专题二　分类讨论题

命题预测 方法指导 因题目已知条件存在一些不确定因素,解答无法用统一的方法或者结论不能给以统一表述的数学问题,我们往往将问题划分为若干类,或若干个局部问题来解决.2017年安徽中考中,将近10年的结论判断正误题被分类讨论题所代替,这给我们传递了一个信号,安徽中考压轴填空题将改变题型.分类讨论题难度大,同学们容易漏掉解,出题角度多,可以很好地考查同学们思维的条理性、缜密性、科学性.2018年中考压轴填空题设置为分类讨论题可能性非常大.

2.引起分类讨论的七种基本形态.并非所有的数学问题都需要进行分类讨论,但若涉及以下七种情况,常常需要进行分类讨论使问题简单化. 命题预测 方法指导 1.对问题进行分类讨论时,必须按同一标准分类,且做到不重不漏.解题中,分类讨论一般分为四步:第一,确定讨论的对象以及讨论对象的取值范围;第二,正确选择分类标准,合理分类;第三,逐类、逐段分类讨论;第四,归纳并做出结论. 2.引起分类讨论的七种基本形态.并非所有的数学问题都需要进行分类讨论,但若涉及以下七种情况,常常需要进行分类讨论使问题简单化. (1)概念分段定义.像绝对值这样分段定义的概念,在中学数学中还有直线的斜率等,当这些概念出现时,一般要进行分类讨论. (2)公式分段表达.在解决数学问题时,常常要用到数学公式,若该公式是分段表达的,那么在应用到这些公式时,需分类讨论.

(5)图形的形状不同.当图形的形状不确定时,要对各种可能出现的形状进行分析讨论. 命题预测 方法指导 (3)实施某些运算引起分类讨论.在解决数学问题时,不论是化简、求值还是论证,常常要进行运算,若在不同条件下实施这些运算时会得到不同结果时,会引起分类讨论. (4)图形位置不确定.如果图形的位置不确定,常常会引起分类讨论,因此,如果图形可能处于不同位置并且影响问题的结果时,首先要有分类讨论的意识,其次要全面考察,分析各种可能的位置关系,然后合理分类讨论,防止漏解. (5)图形的形状不同.当图形的形状不确定时,要对各种可能出现的形状进行分析讨论. (6)字母系数参与引起分类讨论.字母系数的出现,常常会使问题出现多种不同的情况,从而影响问题结果,因此引起分类讨论. (7)条件不唯一引起分类讨论.由于条件不唯一,可能引起方程类型不确定,曲线种类不确定,位置关系不确定,形状不确定等出现,需要对不同情况合理分类,正确讨论.

类型一 类型二 类型三

类型一 类型二 类型三 类型一　图形形状不同引起的分类讨论 例1(2017·安徽,14)在三角形纸片ABC中,∠A=90°,∠C=30°,AC=30 cm,将该纸片沿过点B的直线折叠,使点A落在斜边BC上的一点E处,折痕记为BD(如图1),减去△CDE后得到双层△BDE(如图2),再沿着过△BDE某顶点的直线将双层三角形剪开,使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形,则所得平行四边形的周长为　　　　　 cm. 

如图2,平行四边形的边是DE,EG,且DE=AG=10 cm, ∴平行四边形的周长=40 cm,综上所述: 类型一 类型二 类型三 解析:∵∠A=90°,∠C=30°,AC=30 cm, ∴AB=10 cm,∠ABC=60°, ∵△ADB≌△EDB, 如图2,平行四边形的边是DE,EG,且DE=AG=10 cm, ∴平行四边形的周长=40 cm,综上所述:

类型一 类型二 类型三 类型二　图形不确定引起的分类讨论 例2(2012·安徽,10)在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点,分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形,剩下的部分是如图所示的直角梯形,其中三边长分别为2,4,3,则原直角三角形纸片的边长是 (　　) A.10

类型一 类型二 类型三 答案:C

例3(2015·安徽,14)已知实数a,b,c满足a+b=ab=c,有下列结论: 类型一 类型二 类型三 类型三　运算引起的分类讨论 例3(2015·安徽,14)已知实数a,b,c满足a+b=ab=c,有下列结论: ②若a=3,则b+c=9; ③若a-b=c,则abc=0; ④若a,b,c中只有两个数相等,则a+b+c=8. 其中正确的是　　　　　.(把所有正确结论的序号都选上) 

类型一 类型二 类型三 求得a=c且b=0,所以abc=0,③正确;由a,b,c只有两个数相等,分三种情况:(1)a=b≠c,因为a+b=ab,得a=0或a=2,所以b=0或b=2,所以c=0或c=4,其中a=0,b=0,c=0舍去,所以a+b+c=8;(2)a=c≠b,由a+b=c,得b=0,所以c=ab=0,a=0,不合题意舍去;(3)b=c≠a,同(2)求得a=0,b=0,c=0舍去.综上所述,若a,b,c中只有两个数相等,则a+b+c=8.④正确. 答案:①③④

1 2 3 4 5 6 7 1.(2017·山东潍坊)定义[x]表示不超过实数x的最大整数,如[1.8]=1,[-1.4]=-2,[-3]=-3.函数[x]的图象如图所示,则方程[x]= x2的解为(　A　)

1 2 3 4 5 6 7 解析: 由函数图象可知,当-2≤x<-1时,y=-2,即有[x]=-2,此时方程无解;当-1≤x<0时,y=-1,即有[x]=-1,此时方程无解;当0≤x<1时,y=0,

1 2 3 4 5 6 7 2.(2017·山东莱芜)对于实数a,b,定义符号min{a,b},其意义为:当a≥b时,min{a,b}=b;当a<b时,min{a,b}=a.例如min{2,-1}=-1.若关于x的函数y=min{2x-1,-x+3},则该函数的最大值为(　D　)

1 2 3 4 5 6 7 3.(2017·黑龙江齐齐哈尔)如图,在等腰三角形纸片ABC中,AB=AC=10,BC=12,沿底边BC上的高AD剪成两个三角形,用这两个三角形拼成平行四边形,则这个平行四边形较长的对角线的长是10或 . 

解析: ∵AB=AC=10,BC=12,底边BC上的高是AD, ∴∠ADB=∠ADC=90°, 3 4 5 6 7 解析: ∵AB=AC=10,BC=12,底边BC上的高是AD, ∴∠ADB=∠ADC=90°, ∴用这两个三角形拼成平行四边形,可以分三种情况: (1)按照如图所示的方法拼成平行四边形, 则这个平行四边形较长的对角线的长是10.

1 2 3 4 5 6 7 (2)按照如图所示的方法拼成平行四边形,

1 2 3 4 5 6 7 (3)按照如图所示的方法拼成平行四边形,

解析: 分类讨论单调性,可知图形过点(-1,-1)和(1,1)或者图象过点(-1,1)和(1,-1),故得y=x或y=-x. 2 3 4 5 6 7 4.(2017·青海西宁)若点A(m,n)在直线y=kx(k≠0)上,当-1≤m≤1时,-1≤n≤1,则这条直线的函数解析式为y=x或y=-x　.  解析: 分类讨论单调性,可知图形过点(-1,-1)和(1,1)或者图象过点(-1,1)和(1,-1),故得y=x或y=-x.

1 2 3 4 5 6 7 5.(2017·黑龙江绥化)在等腰△ABC中,AD⊥BC交直线BC于点D,若AD= BC,则△ABC的顶角的度数为30°或90°或150°　.  解析: 如图应分下列三种可能情况求顶角:(1)若A是顶点,如图1,AD= BC,则AD=BD,则底角为45°,则顶角为90°;(2)若A不是顶点,若三角形是锐角三角形,如图2,则在三角形ACD中,AD= AC,所以顶角为30°;若三角形是钝角三角形,如图3,则∠ACD=30°,所以顶角为150°,故填30°或90°或150°.

∵四边形ABCD是菱形,且周长为8,∠ABC+∠ADC=90°, ∴AB=BC=2,∠ABC=∠ADC=45°. 1 2 3 4 5 6 7 6.(2017·黑龙江牡丹江)菱形ABCD的周长为8,∠ABC+∠ADC=90°,以AB为腰,在菱形外作底角是45°的等腰△ABE,连接AC,CE,请画出图形,并直接写出△ACE的面积. 解: 共有2种情况,如图所示: 如图1,过A作AM⊥BC于M. ∵四边形ABCD是菱形,且周长为8,∠ABC+∠ADC=90°, ∴AB=BC=2,∠ABC=∠ADC=45°.

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1 2 3 4 5 6 7 7.(2017·山东烟台)如图1,抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,AB=4.矩形OBDC的边CD=1,延长DC交抛物线于点E. (1)求抛物线的解析式; (2)如图2,点P是直线EO上方抛物线上的一个动点,过点P作y轴的平行线交直线EO于点G,作PH⊥EO,垂足为H.设PH的长为l,点P的横坐标为m,求l与m的函数关系式(不必写出m的取值范围),并求出l的最大值; (3)如果点N是抛物线对称轴上的一点,抛物线上是否存在点M,使得以M,A,C,N为顶点的四边形是平行四边形? 若存在,直接写出所有满足条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.

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设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x-1). 2 3 4 5 6 7 解: (1)将x=0代入抛物线的解析式,得y=2. ∴C(0,2). ∵四边形OBDC为矩形, ∴OB=CD=1. ∴B(1,0). 又∵AB=4,∴A(-3,0). 设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x-1).

设OE的解析式为y=kx,将点E的坐标代入,得-2k=2,解得k=-1. ∴直线OE的解析式为y=-x. 3 4 5 6 7 (2)∵点E在CD上,∴yE=2. ∴E(-2,2). ∴EC=OC=2. ∴∠COE=45°. ∵PG∥y轴, ∴∠PGH=∠COE=45°. 又∵PH⊥OE, 设OE的解析式为y=kx,将点E的坐标代入,得-2k=2,解得k=-1. ∴直线OE的解析式为y=-x.

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1 2 3 4 5 6 7 ③当AN为平行四边形的对角线时,