7.3 参数的区间估计 一、区间估计基本概念 二、正态总体均值与方差的区间估计 三、小结
引言 前面，我们讨论了参数点估计. 它是用样本算得的一个值去估计未知参数. 但是，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大. 区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷 .
一、区间估计基本概念 1. 置信区间的定义
关于定义的说明
例如
由定义可见， 对参数 作区间估计，就是要设法找出两个只依赖于样本的界限(构造统计量) 一旦有了样本，就把 估计在区间 内. 这里有两个要求:
1. 要求 以很大的可能被包含在区间 内，就是说，概率 要尽可能大. 即要求估计尽量可靠. 2. 估计的精度要尽可能的高. 如要求区间 长度 尽可能短，或能体现该要求的其它准则. 可靠度与精度是一对矛盾， 一般是在保证可靠度的条件下 尽可能提高精度.
2. 求置信区间的一般步骤(共3步)
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二、正态总体均值与方差的区间估计 I 单个总体 的情况 1.
推导过程如下:
这样的置信区间常写成 其置信区间的长度为
包糖机某日开工包了12包糖,称得重量(单位:克)分别为506,500,495,488,504,486,505, 例1 513,521,520,512,485. 假设重量服从正态分布, 解 附表2-1
查表得 附表2-2
推导过程如下:
有一大批糖果,现从中随机地取16袋, 称得重量(克)如下: 例2 设袋装糖果的重量服从正态分布, 试求总体均值 解 附表3-1
就是说估计袋装糖果重量的均值在500.4克与507.1克之间, 这个估计的可信程度为95%. 这个误差的可信度为95%.
(续例1)如果只假设糖包的重量服从正态分布 例3 (续例1)如果只假设糖包的重量服从正态分布 解 附表3-2
例4 解
II. 推导过程如下: 根据
进一步可得: 注意: 在密度函数不对称时, 习惯上仍取对称的分位点来确定置信区间(如图).
(续例2) 求例2中总体标准差 的置信度为0.95的置信区间. 例5 (续例2) 求例2中总体标准差 的置信度为0.95的置信区间. 例5 解 附表4-1 附表4-2 代入公式得标准差的置信区间
2、两个总体 的情况 讨论两个总体均值差和方差比的估计问题.
I. 推导过程如下:
例6机床厂某日从两台机床加工的零件中,分别抽取若干个样品,测得零件尺寸分别如下(单位:cm): 第一台机器 6.2, 5.7, 6.5, 6.0, 6.3, 5.8 5.7, 6.0, 6.0, 5.8, 6.0 第二台机器 5.6, 5.9, 5.6, 5.7, 5.8 6.0, 5.5, 5.7, 5.5 假设两台机器加工的零件尺寸均服从正态分布,且 方差相等,试求两机床加工的零件平均尺寸之差的 区间估计
解 用 表示第一台机床加工的零件尺寸, 用 表示第二台机床加工的零件尺寸, 由题设
经计算，得
置信下限 置信上限 故所求 的置信度为95%的置信区间为 [0.0912,0.5088].
II. 推导过程如下:
根据F分布的定义, 知
研究由机器A和机器B生产的钢管内径, 随 机抽取机器A生产的管子18只, 测得样本方差为 均未知, 求方差比 区间. 设两样本相互独 抽取机器B生产的管子13只,测 得样本方差为 立,且设由机器A和机器B生产的钢管内径分别服 从正态分布 例7 信 解
例8 甲、乙两台机床加工同一种零件, 在机床甲 加工的零件中抽取9个样品, 在机床乙加工的零件 信区间. 假定测量值都服从正态分布, 方差分别为 在置信度 由所给数据算得 0.98下, 试求这两台机床加工精度之比 中抽取6个样品,并分别测得它们的长度(单位:mm), 的置 解
三、小结 点估计不能反映估计的精度, 故而本节引入了区间估计. 求置信区间的一般步骤(分三步).
正态总体均值与方差的区间估计
但n充分大时近似置信区间