2．4　 任意角的三角函数 一、素质教育目标 (一)知识教学点 1．任意角三角函数定义． 2．三角函数定义域．

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1 2．4　 任意角的三角函数 一、素质教育目标 (一)知识教学点 1．任意角三角函数定义． 2．三角函数定义域． 3．终边相同的角的同一三角函数值相等． 4．三角函数在各个象限的符号． (二)能力训练点 1．理解并掌握任意角三角函数定义． 2．树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数． 二、教学重点、难点及解决办法 1．教学重点：任意角的三角函数的定义；终边相同的角的同一三角函数值相等． 2．教学难点：任意角的三角函数的定义 3．教学疑点：正确理解三角函数可看作以“实数”为自变量的函数；三角函数定义域的确定．

2 三、课时安排 本课题安排1课时． 四、教与学过程设计 (一)复习0°～360°的三角函数定义 师：在本章的第1节我们已经研究了0°～360°间的角的三角函数定义．设0°≤α＜360°，如图2-11示，请说出sinα、cosα、tgα、ctgα的定义． 生：如图2-11示，设有一个角α，O≤α＜360°，以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴ox，建立直角坐标系，在∠α终 的三角函数为：

3 (二)任意角的三角函数定义 师：我们可再将三角函数的概念推广到任意角的情形，如图2-12示，设α是一个任意大小的角，角α的终边上任意一点的坐标是P(x，y)，它与原点的距离是r(r＞o)，则∠α的正弦，余弦、正切、余切分别是

4 有时我们还要用到下面两个三角函数 提问：对于确定的角α，这六个比值的大小和P点在角α的终边上的位置是否有关系？ 生：与在0°～360°的情形类似，利用三角形相似的知识，我们一样可以得到结论：对于确定的角α，这六个比值的大小与P点在∠α的终边上位置无关，只与角α的大小有关． (三)三角函数是以实数为自变量的函数

5 师：如图2—13示，对于确定的角α、sinα、cosα、tgα、ctgα分别对应的四个比值各是一个确定的实数．因此，正弦、余弦、正切、余切分别可看成从一个角的集合到一个比值的集合的映射．它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，这些函数都叫做三角函数． 提问：引进了弧度制，请同学们思考能否将三角函数看成是以实数为自变量的函数？ 生：可以，引进弧度制后，我们就可在角的集合与实数集之间建立一一对应关系，三角函数就可以看成是以实数为自变量的函数． 师：非常正确！例如sin2，实数2就与2弧度的角对应，只是“弧度”二字通常略去不写．这样多一个实数，对应着一个确定的角(其弧度数等于这个实数)，而这个确定的角又对应着它的三角函数值(所取的实数应使相应的三角函数有意义)，从而这个实数就对应着它的三角函数值，即： 实数→角(其弧度数等于这个实数)→三角函数值(实数)

6 (四)三角函数定义域 师：定义域是函数的三要素之一，请同学们根据任意角三角函数定义思考六个三角函数的定义域，思考时要抓住的关键是当分母等于零时比值无意义，什么情况下会使比值分母等于零呢？ 而言α∈R． 落在x轴上，因此对ctgα而言α≠kπ，k∈Z．

7 Z；cscα的定义域是α≠kπ，k∈Z．请同学们课后继续思考(引导学生阅读课本P．134三角函数定义域表，强调要特别注意正切函数和余切函数的定义域)．
解：∵x=-2，y=-3，

8 提问：若将P(-2，-3)改为P(-2a，-3a)，(a≠0)，求α的六个三角函数值呢？(分a＞0，a＜0两种情形讨论．)
例2　 求下列各角的六个三角函数值． 解：(1)∵当α=π时，x=-r，y=0， ∴sinπ=0，cosπ=-1． tgπ=0，ctgπ不存在， secπ=-1，cscπ不存在．

9 (3)当α=2π时，x=r，y=0． ∴sin2π=0，　　　　 cos2π=1． tg2π=0，　　　　　　　 ctg2π不存在 sec2π=1，　　　　　　 csc2π不存在． (五)三角函数值的符号 师：今后我们还要经常用到三角函数值在各个象限的符号．由于从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值，根据三角函数定义可知：三角函数值符号取决于各象限内的坐标符号．请同学们分象限思考四个象限中三角函数值的符号，请同学们思考如何讨论？

10 生甲：观察六个三角函数，可发现sinα与cosα，cosα与secα，tgα与ctgα互为倒数，因此它们的符号规律相同．
＞0，∴sinα、cscα是正的，而当α∈第三、四象限时， y＜ 0， r＞ 0，∴sinα、cscα是负的． 第二、三象限的角是负的． tgα＞0，ctgα＞0，而当α∈第二、四象限时，xy＜0，∴tgα＜0，ctgα＜0． 师：现在我们将以上讨论结果整理成图2-15．

11 注意各限象注明的函数为正，其余为负． (六)诱导公式一 师：上节课我们已学过同终边的角，例如390°和-330°都30°终边位置相同，如图2-16所示，由三角函数定义可知它们的三角函数值相同，即 sin390°=sin30°　　　　　　　　 cos390°=cos30° sin(-330°)=sin30°　　　　　 　 cos(-330°)=cos30° 推广到一般情形，我们可得到诱导公式一：终边相同的角的同一三角函数的值相等．即：

12 sin(2kπ+α)=sinα；　　　　　 cosα(2kπ+α)=cosα；
tg(2kπ+α)=tgα；　　　　　　 ctgα(2kπ+α)=ctgα； 这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题． 例3　 确定下列三角函数值符号：

13 例5　 求值：sin(-1320°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°+tg4950°．
(七)总结 本节课我们学习了任意角三角函数定义，三角函数的定义域，以及三角函数值的符号，其中正确理解三角函数定义是前提．此外还学习了终边相同的角的三角函数值相同，它的作用是将任意角的三角函数化为0～2π间角的三角函数． 六、作业 P．147中习题十二1—7． 七、板书设计

14 八、参考资料 《高中数学精讲精练》(一) 《三点一测丛书》高一数学