第四章 扭 转.

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1 第四章 扭 转

2 工程实例

3 工程实例

4 工程实例

5 工程实例

6 工程实例

7 工程实例

8 工程实例

9 本章要点 重要概念 （1）园轴扭转横截面上剪应力计算公式推导与应用 （2）园轴扭转变形的计算 （3）扭转变形构件的强度与刚度条件
外力偶矩、扭矩、扭矩图、圆柱形密圈螺旋弹簧、非圆截面杆扭转、开口薄壁杆件、闭口薄壁杆件、自由扭转、约束扭转

10 目录 §4-1 扭转的概念 §4-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 §4-3 圆轴扭转时的应力和强度条件
§4-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 §4-3 圆轴扭转时的应力和强度条件 §4-4 圆轴扭转时的变形和刚度条件 §4-5 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 §4-6 非圆截面杆扭转的概念 §4-7 薄壁杆件的自由扭转

11 §4-1 扭转的概念 一、引例 F M 二、概念 作用于杆件上的外力，为两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶时，杆件中任意两个横截面即会发生绕杆件轴线相对转动，这种形式的变形就称为扭转变形。 受力特征：杆受一对大小相等、方向相反的力偶，力偶作用面 垂直于轴线。 变形特征：横截面绕轴线转动。 目录

12 §4-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 一、外力偶矩的计算
§4-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 一、外力偶矩的计算 在工程实践中，外力偶矩往往不是直接给出的。而直接给出的往往都是轴所传递的功率和轴的转速。例如：下图中，外力偶矩没有给出，给出的仅仅是电动机的转速和输出的功率。如果我们要分析传动轴中某点处的应力情况，首先必须知道A端皮带轮上的外力偶矩，下面我们来看看如何根据电动机的转速和输出功率来求解外力偶矩 Me的大小。 A B

13 （a） (b) 已知：电动机通过皮带轮输给AB轴的功率为N千瓦。AB轴 的转速n转/分。 则： 电动机每秒钟所作的功为：
设电动机通过皮带轮作用于AB轴上的外力偶矩为Me 则：Me在每秒内完成的功为： (b)

14 (c) 由于Me所作的功也就是电动机通过皮带轮给AB轴输入的功 故： 将(a)、(b)两式代入上式，于是求得： （N·m）
如果功率N以瓦为单位，代入〈c〉式则可得： （N·m）

15 例1、 传动轴如图所示，主动轮A输入功率PA=50kW，从动轮B、C、D输出功率分别为PB=PC=15kW，PD=20kW，轴的转速n=300r/min，计算各轮上所受的外力偶矩。
MA MB MC MD 解：计算外力偶矩

16 二、外力偶矩转向的确定： 三、扭矩的计算和扭矩图： 主动轮上外力偶矩的转向与轴的转动方向相同， 从动轮上外力偶矩的转向与轴的转动方向相反 。
1、扭矩：横截面上的内力： (T) T T T=T

17 根据例1的计算结果可知各轮上的外力偶矩分别为：
2、扭矩的计算 例2、 传动轴如图所示，主动轮A输入功率PA=50kW，从动轮B、C、D输出功率分别为PB=PC=15kW，PD=20kW，轴的转速n=300r/min，计算各段轴上所受的扭矩。 B C A D MA MB MC MD 1 2 3 解： 根据例1的计算结果可知各轮上的外力偶矩分别为：

18 应用截面法将横截面1-1处假想的截开为二，如图，并保留 左半部分为研究对象
MB 1 x T1 x B C MB MC 1 2 T2

19 横截面3-3处的扭矩T3也可以利用3—3截面左边的受力平衡来解决。
D MD 3 T3 x 横截面3-3处的扭矩T3也可以利用3—3截面左边的受力平衡来解决。 MA MB MC 1 2 3 B C A

20 从上述3—3截面上扭矩的两种计算方法所获得的计算结果可以看到，两个结果虽在数值上相等，但是在转向上却相反，由于二者均为同一截面处的内力，故其在正负号上应该一致，为了使二者的正负号一致。因此我们有必要进行正负号的规定 。 3、扭转正、负号的规定： （1）联系扭转变形来规定扭矩符号：杆因扭转使某一段内的纵向母线有变成右手螺旋的趋势时，则该截面上的扭矩为正，反之为负。 （2）右手螺旋法则：若按右手螺旋法则把Mn表示为矢量，当矢量方向与截面的外法线方向一致时，为正，反之为负。

21 解： 4、扭矩图：用来表示受扭杆件横截面上扭矩随轴线位置变化 的坐标图（与轴力图作法完全相同）。
扭矩图的作法同轴力图的作法完全一样。如图所示：以x轴表示杆件各横截面的位置，以垂直向上的纵轴表示Mn的大小。 例3、 传动轴如图所示，主动轮A输入功率PA=50kW，从动轮B、C、D输出功率分别为PB=PC=15kW，PD=20kW，轴的转速n=300r/min，试绘出各段轴的扭矩图。 解： 从例2中可知，BC、CA、AD各段横截面上的扭矩分别为：

22 完 如果不画坐标轴，那么一定要标明正、负号。在水平线之上为正，在水平线之下为负。 目录

23 §4-3 圆轴扭转时的应力和强度条件 一、圆轴扭转时的应力
对一个受扭的材料，我们要想知道它到底能承受多大的外载作用，首先必须知道其内部的应力分布规律，只有知道了其内部的分布规律后才能够较易地找出其内部的最大应力，从而确定这种材料适合于什么样的工程，能够经受什么样的载荷。 在这里应力分析属于静不定问题，须综合研究几何、物理和静力学三个方面。由变形几何条件得到变形变化规律，再由物理条件得到应力变化规律，最后由静力学平衡条件得到应力计算公式。

24 1、变形几何关系： （1）圆轴扭转的平面假设： 圆轴的扭转变形实验：同薄壁圆筒的扭转相似，在圆轴表面上作纵向线和圆周线，如图所示：

25 实验结果：各圆周线绕轴线相对的旋转了一个角度，但大小，形状和相邻两圆周线之间的距离不变，在小变形的情况下，各纵向线仍近似的是一条直线，只是倾斜了一个微小的角度，变形前，圆轴表面的方格，变形后扭歪成菱形。 结论：圆轴变形前的横截面，变形后仍保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线，且相邻两截面间的距离不变。 ———圆轴扭转的基本假设：平面假设 （2）剪应变的变化规律： 现从圆轴中取出长为dx的微段，即上图中的mm-nn之间微段，再于上述微段中取单元体abcd。若截面nn对mm的相对转角为 .根据平面假设，可知：横截面 nn相对于mm象刚性平面一样，绕 角，半径oa也转过了一个 角到达oa’。 轴线转了一个

26 于是单元体abcd的ab边相对于cd也发生了微小的相对错动，引起单元体abcd的剪切变形。

27 ——（a） ——（b） 直角abc的角度改变量： ——圆截面a点处的剪应变，在垂直于半径oa的平面内。
同样道理：在距离圆心为处的剪应变为： ——（b） 讨论：由图中可看出：（a）(b)两式中的 为扭转角 沿轴线 x的变化率。对某一给定的截面来说，x=常量， =常量，故： =常量。

28 （4-3） 由此和(b)式可得出剪应变的变化规律如下： 2、物理关系： 将剪切虎克定律代入上面的剪应变公式（b）中。
讨论：由于对于某一特定的横截面 =常数。 故由（4-3） 式可看出：

29 对于某一特定的横截面来说 与 成正比。又因为 发生在垂直于半径的平面 内，所以 也与半径垂直。 再根据剪应力互等定理可知：在纵截面和横截面上，沿半径剪应力的分布规律如图所示：

30 虽然前面已经求出了（4-3）式，但由于（4-3）式中的
3、静力关系： 虽然前面已经求出了（4-3）式，但由于（4-3）式中的 尚未求出，所以仍然无法用它计算剪应力，为此，我们还必须 来研究静力平衡关系。 （1）公式推导： 如图所示在横截面内取环形微分面积dA 由于 很微小，故可认为在环形面积内， =常量。 将微面积上的剪应力对o点取力偶矩，可得：

31 则：整个横截面上的扭矩， ∵ 故： （4-4） 令： ——截面极惯性矩

32 （4-5） 则： （2） 讨论：  由公式<4-5>可见，当 时。 代入，得： 用 （4-6） 公式4-4，4-5，4-6的适用范围：

33 a. 由于上述公式是在平面假设的基础上导出的。试验结果表明，只有对横截面不变的圆轴，平面假设才是正确的。因此上述公式只适用于等直圆杆。
b. 当圆形截面沿轴线的变化缓慢时，例如小锥度的圆锥形杆， 也可近似的应用以上公式。 c. 由于在推导上述公式时运用了虎克定律，因此只适用于 时的情况。 （3） 求解截面极惯性矩 和抗扭截面模量Wn  实心圆轴 （4-7）

34 （4-8） 的量纲是长度的四次方。 由公式（4-7）可看出， 由公式（4-8）可看出，Wn 的量纲是长度的三次方。  空心圆轴 （4-9） 式中： d和D分别为空心圆截面的外径和内径。

35 二、强度条件 同拉伸和压缩的强度计算类似，圆轴扭转时的强度要求仍然是： 不超过材料的许用剪切应力 。 故强度条件为： （4-10） 讨论： 的确定 处），即： 发生在Tnmax 处（扭转最大的截面  对于等截面直杆， （4-11）

36 完 不一定发生在Tnmax  对于阶梯形轴，因为Wn不是常量，
所在的截面。这就要求综合考虑扭矩Tn和抗扭截面模量Wn两者的变化情况来确定。 的值，从而可减小 在作截面设计时，可以把杆件设计成空心杆件，以增大 Wn和 的数值。 理论与试验研究均表明，材料纯剪切时的许用切应力[t]与许用正应力[σ]之间存在下述关系： 对于塑性材料． [t] ＝(0.5一0.577) [σ] 对于脆性材料， [t] ＝(0.8—1.0) [σl] 完 式中， [σl ]代表许用拉应力。  轴扭转时，其表层即最大扭转切应力作用点处于纯剪切状态，所以，扭转许用切应力也可利用上述关系确定。 强度条件可进行：强度校核; 选择截面; 计算许可荷载。 目录

37 §4-4 圆轴扭转时的变形和刚度条件 一、圆轴扭转时的变形 由公式（4-4）可知：受扭杆件某一微段两端面的相对转角为： （a）
则：距离为L的两个横截面之间的相对转角为： （b）

38 讨论 ，或轴为阶梯轴（ （c） 当两个截面之间Tn值不变，且轴为等直杆时， 故：（b）式为： （4-12） 式中： 若在两截面之间 ）
——圆杆的抗扭刚度，表示杆抵抗扭转变形能力的强弱 若在两截面之间 ，或轴为阶梯轴（ ） 时，则应分段计算各段的扭转角，然后相加，此时（b）式为： （c）

39 ；随着x的变化而变化，所以它不能够完全表明
二、刚度条件 对于传动轴，有时即使满足了强度条件，还不一定能保证它正常工作。例如：机器的传动轴如有过大的扭转角，将会使机器在运转中产生较大的振动；精密机床上的轴若变形过大，则将影响机器的加工精度等。因此对传动轴的扭转变形要加以限制。 一般地说：标志杆件扭转变形的物理量有两个： 绝对扭转角 相对扭转角 其中： 杆件中任一截面的变形程度，故而它不能作为衡量扭转 变形的物理量。 ；随着x的变化而变化，所以它不能够完全表明

40 ；对于Tn值不变的等直杆来说， 表示了 杆件中单位长度上的扭转角，在杆件中的任意长度上 的变形程度。故而可以作为衡量扭转变形的物理量。 ，因此它是完全表明了杆件内部各截面处 若：记 ；杆件因扭转而破坏时的 值为 。 则： ——允许扭转角 ——刚度条件

41 讨论 对于等直杆来说： （4-13） 注意：此处由 得到的单位为弧度/米。rad/m 而 的单位为度/米 0/m 故上面的刚度条件应改为：
（4-14）

42 三、关于空心轴的讨论： 、若 G=常量，则： 、若 =常量，则： 节约材料。

43 思4—1：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半时，横截面的最大剪应力是原来的 倍？圆轴的扭转角是原来的 倍？
思4—1：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半时，横截面的最大剪应力是原来的 倍？圆轴的扭转角是原来的 倍？ 8 16 思4—2：图示铸铁圆轴受扭时，在＿＿＿＿ 面上发生断裂，其破坏是由 应力引起的。在图上画出破坏的截面。 45 螺旋 最大拉

44 例题4—4、已知：P＝7. 5kW, n=100r/min,最大切应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之比  = 0
求: 实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2；确定二轴的重量之比。 解：计算作用在轴上的扭矩 计算轴中最大的剪应力 实心轴

45 空心轴 d2＝0.5，D2=23 mm 二轴的重量之比=A1 :A2 例4—5、一直径为D1的实心轴，另一内外径之比α＝d2／D2＝0.8的空心轴，若两轴横截面上的扭矩相同，且最大剪应力相等。求两轴外直径之比D2/D1。

46 例4—6、在强度相同的条件下，用d/D=0.5的空心圆轴取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少?如果d/D=0.8，情况又将怎样？
解： 例4—6、在强度相同的条件下，用d/D=0.5的空心圆轴取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少?如果d/D=0.8，情况又将怎样？ （0.512） 解：设实心轴的直径为 d1 ，由

47 例4—7：一厚度为30mm、内直径为230mm 的空心圆管，承受扭矩T=180 kN·m 。试求管中的最大剪应力，使用：
(1)薄壁管的近似理论； (2)精确的扭转理论。 解：(1) 利用薄壁管的近似理论可求得 (2) 利用精确的扭转理论可求得

48 例4—8、一空心圆轴，内外径之比为α=0.5，两端受扭转力偶矩作用，最大许可扭矩为Ｔ，若将轴的横截面面积增加一倍，内外径之比仍保持不变，则其最大许可扭矩为Ｔ的多少倍？（按强度计算）。
解：设空心圆轴的内、外径分别为d、D，面积增大一倍后内外径分别为d1 、 D1 ，最大许可扭矩为Ｔ1

49 例4—9、一空心轴α=d/D=0.8，转速n=250r/m, 功率=60kW，［τ］=40MPa，求轴的外直径D和内直径d。
解： 例—10：水平面上的直角拐，AB段为圆轴，直径为 d，在端点C受铅垂力P作用，材料的剪切弹性模量为G，不计BC段变形。求C点的铅垂位移。

50 解：

51 例4—11、已知一直径d=50mm的钢制圆轴在扭转角为 6°时，轴内最大剪应力等于90MPa，G=80GPa。求该轴长度。
解： （1） （2）

52 例4—12、圆截面橡胶棒的直径d=40mm,受扭后,原来表面上的圆周线和纵向线间夹角由 90°变为 88°。如杆长 l=300mm，试求两端截面间的扭转角；如果材料的剪变模量G=2.7MPa，试求杆横截面上最大剪应力和杆端的外力偶矩ｍ。 解：由

53 例4—13、传动轴传递外力偶矩ｍ＝5kN·m,材料的[τ]=30MPa, G=80GPa, [θ]=0.5°/m,试选择轴的直径ｄ。
解： 完 目录

54 §4-5 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 一、对圆柱形密圈螺旋弹簧的基本假设： 1、 时，可省略 的影响，近似地认为簧丝的横截面与
弹簧轴线在同一平面内。 的影响，近似地认为簧丝的横截面与 2、当簧丝的横截面直径d远小于弹簧圈的平均直径D时，还可略 去簧丝曲率的影响，近似的用直杆公式计算。 二、弹簧丝横截面上的应力 1、内力计算： 如图所示，为一密圈弹簧，沿其轴线作用压力F。现以 簧丝的任意横截面假想地将弹簧分成两部分，并取上一部分为研究对象，如图所示：

55 (c) (d) (a) (b) 为了保持取出部分的平衡，在簧丝横截面上一定有一个与截面相切的内力系，将这个内力系向截面形心简化，即可得到如图所示的Q和T。

56 根据假设可知：计算方法与轴线为直线的圆轴的扭转应力的计算方法相同。
由 2、应力计算： 与剪力Q对应的剪应力 的计算： 根据实用计算方法（即假设 均匀分布于横截面上）， 得： （4-15） 与扭矩T对应的剪应力 的计算方法 根据假设可知：计算方法与轴线为直线的圆轴的扭转应力的计算方法相同。

57 （4-16） 横截面上的某一点处的应力： 在簧丝横截面上，任意点处的总应力是剪切和扭转两种剪应力的矢量和，在图(c)、(d)所示的A点处，达到最大值。 （4-17） 注：上式中，第一项代表剪切的影响，后一项代表扭转的影响。

58 当 时， 与1相比，显然可以省略不计，从而 可得： （4-18） 修正公式 上面的应力分析实际上是在：没考虑簧丝是个曲杆，假设 均匀分布两种情况下进行的，实质上是个近似计算。 现将以上两个因素考虑进去，即可得修正公式如下： （4-19）

59 其中： ——弹簧指数 ——曲度系数 强度条件： （4-20） 式中： ——根据公式（4-20）求出的最大剪应力 ——材料许用剪应力

60 三、弹簧的变形 1、弹簧在变形过程中，外力功的计算 F

61 实验表明在弹性范围内，压力F与变形 成正比，即F与 所示，同在拉伸部分和剪切部分外力功的计算方法一样，此时外力F所做的功W应等于斜直线下阴影部分的面积： 的关系反映在坐标平面内是一条包含原点在内的斜直线。如图(b) 即： (a) 2、弹簧在变形过程中，变形能的计算 如图（c）所示，距圆心为 处的圆周上的剪应力为： (b)

62 若令ds表示簧丝轴线的微分长度，dA表示簧丝横截面的微分面积，n表示弹簧的圈数。
从而，单位体积的变形能： (c) 则，整个弹簧的变形能为： 若令ds表示簧丝轴线的微分长度，dA表示簧丝横截面的微分面积，n表示弹簧的圈数。 则：

63 (d) 3、弹簧变形 的计算 由功能原理可知： 将(a)、(d)两式代入上式，得： （4-21）

64 完 若，记 （4-22） 则，可得： 式中：C——弹簧抵抗变形的能力，称为弹簧刚度 讨论：由上面两式可看出，减小d，增加n和D都可取得增加
的效果。 完 目录

65 §4-6 非圆截面杆扭转的概念 、基本概念： 1、翘曲：取一横截面为矩形的杆，在其侧面上画上纵向线和横向周界线，扭转后发现横向周界线已变为空间曲线，这表明变形后杆的横截面已不再保持为平面，而变为曲面，这种现象，就称为翘曲。（见图<4-9>） 注：从翘曲这种现象可以看出，平面假设对非圆截面杆件的扭转 已不再适用。 图<4-9>

66 2、自由扭转：等直杆在两端受扭转力偶矩作用，且其翘曲不受任
何限制的情况，属于自由扭转。 特 点：杆件各横截面上的翘曲程度相同，纵向纤维的长度 无变化，故横截面上没有正应力而只有剪应力。如 图4-10 图4-10 3、约束扭转：由于约束条件或受力条件的限制，造成杆件各横截 面的翘曲程度不同，这种情况属于约束扭转。 特 点：由于杆件各横截面的翘曲程度不同，这势必引起相 邻两截面之间纵向纤维的长度改变。于是横截面上 除剪应力外还有正应力，见图4-11 。

67 图4-11 4、薄壁杆件与实体杆件在约束扭转时的差别：薄壁杆件（如工字钢、槽钢等，见图4—12）在约束扭转时正应力相当大，而实体杆件（如矩形、椭圆形杆件）因约束扭转而引起的正应力极小，与自由扭转并不太大差别。基于这个原因，我们在实际工作中处理具体问题时，应该划清主次。

68 图4-12 5、杆件扭转时，横截面边缘各点的剪应力情况与边界相切。 图4-13

69 。由剪应力互等定理可知 证：[反证法] 假设边缘各点的剪应力不与边界相切。 如图所示，将它分解为 和 在杆件表面上的 相等，即： 因为：
所以 综上所述，在边缘只可能存在沿边界切线方向的剪应力 二、矩形截面杆扭转时，截面上的应力、变形分析（由于正应力很小，故只研究剪应力） 1、剪应力的计算：

70 对于矩形截面杆中的截面上的应力，如进行详细的理论分析不仅非常困难，而且还要用到其他方面的一些知识，因此，在这里我们就不加推导的直接的引用弹性力学的结果。
矩形截面杆扭转时，它的横截面上剪应力的分布情况大致如图所示，整个截面上的最大剪应力发生在矩形的长边的中点，短边上最大剪应力也发生在短边的中点。 图4-14 （4-23） （4-24）

71 ——长边中点的最大剪应力 式中系数 和 都是与比值h/b有关的系数。可以从表4-2中查到。 2、扭转角的计算： 同上一样，在这里我们也不加推导的直接应用弹性力学的结果： （4-25） 式中： ——抗扭刚度

72 和h/b有关，见表4-1 三、狭长矩形截面杆中的应力变形分析 狭长矩形：h/b>10 时，这时， 用 代b代入式（4—25）得： 表
矩形截面杆扭转时的系数 h/b 1.0 1.2 1.5 2.0 2.5 3.0 4.0 6.0 8.0 10.0 ∞ α 0.208 0.219 0.231 0.246 0.258 0.267 0.282 0.299 0.307 0.313 0.333 β 0.141 0.166 0.196 0.229 0.249 0.263 0.281 γ 1.000 0.930 0.858 0.796 0.767 0.753 0.745 0.743 三、狭长矩形截面杆中的应力变形分析 狭长矩形：h/b>10 时，这时， 用 代b代入式（4—25）得：

73 完 问答题 在狭长矩形截面上，扭转剪应力的变化规律大致如下图所示： 最大剪应力仍发生在长边的中点， 但沿长边各点剪应力的变化不大，接近
相等，在靠近矩边处迅速减小为零。 完 问答题 为什么在矩形的四个拐角上剪应力为零？ 目录

74 §4-7 薄壁杆件的自由扭转 、基本概念： 薄壁杆件：杆件的壁厚远小于横截面的其他两个尺寸（高和宽）
§4-7 薄壁杆件的自由扭转 、基本概念： 薄壁杆件：杆件的壁厚远小于横截面的其他两个尺寸（高和宽） 薄壁杆件 开口薄壁杆件：杆件的截面中线是一条不封闭的折 线或曲线。 闭口薄壁杆件：杆件的截面中线是一条封闭的折线或 曲线。 二、开口薄壁杆件的自由扭转： 1、基本假设：自由扭转时横截面在其本身平面内形状不变，即在变形过程中，横截面在基本平面内的投影只作刚性平面运动。

75 …… 2、扭转角的计算： 令：整个截面的扭转角： 截面各组成部分的扭转角： 由基本假设可知： （a） 令： 整个截面上的扭矩： T
各组成部分的扭矩： T1、T2…….. Ti 显而易见： (b) Tn=T1+T2+………..+Ti+……..=

76 由： 可知： (c) …… …… (d)

77 （g） 令： (e) 得： (f) 式中： ——抗扭刚度 注：由于各种型钢的各狭长矩形连接处有圆角，翼缘内侧有斜
率，因此有必要对In进行修正，修正公式为： ——是修正系数 由 （g）

78 （i） 3、横截面上应力的计算： 令组成截面的任一狭长矩形上，长边各点的剪应力用 表示，则： （h） 由（g）式代入（i）式可得：
讨论：由上式可看出：当 最大时，剪应力 到达最大值 ，故 发生在宽度最大的狭长矩形的 长边上，即： （4-27）

79 4、剪应力的方向： 沿截面的边缘，剪应力与边界相切，形成顺流，如图所示。 5、 中线为曲线的开口薄壁杆件，应力的计算，若其厚度不变， 计算时可将截面展直，作为狭长矩形截面处理。 附：扭转静不定问题： 扭转静不定问题的求解同拉压静不定问题的求解方法上是一致。均须综合考虑：（１）静力平衡条件； （２）几何方程； （３）物理方程。 其中较为关键及较难的地方仍在几何方面。（该问题通过具体习题讲解即可）

80 例4—13、一圆钢管套在一实心圆钢轴上，长度均为ｌ，钢管与钢轴材料相同，先在实心圆轴两端加外力偶矩ｍ，使轴受扭后，在两端把管与轴焊起来，去掉外力偶矩。求此外管与内轴的最大剪应力。

81 例4—14、两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C受外力偶矩m作用，试求杆两端的支座反力偶矩。
解：外管与内轴承受的扭矩相等，设为T 例4—14、两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C受外力偶矩m作用，试求杆两端的支座反力偶矩。

82 解： 静力平衡方程为： 变形协调条件为： 即：

83 n1=n2= 120r/min 例题4-15、已知：P1＝14kW, P2= P3=P1/2， n1=n2=120r/min,
z1=36,z3=12;d1=70mm, d 2=50mm, d3=35mm.求:各轴横截面上的最大切应力。 解： 1、计算各轴的功率与转速 P1=14kW, P2= P3= P1/2=7 kW n1=n2= 120r/min 2、计算各轴的扭矩 M1=T1=1114 N.m M2=T2=557 N.m M3=T3=185.7 N.m

84 3、计算各轴的横截面上的最大切应力 谢 谢 大 家 ! 完 目录