第五章 量纲分析与相似原理 在长期的生产实践中，人们总结出两种方法去研究、解决各种工程流体力学问题。一种是数学分析方法，通过求解描述流动过程的微分方程式，获得各量之间的规律性关系。另一种是实验方法，通过实验获取流体的流动规律。 然而，能够用数学分析方法求解的流体力学问题是有限的。在许多情况下，流体流动的现象很复杂，往往难以用微分方程式加以描述；而且即使能够建立微分方程式，由于不能确定初始条件和边界条件，也难以求解。所以日前大量的流体力学问题只能用实验方法求解。本章介绍的量纲分析(Dimensional.

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1 第五章 量纲分析与相似原理 在长期的生产实践中，人们总结出两种方法去研究、解决各种工程流体力学问题。一种是数学分析方法，通过求解描述流动过程的微分方程式，获得各量之间的规律性关系。另一种是实验方法，通过实验获取流体的流动规律。 然而，能够用数学分析方法求解的流体力学问题是有限的。在许多情况下，流体流动的现象很复杂，往往难以用微分方程式加以描述；而且即使能够建立微分方程式，由于不能确定初始条件和边界条件，也难以求解。所以日前大量的流体力学问题只能用实验方法求解。本章介绍的量纲分析(Dimensional analysis)和相似原理(law of similarity)就是指导实验的理论。

2 §5-1 量纲分析 当某一流动过程尚不能用微分方程描述时，量纲分析法是确定物理量间关系的有效方法。 一. 量纲分析的基本知识 “量纲”(或“因次”)是用以度量物理量单位的种类的。以小时、分、秒为例，它们是不同的时间测量单位，但这些单位都属于同一时间种类。若将这些属于同一种类的单位用[t]表示，则[t]就是上述时间单位的“量纲”。因此，量纲是代表被测物理量单位种类的一种符号，从符号可以看出它们的属性。例如[t]表示时间量纲, [L] —表示长度量纲。

3 §5-1 量纲分析 工程单位制 大小 单位制 国际单位制 基本量纲 英 制 物理量 类别 量纲 导出量纲 量纲幂次式 SI制中的基本量纲：
英 制 物理量 类别 量纲 导出量纲 量纲幂次式 SI制中的基本量纲： dim m = M , dim l = L , dim t = T

4 §5-1 量纲分析 导出量纲可用三个基本量纲的指数乘积形式表示。例如B为任一物理量，其量纲可用下式表示：

5 §5-1 量纲分析 上式称为量纲公式，式中a、b、c可正、负、整数、分数，它取决于物理量的定义和本质。例如密度的量纲是 ，动力黏度的量纲是 。流体力学中常用量的量纲见下表。

6 §5-1 量纲分析 导出量 物理方程 量纲 速度 V 力F 压强p 密度ρ 动力黏度µ 运动黏度

7 §5-1 量纲分析 在上式中，若a、b、c三个数中有一个不为零，则表明该物理量B是有量纲的量，当“a、b、c”全部为零时，则表明物理量B是无量纲的量，或称无量纲数(Non-dimensional number)。无量纲数可以是两个同类量的比值，也可以是几个有量纲量通过乘积组合而成，组合的结果使a、b、c均为零。有量纲的量会因所选择的单位制不同而改变数值，而无量纲量则不随所选择的单位制不同而改变其数值。量纲分析的目的之一就是要找到正确地组合各有关量为无量纲量的方法。

8 §5-1 量纲分析 值得注意的是有些方程中的常数是有量纲的，比如气体常数R，根据气体状态方程p=ρRT,R的量纲为 。
一个正确而完整的物理方程，其各项的量纲都是相同的，这一规律称为“量纲齐次原理”。可用这一原理来校核物理方程和经验公式的正确性和完整性。一个不完全的物理方程，常常也是量纲不一致的。例如一些经验公式，其中的变量单位有一定限制，如果应用的单位制改变，经验公式的常数也作相应地改变，这一点正是和量纲齐次方程的区别。

9 §5-1 量纲分析 对于量纲齐次的方程．只要用方程的任一项量纲去除其余各项，就可使方程的每一项都变成无量纲量，方程化为无量纲方程。量纲分析就是基于物理方程具有量纲齐次原理，通过量纲分析和换算，将原来含有较多物理量的方程，转化为含有比原物理量少的无量纲数组方程，使方程变量减少，为研究这些变量关系而进行的实验大大简化。

10 §5-1 量纲分析 同一方程中各项的量纲必须相同。用基本量纲的幂次式表示时，每个基本量纲的幂次应相等，称为量纲齐次性。 常数 （沿流线）

11 §5-1 量纲分析 二.Π定理 n个物理量 组成n-m个 独立Π数 充要条件 m个独立 基本量 Π定理 选m个独立 基本量 量纲分析方法等
方 法 n-m个导出量 f(x1,x2,…xn)=0 F (П1, П2, П3, ……, Пn-m )=0

12 §5-1 量纲分析 若某现象由n个物理量所描述．把它写成数学表达式，即 f(x1,x2,…xn)=0，设这些物理量包含m个基本量纲，则该现象可用n-m个无量纲数组的表达的关系式来描述，即 。 这就称为 定理。或称白金汉(Buckingham)定理。 无量纲数组是这样组成的：在变量x1,x2,…xn中选择k(＝m)个量纲不同的变量作为重复变量，并把重复变量与其余变量中的一个组成无量纲数组π, 共组成(n—m)个无量纲数组。

13 §5-1 量纲分析 例如：选择 x1,x2,x3为重复变量，无量纲数组为:
根据物理方程量纲齐次原理，确定待定指数a、b、c的值，从而也就确定了每个π的值，最后可写出无量纲数组方程。

14 §5-1 量纲分析 一般来说，要将某物理现象和无量纲数组的函数关系式表达出来，以白金汉π定理的方法，需要以下几个步骤：
1．列出影响该物理现象的全部n个变量： f(x1,x2…xn) =0; 2、选择m个基本量纲，例如L、M、t； 3．从所列变量中选出k(＝m)个重复变量，重复变量应包括几何变量、运动变量和动力变量；

15 §5-1 量纲分析 4．用重复变量与其余变量中的一个建立无量纲方程，从而获得(n-m)个无量纲数组；
5．建立无量纲数组方程，F(π1,π2…πn-m)＝0

16 §5-1 量纲分析 例5—1 不可压缩黏性流体在管内作定常流动时，流体的压降损失Δp与管内径d、管长l、管壁粗糙度ε、流体的平均流速v、密度ρ和黏度µ有关。试用无量纲数组π表示压降。 解 根据题意，我们可按下面几步解题 (1)该流动现象共有n＝7个变量：Δp、d、l、ε、v、ρ、µ。 (2)选择基本量纲数目m＝3个，M、L、t。 (3)选用k＝m＝3个重复变量：ρ、v、d. (4)组成n—m＝7—3＝4个无量纲数组，现求解π

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21 §5-1 量纲分析 (5)建立无量纲数组方程 上例中，描述该现象的物理量有7个，基本量纲有3个，得到7—3＝4个无量纲数组。对于其他现象，都存在如下的规律；某现象由n个物理量所描述，而这些物理量的基本量纲有m个，则可得到k＝n—m个独立的无量纲数组。通常将此规律称为“量纲分析π定理”。

22 §5-1 量纲分析 量纲分析方法表明，对一些较复杂的物理现象，即使无法建立微分方程式，但只要知道这些现象包含哪些物理量，就能求出它们的无量纲数组，为解决问题理出头绪，量纲分析的价值就在于此。

23 §5-1 量纲分析 三.几点说明 1.无量纲数组的形式 对一定的现象，无量纲数组的个数是固定的，但形式不是惟一的，或者说π定理确定的无量纲数组的形式有一定的任意性，但组合的方式不改变这些无量纲数组的本质。无量纲数组的形式有以下几种： (1) (n为常数)仍是无量纲数。例如 是无量纲数组，那么 仍是无量纲数组，习惯上仍称为Fr数。 。

24 §5-1 量纲分析 (n1，n2，…，nk为常数)仍是无量纲数。 例如 仍是无量纲数组，称为伽利略数。 仍是无量纲数。例如

25 §5-1 量纲分析 式中σ为液体的表面张力系数，ρ、ρ’为液相、气相物质的密度。We仍是无量纲数，称为韦伯数。
(4) (a为常数)仍是无量纲数。 例如 是无量纲速度,那么 也是无量纲数。 (5)无量纲数组中任一物理量用其差值代替仍是无量纲数。 例如欧拉数 中的压强可用Δp代替， 仍称为欧拉数‘

26 §5-1 量纲分析 2．作用在流体上的力 如果用l代表特征尺寸，用V、Δp分别代表流场的速度和压强差，ρ、µ、σ分别代表流体的密度、动力黏度和表面张力系数。则作用在流动流体上常见的几个力，可用这些量的组合表示： 惯性力inertial force 黏性力viscous force

27 §5-1 量纲分析 压力pressure force 重力gravity force 表面张力surface tension
弹性力elasticity force

28 §5-1 量纲分析 3. 流体力学中常见的无量纲数组 下面列出流体力学中常见的几个无量纲数组。 (1)雷诺数Reynolds number
可见它是惯性力与黏性力的比值。如果Re数大，则惯性力起主要作用，流动是湍流；如果Re数小，则黏性力起主要作用，流动是层流。

29 §5-1 量纲分析 (2)欧拉数Euler number

30 §5-1 量纲分析 (3)弗劳德数Froude number 由英国造船工程师弗劳德(Froude)与他的儿子共同提出。它是在重力影响较大的流动场合或者流动是由重力引起的情况下，常常考虑的一个无量纲数组。 它是惯件力与重力的比值．反映了重力对流体的作用。和重力有关的现象由Fr数决定。

31 §5-1 量纲分析 (4)韦伯数Weber number
(5)马赫数Mach number 奥地利物理学家马赫(Mach)在研究可压缩流体流动时，提出的无量纲数组。

32 §5-1 量纲分析 (6)斯特劳哈尔数Strouhal number 它是当地惯件力与迁移惯件力的比值。
它是惯件力与弹性力的比值。与压缩性有关的现象由Ma数决定。当流体的运动速度较低时(Ma＜0.3)，流体压缩效应可以忽略不计；当流速较高时(Ma＞0.3)，就不能忽略压缩性的影响。 (6)斯特劳哈尔数Strouhal number 它是当地惯件力与迁移惯件力的比值。

33 §5-1 量纲分析 四.量纲分析的意义 π定理为实验研究工作提供了便利的条件，它把研究的量归并成组，使参数个数减少，函数结构简化，实验次数减少。例如，我们用实验的方法确定某一物体在流体中运动时所受阻力F与流体的密度ρ、黏度µ、物体的特征尺寸l

34 §5-1 量纲分析 以及流体与物体相对运动速度V之间的关系，即F＝f(V,ρ,l,µ)。则我们可以分别进行实验，例如在一定的ρ、µ及l情况下，确定不同速度V时的阻力F，假定需要10个实验值。为了反映物体特征尺寸l对阻力F的影响，又需要10个不同的l值进行实验。同样，对ρ、µ的影响还需要分别取10个不同的ρ、µ值进行实验。这样为了全面了解F与V，ρ、l和µ的关系，就需要进行 次实验。不仅花费大量的人力、物力和时间，而且所得的大量数据还难以综合分析使用。

35 §5-1 量纲分析 若应用π定理．经过量纲分析，5个变量可转化为2个无量纲变量的关系。即
上述关系式仍需要通过实验求得，但仅用10次实验就可以确定Re数和 的对应关系，可以在ρ、µ和l不变的情况下，仅改变流速V就可得到，而且所获得的关系曲线是一条简洁的光滑曲线，应用非常方便。

36 §5-1 量纲分析 量纲分析法在流体力学和模型试验等领域被广泛 应用，成为一种有效的研究手段。还可用于： (1)物理量量纲的推导；
(2)根据量纲齐次原理，校核由理论分析推导出的代数方程各项量纲是否正确； (3)确定模型实验的相似条件，指导实验资料整理, 尽管量纲分析有助于人们分析复杂现象中各物理量之间的关系，但它只是—个工具，量纲分析不能代替人们对物理现象本身的研究。

37 §5-2 相似原理 直接实验的方法有很大的局限性; 往往只能得到个别量之间的规律性关系。
故采用以相似原理为基础的模型实验方法，探索自然规律(包括流体流动规律)。该方法就是在相似原理的基础上，按一定原则改变流动参数，如将原型尺寸放大或缩小，或更换流动介质等，制成模型实验台，在模型实验台上进行实验，然后根据相似原理整理实验数据，找出模型中流体的流动规律，并将这些规律推广到与实验模型相似的各种实际设备中去。

38 §5-2 相似原理 一. 相似概念 若两个物理现象进行着同一物理过程，且各物理量在各对应点上和对应瞬时大小成比例，方向一致，则称两个物理现象相似。在流体力学中，若两种流动相似，一般应具有 1．几何相似 流动边界几何相似，一切对应的线性尺寸成比例 线性比例常数 面积比例常数

39 §5-2 相似原理 体积比例常数 其中上标(’)代表模型。线性比例常数Cl是基本比例常数。

40 §5-2 相似原理 2．时间相似 对应的时间间隔成比例。在非定常流动中，各点的速度随时间的变化而变化。如图5—1所示为两种管内流动的平均流速随时间的变化曲线。若二者平均速度变化的时间间隔互成比例，则时间比例常数 其中t,t’为两种流动的时问间隔。

41 §5-2 相似原理 3．运动相似 速度场(加速度场)的几何相似，即在不同的流动空间中，各对应点、对应时刻上速度(加速度)的方向一致，大小成比例。如图5—2所示，为两直径不同的圆管中，流体作层流运动时的速度分布曲线。二者的速度方向都平行于管中心线，并且大小成比例。

42 §5-2 相似原理 速度比例常数 加速度比例常数 流量比例常数 其中速度比例常数 是基本比例常数，

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44 §5-2 相似原理 4．力相似 力场的几何相似，即作用在流体上的各种力的方向对应一致，大小互成比例。如图5—3所示，从两个流动空间对应点上取出的几何相似的两个流体质点，作用于其上的各对应力方向一致，大小成比例，即 力比例常数 密度比例常数

45 §5-2 相似原理 其中密度比例常数 是基本比例常数。用基本比例常数表示的其他比例常数有： 质量比例常数 力的比例常数 压强比例常数
其中密度比例常数 是基本比例常数。用基本比例常数表示的其他比例常数有： 质量比例常数 力的比例常数 压强比例常数 运动黏度比例常数

46 §5-2 相似原理 动力黏度比例常数 基本比例常数 是各自独立的，它们确定后，一切物理量的比例常数都可以确定。对于所有这些物理量，相似是指这些物理量的场相似。即，如果物理量是向量，那么在流动空间的各对应点上及各对应瞬时．这些向量的方向一致，大小互成比例；如果物理量是标量，那么在流动空间各对应瞬时，这些量大小成比例。另外， 又称为相似倍数，它与所选取的坐标和时间无关。

47 §5-2 相似原理 二. 相似原理 相似的现象都属于同一类现象，所以它们遵循同一客观规律，能用同一微分方程所描述。但通过对描述现象的微分方程的求解，只能获得对同一类型的各种流动都适用的通解。若要求得某一具体流动的特解，还必须给出称之为“单值条件”的附加条件。因此，相似现象的单值条件必相似。所谓单值条件包括几何条件(形状与大小)、物理条件(密度、强度等)、边界条件(进口与出门及壁面处流速的大小等)、初始条件(开始时刻流速、温度、物性参数等)。单值条件能够在服从同一规律的无数现象中单一

48 §5-2 相似原理 地划出某一具体现象。对所有满足同一微分方程的流动现象，若其中两种流动现象的单值条件完全相同，则二者是相同的同一种流动；若两种流动现象的单值条件相似，则二者相似；若两种流动现象的单值条件既不相同也不相似，那么二者就既不相同也不相似。 由于描述相似现象的物理量各自互成比例，而这些量又满足同一微分方程组，所以各量的比值(相似倍数)不能是任意的，而是相互制约的。

49 §5-2 相似原理 例5·2 以不可压缩流体定常流动的N-S微分方程为例导出相似准则。 解 N-S方程x向投影式为
与其相似的流动中流体质点的方程为 由于现象相似，必有

50 §5-2 相似原理 将式(c)代人式(b)，整理后得 要使描述二现象的方程一致，式(a)和(d)相比，则有

51 §5-2 相似原理 这就证明了各相似倍数不是任意选取的，而是受上式约束的。将式(e)后三项分别去除前面第一项，则有

52 §5-2 相似原理 可以看出，若两不可压缩定常流动相似，它们的弗劳德数、欧拉数、雷诺数必相等，这和量纲分析中得到的结论一致。而Fr、Eu、Re都是无量纲数组，这种无量纲数组在相似原理中称为相似准则或相似判据，是判断现象是否相似的根据。可见，彼此相似的现象，必定具有数值相同的相似准则。

53 §5-2 相似原理 综上所述．相似原理可表述为：
两种流动现象相似的充分必要条件是：凡同一种类现象，能够用同一微分方程所描述；单值条件相似；由单值条件中的物理量所组成的相似准则在数值上相等。

54 §5-2 相似原理 应用相似原理进行实验研究的具体步骤，归纳起来有如下几点： (1)分析所推导的相似准则，判断哪些相似准则是主要的(决定性准则)，哪些是次要的，可以忽略的(非决定性准则)。例如，物体在空气中低速运动时，只有Re数起决定作用，而物体在高速气流中运动时，则主要考虑Ma的影响。 (2)根据决定性相似准则相等的条件设计实验。包括设计模型、选择实验设备及实验条件选择模型实验中的工作介质、确定运动状态等。

55 §5-2 相似原理 (3)确定实验中要测量的物理量以及实验数据的整理。根据相似原理，彼此相似的现象必定具有数值相同的相似准则。这就是说实验中要测定各相似准则所包含的一切物理量，并把它整理成相似准则。 (4)实验结果的换算。根据相似原理，在相似准则相等的条件下，将实验结果换算到实物系统中去。

56 §5-2 相似原理 四.相似理论与量纲分析的比较 相似理论是从描述物理现象的微分方程出发导出几个无量纲数组，即相似准则，来说明两个系统中发生的物理现象相似；而量纲分析无需建立微分方程，在弄清与物理现象有关的因素情况下，即可获得一组无量纲判据。就最终得到一组无量纲判据这一点来说，两者是共同的。 相似理论是按照两个对应系统相似来导出无量纲数组的，并不是任意的，而且所得到的相似准则具有一定的物理意义；量纲分析只是根据描述某一物理现象有关的物理量得到无量纲数组，而

57 §5-2 相似原理 在组成无量纲数组时并不涉及它们自身的物理意义。
相似理论适用于物理现象相似的系统(即同类相似)；量纲分析的应用范围相比之下要广泛得多，可应用于不同物理过程的两个现象之间的相似(异类相似)。 相似理论侧重于从现象的物理方面，如受力情况的分析来阐述问题；量纲分析则纯粹是对涉及的物理量量纲之间的关系进行运算，即根据方程量纲齐次原则计算。

58 §5-2 相似原理 相似理论和量纲分析是我们进行实验的理论基础，只要根据相似理论保证流动相似的条件，我们就可以在实验室的模型上进行实验；根据量纲分析，实验时只要用无量纲数组作为变量，就可圆满完成实验数据的测试和整理，最后得到有用的关系式，并可大胆地将它应用到实际流动中去。

59 §5-3 模型试验 一. 全面力学相似模型试验 全面力学相似．指的是两种流动(如模型和原型)满足几何相似、运动相似和动力相似，且具有相似的初始和边界条件。具体地说，两流动要达到全面相似，必须使所有相似准则(Re、Eu、Fr、Ma…)分别相等，且初始条件和边界条件相似。但同时满足几个相似准则都相等．在实际中是很困难的，有时甚至是办不到的。例如对于黏性不可压缩流体定常流动，尽管只有两个定性准则，但要在模型试验中使模型和原型的Re和Fr同时相等，对模型设计是有矛盾的。

60 §5-3 模型试验 现具体说明这个矛盾: 为使原型中的Re与模型中的Re’相等，即 必有 .如果模型中流动介质的 和
必有 如果模型中流动介质的 和 原型中介质的 相等，即Cν＝1，那么 这时，如果取模型尺寸为原型尺寸的1/10， 则 ，即模型中流体的流速应为原型中10 倍。

61 §5-3 模型试验 如同时还要保证Fr=Fr’,即 ,必有 由于 ,即 ,所以 。 当 。这就是说，为保证Fr数
由于 ,即 ,所以 。 当 。这就是说，为保证Fr数 相等，模型中流体的流速应为原型中流体流速的 1/3.16。这与第一个要求发生矛盾。 解决这一矛盾的办法可以是，在模型和原型 中使用具有不同黏度的流体。为此，令

62 §5-3 模型试验 这表示为保证Re＝Re’，Fr=Fr’，就要使模型介 质的运动黏度为原型的1/31.6，这几乎是办不到 的。
上述分析说明，当定性准则有两个时，模型 中的流体介质选择要受模型尺寸选择的限制。若 定性准则有三个时，除介质的选择受限制外，流 体的其他物理量也要相互受限制。这样就使模型 设计难以进行。为此，工程上常常采用近似的模 型实验方法。

63 §5-3 模型试验 二.近似模化法 所谓近似模化法，即不能保证全面力学相似的模型实验方法。该方法的实质是抓主要矛盾。在设计模型和安排实验时，首先分析一下相似条件中哪些是主要的，对过程起决定作用，哪些是次要的，不是起决定作用的。对于起主要作用的条件尽量加以保证；对次要的条件，只作近似保证，甚至忽略不计。这样，一方面使实验能够进行，另一方面又不致引起较大偏差。 近似模化法有三种，现分述如下：

64 §5-3 模型试验 1．弗劳德模化法 在水利工程和无压明渠流动中，重力起主导作用。以水位落差形式表现的重力是流动的原因，以水静压表现的重力是水工结构的主要因素。在这种情况下，黏性力不起主导作用，重力相似准则Fr数就是主要相似准则，于是使实物和模型流动的Fr数相等。

65 §5-3 模型试验 弗劳德模化法在水利工程上很重要，大型水利工程应首先进行模化实验，取得实物流动的有关数据和规律，方可施工。 2.雷诺模化法
实际流体在管内流动，黏性力决定管内流体流动的阻力损失，形成压降。此时重力是次要因素，雷诺数是主要相似准则，必须保证

66 §5-3 模型试验 雷诺模化在管内流动、液压技术、流体机械的模化试验中应用广泛。 3．欧拉模化法 当Re 数小于某一数值(第一临界值)时，流动处于层流状态。在层流状态范围内，流体的速度分布彼此相似，与Re数不再有关。这种现象便称为自模性。如流体在园管中作层流流动时，只要Re＜2000，沿横截面的流速分布都是—轴对称的旋转抛物面。当Re数大于第一临界值时，流动呈湍流状态；随着Re的增加，流体的紊乱程度和流速分布变化很大，而后变

67 §5-3 模型试验 化逐渐减少。当Re数大于某一定值(第二临界值)时，流体的流速分亦皆彼此相似，与Re数不再有关，流体的流动又进入自模化状态。常将Re数小于第一临界他的范围叫“第一自模化区”，而将Re数大于第二临界值的范围叫“第二自模化区”。只要原型设备的Re数处于自模化区以内，则模型中的Re数不必与原型的相等，只要与原型处于同一自模化区就可以了。也就是说，在自模化区，Re数不相等也会自动出现黏性力相似，而不必考虑Re数相等。如果流场中的流体是气体．重力影响微不足道，重力或Fr数也不必考虑；这时只考虑压强或压差与惯

68 §5-3 模型试验 性力之比的Eu数相等就可以了。即
在这种模化区的模型实验，是按欧拉准则设计的。欧拉模化法用于自模化区的管内流动，低速风洞实验、气体绕流等。

69 §5-3 模型试验 例5—3 管径d＝50mm的输油管，装有弯头、开关等局部阻力装置，安装前需要测定压强损失，在实验室用空气进行实验。已知20℃时油的密度 ＝889.6㎏/m3；油的黏度 m2／s； 空气的密度为1.2kg/m3；空气的黏度为 试确定：(1)当实际输油管道中油的流速v＝2 m/s时时，实验中空气在管内的流速为多少；(2)通过空气实验测得的管道压强损失△p＝7747N／m2，油液通过输油管道时的压强损失为多少?

70 §5-3 模型试验 解 因为低速流动时，黏性力起主要作用，另外Eu数中涉及压强分布，所以此项实验应满足Re和Eu相等的条件下进行换算。
（1） 因管道相同，即 ，则

71 §5-3 模型试验 （2）

72 §5-3 模型试验 例5 .4 明渠流动中闸门前的水深H=2m，现用水在模型上作试验，使 。在模型上测得水流量 ，模型闸门后流速v’＝1m/s，作用在模型闸门上的力F’＝40N。求实物明渠流动中的流量Q，闸门后的流速v，作用在闸门上的力F各为多少? 解 这是明渠流动，重力是流动的原因，进行模型试验应以Fr相似准则相等为依据.

73 §5-3 模型试验 于是流量比例常数 力比例常数 这样就可以求出实物流动中闸门后流速

74 §5-3 模型试验 明渠实物流动的流量为 作用在明渠闸门上的作用力为 模型闸门前的水深

75 §5-3 模型试验 三.方程分析法 导出相似准则，第一种是量纲分析方法，通过确定与物理现象有关的变量，使用 π定理，即可找到无量纲数组的函数关系，同时也确定了无量纲数组，即相似准则。第二种方法是利用现有的描述现象的微分方程组和全部单值条件导出相似准则来．这种方法称为方程分析法。 通常采用的方程分析法有两种：相似转换法和方程无量纲化方法.

76 §5-3 模型试验 1．相似转换法 该法导出相似难则的具体步骤如下： 写出现象的基本微分方程组和全部单值条件； 写出相似倍数的表示式；
将相似倍数的表示式代入微分力程组进行相似转换； 根据两个流动相似，描述它们的方程相同这一原则，导出相似准则。

77 §5-3 模型试验 2．方程无量纲化方法 这种方法是利用现有的描述流动过程的微分方程，通过使其无量纲化，求出相似准则。这种方法不需要两个相似流动的比较。该方法的具体步骤如下： 写出描述现象的基本微分方程组; 所有变量无量纲化； 方程组无量纲化； 导出相似准则。

78 §5-3 模型试验 例5—5 以二维不可压缩黏性流体流动为例，用基本方程无量纲化方法导出相似准则。
例5—5 以二维不可压缩黏性流体流动为例，用基本方程无量纲化方法导出相似准则。 解 1.二维不可压缩黏性流体流动微分方程组由连续方程和运动方程组成

79 §5-3 模型试验 特征量为：特征长度l ，速度U，压降Δp， 时间τ．用带“*”的量表示无量纲量，则
2.用特征量除各变量，使各变量无量纲化。 特征量为：特征长度l ，速度U，压降Δp， 时间τ．用带“*”的量表示无量纲量，则

80 §5-3 模型试验 3.方程组无量纲化 为了说明方程的无量纲化过程，以两项为例:

81 §5-3 模型试验 按照以上过程，将各无量纲量代人方程组(a) 整理得

82 §5-3 模型试验 4.导出相似准则 从方程组(c)我们看到，方括号中的各项就是我们在量纲分析中得到的无量纲数组即相似准则。它们是

83 §5-3 模型试验 雷诺准则； 弗劳德准则； 欧拉准则； 斯特劳哈尔Strouhal准则

84 §5-3 模型试验 这些无量纲相似准则都是两种力的比值，在基本方程中自然出现了。如果两个流动由这个方程组所描述，且四个无量纲参数即Re、Eu、Fr、St都相等，那么这两个流动是相似的。