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有效数字 不确定度的评定 作图 最小二乘法

操作与记录中要注意数据的有效数字 如何读数？ 数字电流表测量 某一电路中的电流 左端读数为：10.00cm 右端读数为：15.25cm 估读、有效数字、单位 对于数字仪表该如何读数？ 3

有效数字 运算规则 有效数字----从第一个不为0的数开始算起的所有数字。 加减法：与不确定度最大项的末位有效数字对齐 如, 0.35 (2个); 3.54 (3个); 0.003540 (4个); 3.5400 (5个)。 加减法：与不确定度最大项的末位有效数字对齐 57.31＋0.0156－2.24342（=55.08218）=55.08 乘除法：与最少个数的有效数字相同 57.31×0.0156÷2.24342（=0.398514767）=0.399 运算规则 4

有效数字 有效数字修约规则： 如：计算值为3.54835; 3.65325 若不确定度为0.0003, 则取x=3.5484; 3.6532 “4舍6入5成双” 小于5舍 大于5入 刚好是5时，若前一位为奇数则入，为偶数则舍。 如：计算值为3.54835; 3.65325 若不确定度为0.0003, 则取x=3.5484; 3.6532 若不确定度为0.002, 则取x=3.548； 3.653 若不确定度为0.04, 则取x=3.55; 3.65 若不确定度为0.1, 则取x=3.5; 3.7 “4”代表小于5 “6”代表大于5 5

为什么使用修约规则？ 1. 选取修约规则的原则 – 对大量数据进行修约后，误差能达到相互抵消，而不导致互相迭加而积累； 2. 修约规则“4舍6入5成双”合理假设最后第二位奇偶几率各半。这样舍去或增加最后第二位的0.5的几率一样。 6 6

Rounding method 修约规则很重要 -- very significant effect on the result. Where many calculations are done in sequence, the choice of rounding method can have a very significant effect on the result. A famous instance involved a new index set up by the Vancouver Stock Exchange in 1982. It was initially set at 1000.000 (three decimal places of accuracy), and after 22 months had fallen to about 520 — whereas stock prices had generally increased in the period. The problem was caused by the index being recalculated thousands of times daily, and always being rounded down to 3 decimal places, in such a way that the rounding errors accumulated. Recalculating with better rounding gave an index value of 1098.892 at the end of the same period.[1] ^ Nicholas J. Higham (2002). Accuracy and stability of numerical algorithms. p. 54. ISBN 978-0-89871-521-7 讨论：为什么使用“4舍6入，遇5末偶”的修约规则？ （1. 选取修约规则的原则 – 对大量数据进行修约后，误差能达到相互抵消，而不导致互相迭加而积累； 2.本规则假设最后第二位奇偶几率各半，这样一半几率舍去最后第二位的0.5，一半几率增加最后第二位的0.5）。 Rounding method 修约规则很重要 -- very significant effect on the result. - A famous instance: a new index the Vancouver Stock Exchange in 1982. Initially -- 1000.000; after 22 mo. ~ 520 (but stock prices had generally increased) - Problem? rounded down 1000s times daily rounding errors accumulated. - Recalculating -- with better rounding  1098.892 Nicholas J. Higham (2002). Accuracy and stability of numerical algorithms. p. 54. ISBN 978-0-89871-521-7, 转引自 Wikipedia: Rounding 7

不确定度的评定 不确定度评定的意义 --- 过大？过小？ 不确定度的分类 --- A类不确定度、B1和B2类不确定度 不确定度的合成 --- 单次测量、多次测量 不确定度的传递 --- 加减、乘除、乘方 不确定度本身一般只取一位有效数字 ---当修约前首位数字是1时，不确定度应保留两位有效数字；运算过程中，一般要取两位或者更多。 测量值的末位有效数字应与不确定度的有效数字对齐 --- 即：测量值的末位有效数字是不确定的。

不确定度的分类 A类不确定度(多次测量) B 类不确定度 a为仪器的不确定度限值 uB1=d/10（最好） （单次测量） uB1=d/5 （中等） uB1=d/2 （较差） B 类不确定度 uB1=d （特殊情况，比如数字显示） B2 类不确定度 （仪器不确定度） a为仪器的不确定度限值 C称为“置信因子”，在基础物理实验课程中大多取 9

正确度、精密度与准确度 uA大 uB2大 真值 正确度高 精密度高 准确度高! 随机误差大 不必请同学讨论误差和不确定度的概念、异同（因为他们头脑中没有误差的概念） 清华pp.7-14：why”误差一般是不能计算的，它可正、可负也可能十分接近零；而不确定度总是不为零的正值，是可以具体评定的。”; -- 所以也不必讨论 系统误差大 uB2大 2019/11/10 下载于百度文库：不确定度.ppt 10 10

不确定度的合成 单次测量： 在长度测量中，长度值是两个位置读数x1和x2之差， 其不确定度合成公式为： 多次测量：

不确定度的传递 一般传递公式，当各直接测量的量相互独立无关时： 加减： 几个常用的传递公式 乘除： 乘方：

不确定度的表达 1、测量结果不确定度的一般表示法： 如：长度为（1.05±0.02）cm。 2、不确定度的百分比表示法： 不是“测量结果的百分比表示法” 而是“不确定度”的“百分比表示法” 13 13

一个简单的例子 测量一个圆柱体的密度 分析待测量 间接测量量 转化为3个直接测量量M、D、h

一个简单的例子 质量的测量：选用最小指示值为0.01g、不确定度限值为0.02g的电子天平， 测得：M=80.36g 高度的测量：选用分度值为0.1cm、不确定度限值为0.01cm的钢尺，估读1/5分度， 测得左端读数：H1＝4.00cm 测得右端读数：H2＝19.32cm

一个简单的例子 直径的测量：选用分度值为0.002cm、不确定度限值为0.002cm的游标卡尺， 测得数据如下：

一个简单的例子 数据处理： 质量的测量：选用最小指示值为0.01g、不确定度限值为0.02g的电子天平，测得：M=80.36g 多保留一位有效数字

一个简单的例子 数据处理： 高度的测量：选用分度值为0.1cm、不确定度限值为0.01cm的钢尺，估读1/5分度，测得左端读数：H1＝4.00cm，测得右端读数：H2＝19.32cm； 多保留一位有效数字

一个简单的例子 数据处理： 直径的测量：选用分度值为0.002cm、不确定度限值为0.002cm的游标卡尺， 测得数据如下： 计算过程中 多保留一位有效数字

一个简单的例子 数据处理：

作图 为什么要作图？ 作图规则？ 如何读图？ 作图纸请到教育超市或者相辉堂内的仓库自行购 买，本课程用量不会超过10张。

为什么要作图 清晰地看到定性关系 方便地比较不同特性 合理地从图上得到有用的信息 螺线管中心轴线上 的磁场分布 二极管伏安特性 电阻随温度的变化关系

作图规则 P.17 选择图纸（采用标准坐标纸） 根据自变量－因变量选择图纸方向（一般取自变量为横坐标），选择合适比例，图纸上1格所表示的数据量值符合原数据量值变化的1、2、5等数（或它们的十进倍率）,便于读取。 画坐标轴、分度线（等间距、勿太密）并标明物理量名称斜体）及单位（正体）。 画数据点（不标数据值， 要用端正的“+”或者 “⊙”符号来表示）。 画直线或曲线，标明特 殊点(特殊点所用符号应 有别于数据点的符号） 及坐标值（计算斜率用 的点，曲线的峰、谷 等）。 写出实验名称、图名、 实验者、实验日期。 23

如何读图 取点、标出坐标值、计算斜率（单位） 读某个数据点时－有效数字 读单一坐标值时－有效数字、单位 通过作直线求斜率时 取点三个规则：不能取原始数据点； 尽量远但不超数据范围； 取与X轴刻度线的交点。 24

例：如何读图

例：关于作图 在伏安法测电阻的实验中，同学根据测得的数据如下： 如何找到一条最佳的拟合直线？ 这幅图中存在什么问题呢？

最小二乘法 最小二乘法认为：假设各xi的值是准确的，所有的不确定度都只联系着yi，若最佳拟合的直线为： ，则所测各 值与拟合直线上相应的各估计值 　　 之间的偏差的平方和最小，即，直线方程中：

最小二乘法 解方程得： 相关系数： 如果y和x的相关性好，可以粗略考虑b的有效位数的最后一位与y的有效数字最后一位对齐，k的有效数字与yn-y1和xn-x1中有效位数较少的相同。

最小二乘法直线拟合的不确定度估算：以 为例 最小二乘法直线拟合的不确定度估算：以 为例 在假设只有yi 存在随机误差的条件下（且y的仪器不确定度远小于其A类不确定度），则k 和b的不确定度分别为： 式中，Sy是测量值yi的标准偏差，即：

最小二乘法应用举例 巳知某铜棒的电阻与温度关系为： 。实验测得7组数据（见表1）如下：试用最小二乘法求出参量R0、 以及它们的不确定度。 表 1 t / ℃ 19.10 25.10 30.10 36.00 40.00 45.10 50.10 Rt /  76.30 77.80 79.75 80.80 82.35 83.90 85.10 分析：此例中只有两个待定的参量R0和，为得到它们的最佳系数，所需要的数据有n、 、 、 、 和 六个累加数，为此在没有常用的科学型计算器时，通过列表计算的方式来进行，这对提高计算速度将会有极大的帮助(参见表2)，并使工作有条理与不易出错。

最小二乘法应用举例 /2 表2：

最小二乘法应用举例 根据表2中所求得的数据，代入公式可得 ： 说明：电阻Rt与温度t的线性关系良好，所以取R0的有效数字与R对齐，即：R0＝70.76；又因为t7－t1 = 31.00℃，R7－R1 = 8.80，取k有效数字为以上两个差值中较少的位数3位，则k = 0.288/C。 由此可以得到电阻与温度的相关关系为：

最小二乘法应用举例 /2 表2：

最小二乘法应用举例 根据表2中所求得的数据，代入公式可得 ： 说明：电阻Rt与温度t的线性关系良好，所以取R0的有效数字与R对齐，即：R0＝70.76；又因为t7－t1 = 31.00℃，R7－R1 = 8.80，取k有效数字为以上两个差值中较少的位数3位，则k = 0.288/C。 由此可以得到电阻与温度的相关关系为：

最小二乘法应用举例 计算k 和b的不确定度，由公式计算，可得： 故： 则：

用origin来拟合数据 注意：不能代替实验步骤中要求用作图纸作图部分！ R/Ω t/℃ R = R0+at Parameter Value Error α 70.76224 0.32175 R0 0.28784 0.00881 R SD N P 0.99767 0.23811 7 <0.0001 t/℃

Fit Linear(线性拟合) 步骤： 1、将x，y数据输入worksheet 2、绘制x，y的散点图 3、执行Fit Linear 4、结果在Results Log窗口中 A：截距及其标准误差 B：斜率及其标准误差 R：相关系数 N：参与拟合的数据点的数目 P：Probability (that R is zero) R为0的概率 SD：拟合的标准差

请同学们在网上提前选择实验，并写好预习报告！ 第三周实验安排 组号 实验室 实验名称 第1组 804 液氮比汽化热的测量 碰撞打靶、转动惯量 第2组 801 示波器的使用 第3组 802 LCR串联谐振 直流电桥、亥姆霍兹线圈 第4组 805B 量子论 X光 第5组 805A 光栅特性与激光波长 透镜焦距、牛顿环 第6组 803 计算机实测物理实验 请同学们在网上提前选择实验，并写好预习报告！ 38 38

在网上提前选择实验，并写预习报告！ http://phylab.fudan.edu.cn 物理实验课程 – 基础物理实验 根据选课及分组名单中分组表确认自己所在组别 严格按照分组表登陆对应的“· · · · · ·实验室选实验登记表”选择实验填写姓名 选择实验前请仔细阅读登记表前的选实验要求 上周登记表上所选一律作废！请大家重新填写 39

数据处理作业 非教材上练习题，请同学们下载PPT完成作业！ 1、请按实验结果的正确表示法改正下列数据 1）1.315±0.02 2）5.2300±0.01550 3）52.32±0.14501 4）100600±3000 2、试按有效数字运算规则计算下列各式（要求写出计算过程） 1）1.35×5.00＋20.0×2.02＋20×0.1 2）5.02×104－40 3） （其中被除数“1”为准确数，不用考虑其有效位数） 4） 5）4.25×1.800×（1＋4/800）（其中“1”为准确数，不用考虑其有效位数）

数据处理作业 3、用千分尺多次测量某一金属薄片的厚度d（如下表），千分尺的不确定度限值为0.004mm，试求d及其不确定度u(d)。 4、用钢尺（分度值为1mm，不确定度限值为0.10mm）测量某一物体的长度l，实验中用1/10估读，读得其左端读数l1为5.00cm，右端读数l2为17.26cm，试求l及其不确定度u(l)。 5、实验测得一底面为正方形的长方体的高度h±u(h)=(5.20±0.03)cm，底面边长 a±u(a)=(2.134±0.002)cm，试求其体积并计算其不确定度。 6、已知金属环的外径D2=（3.600±0.004）cm，内径D1=（2.880±0.004）cm，高度h=（2.575±0.004）cm，求环的体积V及其不确定度u(V)。 环的体积公式为： d/mm 2.014 2.020 2.016 2.018

数据处理作业 下周上课时将数据处理作业交给 所在实验室老师！ 7、用伏安法测得某电阻的实验数据如下表： 1）用作图法求其电阻值R；(必须用作图纸手工作图) 2）设测得数据直线方程为U= U 0+ RI，用最小二乘法拟合出直线方程以及r。 （可自行选择用列表法、计算器或采用Excel、Origin等各种方法求解） 下周上课时将数据处理作业交给 所在实验室老师！ U/V 0.74 1.52 2.33 3.08 3.66 4.49 5.24 5.98 6.76 7.50 I/mA 2.00 4.01 6.22 8.20 9.75 12.00 13.99 15.92 18.00 20.01