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成才之路 · 数学 人教A版 · 选修2-2 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第一章 导数及其应用
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第一章 1．6 微积分基本定理
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自主预习学案 1 典例探究学案 2 巩固提高学案 3 备 选 练 习 4
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自主预习学案
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1.通过实例，直观了解微积分基本定理的含义．
2．利用微积分基本定理，求函数的定积分．
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重点：微积分基本定理． 难点：导数与积分的关系；利用微积分基本定理求函数的定积分．
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微积分基本定理 思维导航 我们已经知道利用定积分可以解决一些实际问题，但用定义求解却很麻烦，有没有简捷有效的计算方法呢？
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连续 f(x) F(b)－F(a) 原函数
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原函数 原函数 定义 几何意义 微积分基本定理
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[答案] －2
![[答案] －2](http://slidesplayer.com/slide/11672546/65/images/11/%5B%E7%AD%94%E6%A1%88%5D+%EF%BC%8D2.jpg "[答案] －2")
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[答案] 4x＋3
![[答案] 4x＋3](http://slidesplayer.com/slide/11672546/65/images/12/%5B%E7%AD%94%E6%A1%88%5D+4x%EF%BC%8B3.jpg "[答案] 4x＋3")
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典例探究学案
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利用牛顿—莱布尼茨公式求定积分 [分析] 根据导数与积分的关系，求定积分要先找到一个导数等于被积函数的原函数，再根据牛顿—莱布尼茨公式写出答案，找原函数可结合导数公式表．
![利用牛顿—莱布尼茨公式求定积分 [分析] 根据导数与积分的关系，求定积分要先找到一个导数等于被积函数的原函数，再根据牛顿—莱布尼茨公式写出答案，找原函数可结合导数公式表．](http://slidesplayer.com/slide/11672546/65/images/20/%E5%88%A9%E7%94%A8%E7%89%9B%E9%A1%BF%E2%80%94%E8%8E%B1%E5%B8%83%E5%B0%BC%E8%8C%A8%E5%85%AC%E5%BC%8F%E6%B1%82%E5%AE%9A%E7%A7%AF%E5%88%86+%5B%E5%88%86%E6%9E%90%5D+%E6%A0%B9%E6%8D%AE%E5%AF%BC%E6%95%B0%E4%B8%8E%E7%A7%AF%E5%88%86%E7%9A%84%E5%85%B3%E7%B3%BB%EF%BC%8C%E6%B1%82%E5%AE%9A%E7%A7%AF%E5%88%86%E8%A6%81%E5%85%88%E6%89%BE%E5%88%B0%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%AF%BC%E6%95%B0%E7%AD%89%E4%BA%8E%E8%A2%AB%E7%A7%AF%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%9A%84%E5%8E%9F%E5%87%BD%E6%95%B0%EF%BC%8C%E5%86%8D%E6%A0%B9%E6%8D%AE%E7%89%9B%E9%A1%BF%E2%80%94%E8%8E%B1%E5%B8%83%E5%B0%BC%E8%8C%A8%E5%85%AC%E5%BC%8F%E5%86%99%E5%87%BA%E7%AD%94%E6%A1%88%EF%BC%8C%E6%89%BE%E5%8E%9F%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%8F%AF%E7%BB%93%E5%90%88%E5%AF%BC%E6%95%B0%E5%85%AC%E5%BC%8F%E8%A1%A8%EF%BC%8E.jpg "利用牛顿—莱布尼茨公式求定积分 [分析] 根据导数与积分的关系，求定积分要先找到一个导数等于被积函数的原函数，再根据牛顿—莱布尼茨公式写出答案，找原函数可结合导数公式表．")
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[方法规律总结] 1.利用微积分基本定理求定积分的步骤：
第一步，利用定积分的性质将被积函数变形为基本初等函数导数公式中所列函数形式的积分的代数和． 第二步，依次找出各被积函数的一个满足F ′(x)＝f(x)的原函数F(x)． 第三步，利用牛顿——莱布尼茨公式求值．
![[方法规律总结] 1.利用微积分基本定理求定积分的步骤：](http://slidesplayer.com/slide/11672546/65/images/22/%5B%E6%96%B9%E6%B3%95%E8%A7%84%E5%BE%8B%E6%80%BB%E7%BB%93%5D+1.%E5%88%A9%E7%94%A8%E5%BE%AE%E7%A7%AF%E5%88%86%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86%E6%B1%82%E5%AE%9A%E7%A7%AF%E5%88%86%E7%9A%84%E6%AD%A5%E9%AA%A4%EF%BC%9A.jpg "第一步，利用定积分的性质将被积函数变形为基本初等函数导数公式中所列函数形式的积分的代数和． 第二步，依次找出各被积函数的一个满足F ′(x)＝f(x)的原函数F(x)． 第三步，利用牛顿——莱布尼茨公式求值．")
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分段函数的定积分计算 [分析] 由于被积函数是含绝对值的函数，需在积分区间[－2,2]上分段积分，这里零点是x＝0，x＝1.
![分段函数的定积分计算 [分析] 由于被积函数是含绝对值的函数，需在积分区间[－2,2]上分段积分，这里零点是x＝0，x＝1.](http://slidesplayer.com/slide/11672546/65/images/28/%E5%88%86%E6%AE%B5%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%9A%84%E5%AE%9A%E7%A7%AF%E5%88%86%E8%AE%A1%E7%AE%97+%5B%E5%88%86%E6%9E%90%5D+%E7%94%B1%E4%BA%8E%E8%A2%AB%E7%A7%AF%E5%87%BD%E6%95%B0%E6%98%AF%E5%90%AB%E7%BB%9D%E5%AF%B9%E5%80%BC%E7%9A%84%E5%87%BD%E6%95%B0%EF%BC%8C%E9%9C%80%E5%9C%A8%E7%A7%AF%E5%88%86%E5%8C%BA%E9%97%B4%5B%EF%BC%8D2%2C2%5D%E4%B8%8A%E5%88%86%E6%AE%B5%E7%A7%AF%E5%88%86%EF%BC%8C%E8%BF%99%E9%87%8C%E9%9B%B6%E7%82%B9%E6%98%AFx%EF%BC%9D0%EF%BC%8Cx%EF%BC%9D1..jpg "分段函数的定积分计算 [分析] 由于被积函数是含绝对值的函数，需在积分区间[－2,2]上分段积分，这里零点是x＝0，x＝1.")
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[方法规律总结] 求复杂函数定积分的注意事项
(1)在求复杂函数定积分时，要熟练掌握基本初等函数及其导数的运算法则．当原函数不易求解时，可以把函数变形． (2)合理利用定积分的性质，把复杂函数的定积分转化为简单函数的定积分再进行求解． (3)分段函数求定积分，运用积分的性质分段积分后再相加． (4)确定积分区间，分清积分的上下限．
![[方法规律总结] 求复杂函数定积分的注意事项](http://slidesplayer.com/slide/11672546/65/images/30/%5B%E6%96%B9%E6%B3%95%E8%A7%84%E5%BE%8B%E6%80%BB%E7%BB%93%5D+%E6%B1%82%E5%A4%8D%E6%9D%82%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%AE%9A%E7%A7%AF%E5%88%86%E7%9A%84%E6%B3%A8%E6%84%8F%E4%BA%8B%E9%A1%B9.jpg "(1)在求复杂函数定积分时，要熟练掌握基本初等函数及其导数的运算法则．当原函数不易求解时，可以把函数变形． (2)合理利用定积分的性质，把复杂函数的定积分转化为简单函数的定积分再进行求解． (3)分段函数求定积分，运用积分的性质分段积分后再相加． (4)确定积分区间，分清积分的上下限．")
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[正解] (1)4－ 所求面积为 ＝1＋2＋＝4－. (2)t2＋t (t2＋t)dx＝(t2＋t)x|＝t2＋t.
![[正解] (1)4－ 所求面积为 ＝1＋2＋＝4－. (2)t2＋t (t2＋t)dx＝(t2＋t)x|＝t2＋t.](http://slidesplayer.com/slide/11672546/65/images/36/%5B%E6%AD%A3%E8%A7%A3%5D+%281%294%EF%BC%8D+%E6%89%80%E6%B1%82%E9%9D%A2%E7%A7%AF%E4%B8%BA+%EF%BC%9D1%EF%BC%8B2%EF%BC%8B%EF%BC%9D4%EF%BC%8D.+%282%29t2%EF%BC%8Bt+%28t2%EF%BC%8Bt%29dx%EF%BC%9D%28t2%EF%BC%8Bt%29x%7C%EF%BC%9Dt2%EF%BC%8Bt..jpg "[正解] (1)4－ 所求面积为 ＝1＋2＋＝4－. (2)t2＋t (t2＋t)dx＝(t2＋t)x|＝t2＋t.")
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巩固提高学案 （点此链接）
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备 选 练 习 （点此链接）
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