在w=0点做 Taylor series展开 归一化的Butterworth滤波器(BWF) 任意的BWF和归一化BWF的关系

归一化Butterworth滤波器的极点 条件：h(t)是实的 H( jw ) =H*(- jw ) 极点： 共有2N个极点，为了保证系统的稳定，选左半平面的N个极点。

为左半平面的N个极点

当N为偶数时 例：N=2, =p/4 ; k=1 =p / 8, 3 p / 8; k=1 ,2 例：N=4,

当N为奇数时 例：N=1 N=3

例：设计一个满足下列指标BW型模拟滤波器 p 1 . = w ， 4 s dB A 10 取N=2，将N=2带入通带满足的方程

验证： Ap=0.9999db ; As= 18.2795 db 通带满足指标，阻带超过指标

模拟Butterworth低通滤波器设计步骤: (1)由滤波器的设计指标wp、ws、Ap、As和式确定滤波器的阶数N (2) 确定wc (3)确定滤波器的系统函数H(s)

Type I Chebyshev Lowpass filter(CB I 型) j H 1 c N=2 N=3 N=7 e : 通带波纹 c w ：通带截频 N ：阶数 ( 由阻带指标确定 )

w ³ ) ( j H 1 ) ( e w + = j H 1 ) ( e + = j H 1 ) ( = j H w £ ( j H e c N=2 N=3 N=7 CB I 型 filter的性质 1 ) 在 c w £ 时， 2 ( j H 和 e + 间振荡 (equiripple filter) 2) c w ³ 时， 2 ) ( j H 单调下降 （ N 增大，下降加速） 3) 2 1 ) ( e w + = c j H 控制了通带衰减 N 为偶时 2 1 ) ( e + = j H N 为奇时 1 ) ( 2 = j H

CB I 型 AF 设计步骤 1) 通带截频确定 p c w = 2)通带指标确定e 3)阻带指标确定N

切比雪夫II型模拟低通滤波器

椭圆低通滤波器 MATLAB设计椭圆滤波器函： [N,Wc]=ellipord(Wp,Ws,Ap,As,'s') 确定椭圆滤波器的阶数N。Wc=Wp。 [num,den]=ellip(N,Ap,As,Wc,'s') 确定阶数为N，通带参衰减为Ap dB，阻带衰减为As dB的椭圆滤波器的分子和分母多项式。Wc是椭圆滤波器的通带截频。

脉冲响应不变法(Impulse Invariance) 基本原理 脉冲响应不变法设计DF的步骤 H(z)的确定

基本原理 H(ejW)和H(jw)的关系： 无混叠时： 数字滤波器在W点的频响特性和模拟滤波器w = W/ T频响特性只差一个常数因子

例: 设H (s)是一个3dB截频为wc的一阶低通滤波器， 1)用脉冲响应不变法求出H(z) 2)如果用下图所示系统取代H (s)，比较两系统的幅度响应。

1 Heff 0.8 Ha 0.6 0.4 0.2 5 10 15 20 25 Hz fs=50 Hz 20 40 60 80 100 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Hz Heff Ha fs=200 Hz

脉冲响应不变法设计DF的步骤 1. 将数字滤波器的频率指标{Wk}转换为 模拟滤波器的频率指标{wk} T / W = w 2. 设计模拟滤波器的H(s)。 3. 由h[k]=T h(t)|t=kT从而得出H(z)。

H(z)的确定 H(z)的ROC 稳定AF 稳定DF

T / W = w 优点： 缺点：混叠

例: 用脉冲响应不变法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计一个3dB截频为Wp的数字滤波器。 解：设脉冲响应不变法中的取样间隔为T 1)确定模拟滤波器指标 模拟滤波器的3dB截频为 2)设计模拟滤波器 3dB截频为wp的一阶巴特沃思低通滤波器为 3) 将模拟滤波器转换为数字滤波器

结论： 1)抽样间隔T的取值和最终的设计结果无关。 2)由于 所以在用脉冲响应不变法设计出数字滤波器后应该将其频率响应归一化。

Wp=0.2p时幅度归一化和非归一化DF的幅度响应 3 -3 Gain, dB -6 -9 0.2 p p p 0.4 p 0.6 p 0.8 W Wp=0.2p时幅度归一化和非归一化DF的幅度响应

例：利用AF-BW filter及脉冲响应不变法设计一DF，满足 Wp=0.1p, Ws=0.4p, Ap=1dB, As=10dB

N=2，Ap= 0.9296 dB, As= 17.1220 dB -10 Gain,db -20 -30 0.2 0.4 0.6 0.8 -10 Gain,db -20 -30 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Normalized frequency N=2，Ap= 0.9296 dB, As= 17.1220 dB

例:用脉冲响应不变法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计的3dB截频为Wp的数字滤波器为 Wp1=0.2*pi;Wp2=0.6*pi; b1=[1-exp(-Wp1)];a1=[1 -exp(-Wp1)]; b2=[1-exp(-Wp2)];a2=[1 -exp(-Wp2)]; w=linspace(0,pi,512); h1=freqz(b1,a1,w); h2=freqz(b2,a2,w); plot(w/pi,20*log10(abs(h1)),w/pi,20*log10(abs(h2)) ); xlabel('Normalized frequency'); ylabel('Gain,db'); grid;

Wp=0.6p Wp=0.2p 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -9 -6 -3 Normalized frequency 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -9 -6 -3 Normalized frequency Gain,db Wp=0.6p Wp=0.2p

双线性变换法 基本思想: 利用数值积分将模拟系统变换为数字系统。 设模拟系统的微分方程为 用梯形面积近似计算等式右边的积分得

所以近似描述离散系统的差分方程为 离散系统的系统函数为： 和模拟系统的系统函数比较可得

结论： 因果、稳定的AF系统映射为因果、稳定的DF系统 稳定性 |z|<1 左半平面映射到单位元内。稳定AF系统映射为稳定DF系统。 1)s<0, |z|=1 2)s=0, 虚轴映射到单位圆上 3)s>0, |z|>1 右半平面映射到单位圆外 结论： 因果、稳定的AF系统映射为因果、稳定的DF系统

W和w 的关系 令s=jw

) 2 / tan( W = T w p ( j e H s 优点：无混叠 缺点：幅度响应不是常数时会产生幅度失真

双线性法设计DF的步骤： 1)将数字滤波器的频率指标{Wk}由wk=(2/T)tan(Wk/2) 转换为模拟滤波器的频率指标{wk} 2) 由模拟滤波器的指标设计H (s) 3) H (s)转换为H(z)

例：用一阶模拟巴特沃思低通滤波器和双线性变换法，设计一个3dB截止频率为Wp的数字低通滤波器。 解：设双线性变换中的参数为T 1)模拟低通滤波器的3dB截率为 2)3dB截率为wp的一阶模拟BW LP 滤波器为 3)由双线性变换得

1 0.7 Amplitude 0.6 1 Normalized frequency

例：用1阶模拟巴特沃思低通滤波器和双线性变换法，设计一个3dB截止频率为Wp的数字高通滤波器 解：取T=2，则AF HP的3dB截频为 AF LP 的3dB截频为 满足条件的LP AF为 满足条件的HP AF为

例 用一阶模拟巴特沃思低通滤波器和双线性变换法，设计一个中心频率为W0，3dB带宽为DW的数字带阻滤波器。 解：取T=2。设数字带阻的3dB截频分别为W1和W2，且W2>W1。 1)模拟带阻滤波器的频率指标为 2)频率变换的参数为 3)模拟带阻滤波器为

4)由双线性变换可得满足条件的数字带阻滤波器为

Wp=0.1p; Ws=0.4p ; Ap=1dB; As=10 dB; 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 -40 -30 -20 -10 Normalized frequency Wp=0.1p; Ws=0.4p ; Ap=1dB; As=10 dB;

例 用双线性变换及模拟巴特沃思滤波器设计一个满足下列条件的带通数字滤波器。 W0=0.5p ; Wp2=0.55p ，Wp1=0.45p ，Ap=3dB Ws2=0.6p ， Ws1=0.4p ， As=10dB 解：取双线性变换的参数T=2 1)由w=tan(W/2)获得模拟带通滤波器的频率指标。 wp2 =1.1708, wp1 =0.8541, ws2 =1.3764, ws1 =0.7265 2) 确定变换式中的参数 B = wp2- wp1 =0.3168 w0 =sqrt(wp2 wp1)=1;

4)确定归一化BW低通滤波器 由 N=buttord(1,ws,Ap,As,'s')； 得 N=2 5)由变换获得模拟带通滤波器 6)由双线性变换获得数字带通滤波器 [b,a]=bilinear(bBP,aBP,0.5)