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自动控制原理 第十章 非线性控制系统
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本章主要内容 非线性控制系统概述 相平面法 非线性系统的相平面分析 描述函数法 非线性系统的描述函数分析 了解 熟悉 掌握
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10.1 非线性控制系统概述 1. 非线性系统的基本概念 不能用线性方程描述或不满足叠加原理的系统都是非线性系统;
10.1 非线性控制系统概述 1. 非线性系统的基本概念 不能用线性方程描述或不满足叠加原理的系统都是非线性系统; 非线性是宇宙间的普遍现象,实际系统都是非线性系统,线性系统只是在特定条件下的近似描述; 系统的非线性程度比较严重,无法近似为线性系统时,只能用非线性系统的方法进行分析和设计; 非线性系统的运动形式多样,种类繁多; 有两种常见情况: ①系统中存在非线性元件;②为了某种控制目的,人为引进的非线性。
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非线性系统的简单例子(见第二章) 液位系统中,H为液位高度,Qi 为液体输入流量,Qo为液体输出流量,C为储液罐的截面积。 根据水力学原理知
k 是取决于液体粘度的系数 系统的输入输出动态方程为 属于非线性微分方程。 该系统可以近似为线性系统
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2. 非线性系统的一般数学模型 一个单输入单输出非线性特性的数学描述为 其中 和 为非线性函数。
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3. 常见的典型非线性特性 非线性特性中,死区特性、饱和特性、间隙特性、继电特性等是最常见的,也是最简单的,而且常常难以线性化。
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(1) 死区特性(不灵敏区特性) 测量元件、放大元件及执行机构的不灵敏区。 特征:当输入信号较小时,系统没有输出;
(1) 死区特性(不灵敏区特性) x z 测量元件、放大元件及执行机构的不灵敏区。 特征:当输入信号较小时,系统没有输出; 当输入信号大于某一数值时才有输出。 对系统性能的主要影响:①使稳态误差增大;②产生时间滞后;③优点是能滤去小幅值的干扰信号,提高系统的抗干扰能力。
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利用死区特性的应用例 ——液位控制系统 对液位误差设置死区,可防止执行机构频繁动作,减少对执行机构的磨损,还可消除小幅度检测噪声的影响。
输入流量 液位 误差 控制器 调节阀 液位系统 检测
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(2) 饱和特性 放大器及执行机构受电源电压、功率或结构上的限制导致饱和现象。
(2) 饱和特性 x z 放大器及执行机构受电源电压、功率或结构上的限制导致饱和现象。 特点:当输入信号超出其线性范围后,输出信号不再随输入信号变化,而是保持恒定。 主要影响:在大信号作用下,放大倍数减小稳态精度↓,快速性↓ ,但相对稳定性↑。(分析例见p58)
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饱和特性导致稳态误差的例子 ——水箱水位控制系统
当出水流量大于阀门最大开度所对应的进水流量时(输入饱和),水位就会下降,出水流量也随之减小,达到平衡时水位会低于设定值。 + - PID 控制器 y 出水 阀门开度u 误差 e 进水 水箱
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饱和特性导致稳态误差的例子 ——电机调速系统
电机系统在重载情况下,输入电压饱和,转速会低于设定值(转速↓使电流↑、转矩↑)。 输入电压 误差 转速 PID转速 调节器 功率 放大器 电机 系统 转速检测
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(3)间隙(或滞环、回环)特性 如齿轮传动系统中的齿隙、铁磁元件中的磁滞等。
影响:通常会使系统的输出在相位上产生滞后,导致稳定裕量减小、动态性能恶化,甚至产生自持振荡(振幅和频率固定的周期运动)。
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(4) 继电器特性 y x y(t) x(t) y x 具有死区的继电器 理想继电器 例:开关型控制的电冰箱、电熨斗等
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x y y x 具有滞环的继电器 具有死区和滞环的继电器
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典型非线性环节的正弦响应 y(t) ωt y(t) ωt ωt y(t) y(t) ωt
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不适用叠加原理(与线性系统的本质区别),没有一种通用方法来处理各种非线 性问题
4. 非线性系统的特点 不适用叠加原理(与线性系统的本质区别),没有一种通用方法来处理各种非线 性问题 稳定性等性能分析复杂而困难 稳定性等不仅与系统的结构和参数有关,也与初始条件、输入信号的类型和幅值有关。 线性系统:只有一个平衡状态 非线性系统:可能有多个平衡状态
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无论初始状态为何值,都有 , 系统稳定,只有一个平衡状态 。
例:线性系统 的稳定性和平衡点 t x(t) 无论初始状态为何值,都有 , 系统稳定,只有一个平衡状态 。
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例:非线性一阶系统 ① ② 令 ,可知该系统存在两个平衡状态 设系统的初始状态为 x0 ,则解为 x(t) 如 ①、 ②,有突变
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平衡状态的稳定性不仅与系统的结构和参数有关,而且与系统的初始条件有直接的关系。
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可能存在自持振荡(极限环)现象 频率响应发生畸变 自持振荡:指没有外界周期变化信号作用时,系统内部产生的具有固定振幅和频率的稳定周期运动。
线性系统在临界稳定的情况下也可能产生周期运动,但其振幅并不固定,取决于初始状态,所以不是自持振荡(参见p32)。 频率响应发生畸变 在正弦输入下,线性系统的稳态输出是同频率的正弦信号;而非线性系统的输出则是周期和输入相同、含有高次谐波的非正弦信号。
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5. 非线性系统的分析与设计方法 非线性系统分析的重点: 某一平衡点是否稳定,如果不稳定或性能不好应如何校正;
系统中是否会产生自持振荡,如何确定其周期和振幅; 如何利用、减弱或消除自持振荡以获得所需要的响应性能。
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非线性系统的基本研究方法: 小范围线性近似法 逐段线性近似法 相平面法(精确时域法,重点)
图解法,只适用于阶数最高为二阶的系统。 描述函数法(近似频域法:只保留基波,近似为线性) 适用于具有低通滤波特性的各种阶次的非线性系统。 李雅普诺夫法(构造正定能量函数,使其导数负定) 计算机仿真法
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10.2 相平面法 相平面法的基本概念 相轨迹的绘制 由相轨迹图求时间及时间响应 奇点与极限环的类型 非线性控制系统的相平面分析
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一、相平面法的基本概念 针对二阶时不变非线性微分方程描述的系统(也可用于线性):
相平面:由系统某一变量及其导数构成的用以描述系统运动状态的平面。 相轨迹:系统变量及其导数从初始时刻所对应的状态点( )出发,随时间变化在相平面上描绘出来的轨迹。 相轨迹图:相平面 + 相轨迹簇
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例: 单位反馈系统 属于绘制相轨迹图的解析法之一
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根据相轨迹分析系统性能 是否收敛? 收敛的平稳性和快速性? 超调量? tr、tp、ts? 稳态误差?
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任一普通点有且只有一条相轨迹通过。 (∵其斜率唯一确定)
相轨迹的基本特征 考虑非线性系统方程: (1)相轨迹的斜率 斜率表示相轨迹通过该点的运动方向 (2)相轨迹的普通点 任一普通点有且只有一条相轨迹通过。 (∵其斜率唯一确定)
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(3)相轨迹的奇点(平衡点) 满足 奇点一定在 x 轴上 相轨迹上斜率不确定的点 通过奇点的相轨迹可能不止一条,甚至可能有无穷 多条; 线性定常系统通常只有一个奇点(原点或 x 轴上 的其他点),而非线性系统则可能有多个奇点; 当奇点连续时就构成奇线。
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有奇线的系统举例 对应奇点 奇点以外
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(4) 相轨迹的运动方向 上半平面: 向右移动 下半平面: 向左移动 大致按顺时针运动 (5) 相轨迹通过横轴的方向 横轴上的普通点 相轨迹以 90°穿越 x 轴
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(6) 相轨迹的对称性 注意:对称性并不一定指同一条相轨迹
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二、相轨迹的绘制 1. 解析法(精确绘图法) 1.解析法 2.等倾线法 3.圆弧法 4.计算机绘制法 若该式可以分解为 两端积分
1.解析法 2.等倾线法 3.圆弧法 4.计算机绘制法 1. 解析法(精确绘图法) 若该式可以分解为 两端积分 可解出 和 的关系式,( , )为初始点。
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例: 考虑二阶系统 (线性系统,极点为 ) (1) 导出相轨迹方程 (2) 两边积分得 振幅不固定,不是自持振荡 对称性?
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2. 等倾线法(近似绘图的通用方法) 先确定相轨迹的等倾线(等斜率线),进而绘出相轨迹的切线方向场,然后从初始条件出发,沿方向场绘制相轨迹。
绘制步骤: 相轨迹的切线斜率 (1)导出等倾线方程 表示相平面上的一条曲线(等倾线),相轨迹经过该曲线上任一点时,其切线的斜率都相等。 。
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说明 线性系统的等倾线通常是直线 非线性系统的等倾线则一般是曲线 简单非线性系统常可按区域划分为多个线性系统,对应区域的等倾线也是直线。
对称于纵轴,整个x轴为奇线 等倾线为直线,较特殊的情况 简单非线性系统常可按区域划分为多个线性系统,对应区域的等倾线也是直线。
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(2)α取不同值时,画出若干不同的等倾线,在每条等倾线上画出表示斜率为α的小线段,构成相轨迹的切线方向场
(3)从相轨迹的初始状态点按顺序将各小线段连接起来,就得到了所求的相轨迹 。 等倾线为直线的示意图 等倾线分布越密,则所作的相轨迹越准确,但绘图工作量增加。绘图过程中会产生的累积误差。
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例:绘制下列二阶系统的相轨迹 (线性系统,极点为 ) 对称性? 解:等倾线方程为 奇点为(0,0)
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可以证明,每一条相轨迹都是向心螺旋线,说明系统衰减振荡
所有的相轨迹都最终收敛到奇点,系统渐近稳定
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例:绘制下列二阶系统的相轨迹 (线性系统,极点为-1,-2) 解: (1)导出等倾线方程 对称性? 容易求出奇点为(0,0)。
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列出等倾线斜率与相轨迹切线斜率α的关系: α
-1 -5 -3 ∞ 1 -2 β -0.67 -0.5 两条特殊的等倾线: 两条特殊的等倾线斜率对应系统的两个极点, 其中一条是相轨迹的渐近线(说明见后)。
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说明1:两条特殊等倾线斜率对应系统的两个极点
注:复数极点时不存在这样的等倾线( ∵ α为实数)
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说明2:一条特殊等倾线为相轨迹的渐近线 思路:分析β=-1、-2周围等倾线上相轨迹斜率α的变化情况,见下页图。
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特殊等倾线为相轨迹渐近线的示意图 (1) (2) (3)
斜率为-1的等倾线,其周围的相轨迹都趋向它,所以是渐进线;而斜率为-2的等倾线,其周围的相轨迹都离开它,所以不是渐进线。
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所有的相轨迹都最终收敛到奇点,说明系统渐近稳定;相轨迹都趋向于特殊的等倾线,说明系统响应为非振荡衰减形式。
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三、由相轨迹图求时间及时间响应 (1)积分法 因为 ,设点 的对应时间为 ,点 的对应时间为 ,则
因为 ,设点 的对应时间为 ,点 的对应时间为 ,则 将两点间的相轨迹取倒数,计算阴影区面积,即可得t 。 连续计算多个点就可得到系统的时间响应曲线 或 。
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特点:基于准确的时间算式,但难以精确计算面积。
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连续计算多个点就可得到系统的时间响应曲线 或 。
(2) 增量法 相轨迹A-B段的平均速度: 近似式 相轨迹A-B段所用的时间: 连续计算多个点就可得到系统的时间响应曲线 或 。 特点:基于近似的时间算式,但计算容易。
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四、奇点与极限环的类型 1. 线性系统的奇点类型 例: 单位反馈系统 奇点为(0, 0),根据特征根在s平面上的分布,相轨迹有不同的形态。
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极点分布与奇点的类型 极点分布 奇点 相轨迹图 极点分布 奇点 相迹图 中心点 鞍点 稳定 焦点 不稳定 焦点 稳定 节点 不稳定 节点
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2. 非线性系统的奇点类型 分析思路与方法:将非线性系统在奇点处线性化,根据线性化系统特征根的分布,可确定奇点的类型,进而确定奇点附近相轨迹的运动形式。 非线性系统 在奇点 处的线性化: 忽略高次项 (按泰勒级数展开)
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例:已知非线性系统的微分方程为 试求系统的奇点,并绘制系统的相平面图。 解:系统相轨迹微分方程为 令 则求得系统的两个奇点
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在奇点(0,0)处 ∴线性化方程为 特征根为 ,故奇点(0, 0) 为稳定焦点。 在奇点(-2,0) 处 ∴线性化方程为 -
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非线性系统的运动及其稳定性与初始条件有关。
特征根为 故奇点(-2,0)为鞍点。 运用等倾线等方法可概略绘制相轨迹图。 非线性系统的运动及其稳定性与初始条件有关。
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3. 极限环及其分类 非线性系统的运动除了发散和收敛外,还有一种运动模式—自持振荡,自持振荡在相平面上表现为一个孤立的封闭轨迹线—极限环。
注:线性系统不会产生极限环,参见p32例。 以范德波尔(van der pol)方程为例,说明极限环的稳定性:
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a) 稳定的极限环 b) 不稳定的极限环 极限环的3种类型 c)半稳定极限环 d)半稳定极限环
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五、非线性控制系统的相平面分析 具有饱和特性的非线性反馈系统 滞环继电型非线性反馈系统
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如何利用线性系统的相轨迹 绘制简单非线性系统的相轨迹?
步骤: 将典型非线性特性用分段的线性特性来表示。 在相平面上选择合适的坐标,常用误差及其导数。 根据分段的线性特性将相平面分成若干区域,在每个区域内都呈线性特性。 确定每个区域的奇点类别和在相平面上的位置。 在各个区域内分别画出各自的相轨迹。 最后将各分区的相轨迹进行衔接就得到整个非线性系统的相轨迹。
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1. 具有饱和特性的非线性系统 (t≥0+)
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相轨迹最终趋于坐标原点,系统稳定,且没有稳态误差。
Ⅰ e Ⅲ Ⅱ o b -b Ⅰ区 D A(R,0) Ⅱ区 Ⅲ区 C B 在Ⅰ区,奇点为原点,是稳定节点或焦点,相轨迹都渐进收敛或按螺旋线收敛到奇点(见前面例)。 在Ⅱ、Ⅲ区, 都没有奇点,且等倾线为一簇平行的水平线。 注1 注2 相轨迹最终趋于坐标原点,系统稳定,且没有稳态误差。
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注1:关于渐近线的说明 在Ⅲ区, 说明渐近线上下的相轨迹都趋向渐进线。Ⅱ区亦如此。 Ⅰ e Ⅲ Ⅱ o b -b 返回
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初值不为零的例:Y(s)/U(s)=K/(Ts+1),K(as+1)/(Ts+1)2 时
注2:关于 ė(0)=0 的说明 初值不为零的例:Y(s)/U(s)=K/(Ts+1),K(as+1)/(Ts+1)2 时 规律? 返回
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不同幅值参考输入时的相轨迹 超调与峰值时间? 上升时间? 幅值较大时 调节时间? 稳态误差? 幅值较小时 C A(R,0) B D Ⅰ e
Ⅲ Ⅱ o b -b 上升时间? A(R,0) B Ⅰ e Ⅲ Ⅱ o b -b 幅值较小时 幅值较大时 调节时间? 稳态误差?
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容易证明:设Ⅰ区渐近线斜率为-a(a>0), 则一定有 KM < ab(见后页)
Ⅰ区奇点为稳定节点的相轨迹 Ⅰ e Ⅲ Ⅱ o b -b 渐近线 A(R,0) 容易证明:设Ⅰ区渐近线斜率为-a(a>0), 则一定有 KM < ab(见后页)
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证明:一定有 KM < ab
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Simulink仿真结构图
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情况①的相轨迹 R=5 R=1 R=2 渐近线
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情况①的时间响应曲线 R=5时的y 快速性、平稳性都与R有关 R=2时的y R=1时的y R=2时的u R=1时的u R=5时的u
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情况②的相轨迹 R=0.5 R=0.7 R=1 斜率为-0.5的 渐近线 渐近线
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情况②的仿真结果 R=1时的y R=0.7时的y R=0.5时的y R=1时的u R=0.7时的u R=0.5时的u
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2. 具有继电特性的非线性系统 Ⅰ Ⅱ o b -b 切换线或开关线
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相轨迹最终趋向极限环,而从极限环内出发的相轨迹也将趋向极限环,所以是稳定的极限环,系统产生自持振荡。
Ⅰ Ⅱ e o b -b Ⅰ区 Ⅱ区 自持振荡的直观解释? 都没有奇点,且等倾线为一簇平行的水平线。 相轨迹最终趋向极限环,而从极限环内出发的相轨迹也将趋向极限环,所以是稳定的极限环,系统产生自持振荡。
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K=T=M=b=1 时的等倾线及相轨迹图
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Simulink仿真结构图
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R=0 时的仿真结果 y u
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R=0时的相轨迹 开关线
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R=1 时的仿真结果 y u
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R=1时的相轨迹 开关线
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R=2 时的仿真结果 y u
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R=2 时的相轨迹 开关线
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三组相轨迹的比较(R=0, 1, 2) R=0 R=1 R=2 都趋向极限环
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三组仿真结果的误差比较(R=0, 1, 2) e3 e2 e1 稳态时,振荡周期及振幅都相同
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稳态时,振荡周期及振幅都相同(转折点对应切换点)
三组仿真结果的误差变化率比较(R=0, 1, 2) 稳态时,振荡周期及振幅都相同(转折点对应切换点)
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思考:若将具有滞环的继电器改为理想继电器,相轨迹及响应性能会有什么变化?
- 思考:若将具有滞环的继电器改为理想继电器,相轨迹及响应性能会有什么变化?
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实验2:非线性系统(2学时) 联系:李亚力老师 电气信息学院专业实验楼403 →8216,
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练习 B (1), (2); B10.25 注:选取 为相平面,并设参考输入r=0 或r=1(t)。
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