第一章 离散时间信号与系统.

Presentation on theme: "第一章 离散时间信号与系统."— Presentation transcript:

1 第一章 离散时间信号与系统

2 傅里叶级数(Fourier Series)、傅里叶变换(Fourier Transform)、连续时间信号的抽样定理。
学习目标 离散时间信号的表示及运算； 线性移不变系统的定义和性质； 常系数线性差分方程； 傅里叶级数(Fourier Series)、傅里叶变换(Fourier Transform)、连续时间信号的抽样定理。

3 信号是传递信息的函数,它可表示成一个或几个独立变量的函数。
1-1 离散时间信号-序列 一.序列 1.信号及其分类 (1)信号 信号是传递信息的函数,它可表示成一个或几个独立变量的函数。 如，f(x); f(t); f(x,y)等。 (2) 连续时间信号与模拟信号 在连续时间范围内定义的信号,幅值为连续的信号称为模拟信号,连续时间信号与模拟信号常常通用。

4 时间为离散变量的信号称作离散时间信号；而时间和幅值都离散化的信号称作为数字信号。
1-1 离散时间信号-序列 (3) 离散时间信号与数字信号 时间为离散变量的信号称作离散时间信号；而时间和幅值都离散化的信号称作为数字信号。 离散时间信号又称作序列。通常，离散时间信号的间隔为T，且是均匀的，故应该用x(nT）表示在nT的值,由于x(nT)存在存储器中,加之非实时处理,可以用x(n)表示x(nT),即第n个离散时间点的值,这样x(n)就表示一序列数,即序列：﹛x(n)﹜。 为了方便，通常用x(n)表示序列﹛x(n)﹜，如下图所示：

5 x(0) x(n) x(1) x(-1) x(2) x(-2) n 1-1 离散时间信号-序列 -2 -1 1 2
1-1 离散时间信号-序列 x(n) x(0) x(1) x(-1) x(2) x(-2) n -2 -1 1 2 注意：x[n]只在n为整数时才有意义，n不是整数没有定义， 不意味着等于0。

6 1-1 离散时间信号-序列 在MATLAB中，可用一个适当值的行向量来表示一个有限长序列。但是这样一个向量并没有任何有关样本位置n的信息，因此，x(n)的准确表示要求有两个向量：一个对x，另一个对n。例如，一个序列x(n)={2,1,-1,0,1,4,3,7}(0值所在位置对应n=0时）在MATLAB中能表示为： >> n=[-3,-2,-1,0,1,2,3,4]; x=[2,1,-1,0,1,4,3,7]; 在MATLAB中，表达式x(n)表示取序列x的第n个值，n必须是正整数，从1开始。 由于有限的存储空间限制，一个任意无限长序列不能用MATLAB表示。

7 1-1 离散时间信号-序列 二. 序列的运算 1.移位 当m为正时， x(n-m)表示依次右移m位； x(n+m)表示依次左移m位。

8 例： x(n) n 1-1 离散时间信号-序列 -1 1 2 1/2 1/4 1/8 ... -2 1/2 1/4 1/8 1 x(n+1)
1-1 离散时间信号-序列 -1 1 2 x(n) 1/2 1/4 1/8 ... -2 n 1/2 1/4 1/8 1 x(n+1) n -1 -2

9 1-1 离散时间信号-序列 1/2 1/4 1/8 1 x(n+1) n -1 -2

10 1-1 离散时间信号-序列 移位的MATLAB表示：sigshift( ) function [y,n]=sigshift(x,m,n0) % implements y(n)=x(n-n0) n=m+n0; y=x;

11 如果有x(n),则x(-n)是以n=0为对称轴将x(n)加以翻褶的序列。
1-1 离散时间信号-序列 2.翻褶(折迭) 如果有x(n),则x(-n)是以n=0为对称轴将x(n)加以翻褶的序列。 例： -1 1 2 x(n) 1/2 1/4 1/8 ... -2 n

12 1-1 离散时间信号-序列 ... -2 -1 1 2 1/8 1/4 1/2 x(-n) n

13 function [y,n]=sigfold(x,n) %implement y(n)=x(-n) y=fliplr(x);
1-1 离散时间信号-序列 翻褶的MATLAB表示:sigfold( ) function [y,n]=sigfold(x,n) %implement y(n)=x(-n) y=fliplr(x); n=-fliplr(n);

14 两序列的和是指同序号(n)的序列值逐项对应相加得一新序列。
1-1 离散时间信号-序列 3.和 两序列的和是指同序号(n)的序列值逐项对应相加得一新序列。 例：z(n)=x(n)+y(n)

15 1-1 离散时间信号-序列 x(n) 1 1/2 1/4 1/8 n -2 -1 2 … y(n) 1 2 3 1/2 1/4 -2 -1
1-1 离散时间信号-序列 x(n) 1 1/2 1/4 1/8 n -2 -1 2 … y(n) 1 2 3 1/2 1/4 -2 -1 n

16 1-1 离散时间信号-序列 -2 -1 1 2 1/4 3/2 9/4 25/8 Z(n) . … n

17 1-1 离散时间信号-序列 求和的MATLAB表示：sigadd( ) function [y,n]=sigadd(x1,n1,x2,n2) %implements y(n)=x1(n)+x2(n) n=min(min(n1),min(n2)):max(max(n1),max(n2)); y1=zeros(1,length(n)); y2=y1; y1(find((n>=min(n1))&(n<=max(n1))= =1))=x1; y2(find((n>=min(n2))&(n<=max(n2))= =1))=x2; y=y1+y2;

18 1-1 离散时间信号-序列 4. 乘积 是指同序号(n)的序列值逐项对应相乘。

19 1-1 离散时间信号-序列 乘积的MATLAB表示：sigmult( ) function [y,n]=sigmult(x1,n1,x2,n2) %implements y(n)=x1(n)*x2(n) n=min(min(n1),min(n2)):max(max(n1),max(n2)); y1=zeros(1,length(n)); y2=y1; y1(find((n>=min(n1))&(n<=max(n1))= =1))=x1; y2(find((n>=min(n2))&(n<=max(n2))= =1))=x2; y=y1.*y2;

20 设某一序列为x(n),则x(n)的累加序列 y(n)定义为
1-1 离散时间信号-序列 5. 累加 设某一序列为x(n),则x(n)的累加序列 y(n)定义为 即表示n以前的所有x(n)的和。 累加的MATLAB表示：sum(x((n1:n2))

21 1-1 离散时间信号-序列 6.差分 前向差分（先左移后相减）： 后向差分（先右移后相减） ：

22 （1） 抽取： x(n) ， x(mn), m为正整数。
1-1 离散时间信号-序列 7.尺度变换 （1） 抽取： x(n) ， x(mn), m为正整数。 例如， m=2， x(2n)，相当于两个点取一点；以此类推。 3 x(n) 1 2 3 1/2 1/4 -2 -1 n x(2n) 1 1/4 -1 n

23 1-1 离散时间信号-序列 注意： 抽取： x(n) ， x(mn), m为正整数。 不是简单的时间轴的压缩，而应理解为是以1/m倍的抽样频率（ ）对原连续信号的抽样，相当于将抽样时间间隔由T变成mT。

24 （2）插值： x(n) ， x(n/m), m为正整数。
1-1 离散时间信号-序列 （2）插值： x(n) ， x(n/m), m为正整数。 例如， m=2， x(n/2)，相当于两个点之间插一个点；以此 类推。通常，插值用 I倍表示，即插入（I-1）个值。 x(n/2) 1 2 1/2 -2 -1 n 。 1 2 1/2 -1 n x(n)

25 设序列x(n),h(n),它们的卷积和y(n)定义为
1-1 离散时间信号-序列 8.卷积和 设序列x(n),h(n),它们的卷积和y(n)定义为 卷积和计算分四步：折迭(翻褶),位移,相乘,相加。

26 1-1 离散时间信号-序列 例1-7： 求：

27 解： 1. 翻褶 .以m=0为对称轴，折迭h(m) 得到h(-m)，对应序号相乘，相加 得 y(0)； 2. 位移一个单元，对应序号相乘，
1-1 离散时间信号-序列 解： 1. 翻褶 .以m=0为对称轴，折迭h(m) 得到h(-m)，对应序号相乘，相加 得 y(0)； 2. 位移一个单元，对应序号相乘， 相加得 y(1)； 3. 重复步骤2，得y(2)， y(3)， y(4), y(5),如下所示。

28 1-1 离散时间信号-序列 在哑变量坐标m上作出x(m),h(m) x(m) 1 2 3 1/2 3/2 m 1 2 m h(m)

29 1-1 离散时间信号-序列 1 2 3 1/2 3/2 m x(m) x(m) 1 2 3 1/2 3/2 m 翻褶
1-1 离散时间信号-序列 1 2 3 1/2 3/2 m x(m) x(m) 1 2 3 1/2 3/2 m 翻褶 h(-m)=h(0-m) m -2 -1 1 位移1 m h(1-m) -1 1 对应相乘，逐个相加: 得 得y(0)=0

30 1-1 离散时间信号-序列 1 2 3 1/2 3/2 m x(m) 1 2 3 1/2 3/2 m x(m) m h(2-m) 2 1
1-1 离散时间信号-序列 1 2 3 1/2 3/2 m x(m) 1 2 3 1/2 3/2 m x(m) m h(2-m) 2 1 -1 2 m h(3-m) 3 1 位移 2 位移 3 对应相乘，逐个相加: 得 得

31 1-1 离散时间信号-序列 3 1 2 1/2 3/2 m x(m) 1 2 1/2 3/2 m x(m) 3 3 m h(5-m) 1 2
1-1 离散时间信号-序列 3 1 2 1/2 3/2 m x(m) 1 2 1/2 3/2 m x(m) 3 3 m h(5-m) 1 2 4 5 位移 4 位移 5 m h(4-m) 3 1 2 4 对应相乘，逐个相加: 得 得

32 1-1 离散时间信号-序列 -1 1 2 3 4 5 y(n) n 1/2 5/2 3/2 3/2

33 function[y,ny]=conv_m(x,nx,h,nh)
1-1 离散时间信号-序列 (有限长序列）卷积的MATLAB实现：conv_m( ) function[y,ny]=conv_m(x,nx,h,nh) %Modified convolution routine for signal processing nyb=nx(1)+nh(1); nye=nx(length(x))+nh(length(h)); ny=[nyb:nye]; y=conv(x,h);

34 三.几种常用序列 1-1 离散时间信号-序列 1.单位抽样序列(单位冲激) 1 -2 -1 2 n 1 n -2 -1 1 n0
1-1 离散时间信号-序列 三.几种常用序列 1.单位抽样序列(单位冲激) 1 -2 -1 2 n 1 MATLAB表示：impseq( ) function [x,n]=impseq(n0,n1,n2) %Generates x(n)=delta(n-n0);n1<=n<=n2 n=[n1:n2];x=[(n-n0)= =0]; n -2 -1 1 n0

35 ... 1-1 离散时间信号-序列 2.单位阶跃序列 u(n) 1 2 3 -1 n u(n) MATLAB表示：stepseq()
1-1 离散时间信号-序列 2.单位阶跃序列 u(n) ... 1 2 3 -1 n u(n) MATLAB表示：stepseq() function [x,n]=stepseq(n0,n1,n2) %Generates x(n)=u(n-n0);n1<=n<=n2 n=[n1:n2];x=[(n-n0)>=0];

36 1-1 离散时间信号-序列 3.矩形序列 -1 ... 1 2 3 n RN(n) N-1 N

37 a为实数，当 1-1 离散时间信号-序列 4.实指数序列 5.复指数序列
1-1 离散时间信号-序列 4.实指数序列 a为实数，当 MATLAB表示x(n)(n<=n1)：n=[0:n1];x=a.^n; 5.复指数序列 MATLAB表示x(n)(n<=n1): n=[0:n1];x=exp( )*n);

38 1-1 离散时间信号-序列 6.正弦型序列 其中，ω0为数字频率。

39 1-1 离散时间信号-序列 四.序列的周期性 1.定义：如果存在一个最小的正整数N, 满足x(n)=x(n+N),则序列x(n)为周期性序列,N为周期。 2.对正弦序列周期性的讨论： 其周期为 N= (N,k均为正整数） a.)当 N/K为整数时， 即为周期； b.)当 是一个有理数（分数）时， 即为周期； c.)当 是无理数时，该序列不是周期性的。

40 1.任意序列可表示成单位抽样序列的位移加权和.
1-1 离散时间信号-序列 五. 用单位抽样序列表示任意序列 1.任意序列可表示成单位抽样序列的位移加权和.

41 1-1 离散时间信号-序列 例: 移位加权和： -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x(n) n n

42 1-1 离散时间信号-序列 x(n)亦可看成x(n)和δ(n)的卷积和 n x(n) n 1

43 1-1 离散时间信号-序列 六. 序列的能量 x(n)的能量定义为

44 1-1 离散时间信号-序列(例题） 已知信号序列 , 判断并求其周期。 解： 的周期为 的周期为 所以 x(n) 的周期为 （注：gcd()为求最大公约数）

45 1-1 离散时间信号-序列(例题） P42-2(4):已知： x(n)=2nu(-n-1), h(n)=0.5nu(n) ，求系统输出y(n). 解： ，x(m)及h(-m)的示意图 如图所示： -1 -2 -3 m x(m) 所以，当n>= 0时，x(m)与h(n-m)不为0的项的重叠区域的上限是m= -1;从而得： h(-m) m -1 -2 -3

46 1-1 离散时间信号-序列(例题） 当n< 0时，x(m)与h(n-m)不为0的项的重叠区域的上限是m=n; 从而得：

47 1-1 离散时间信号-序列（作业题） P42-3: 解： , x(-m)及h(m)的示意图 如图所示：
1-1 离散时间信号-序列（作业题） P42-3: 解： , x(-m)及h(m)的示意图 如图所示： 所以，当n<= -1时，x(-m)与h(m)不为0的项的重叠区域的上限是m= n;从而得： -1 -2 -3 m h(m) x(-m) m -1 -2 -3

48 1-1 离散时间信号-序列（作业题） 当n> -1时，x(-m)与h(m)不为0的项的重叠区域的上限是m= -1; 从而得：

49 1-1 离散时间信号-序列（作业题） P42-4(2):
1-1 离散时间信号-序列（作业题） P42-4(2): 解：由 x(n)=Asin(13πn/3), 得 2π/ω0= 2π/13π/3=6/13 所以 x(n) 是周期的，周期为6。 P42-4(3): 解：由 x(n)=ej(6/n-π)=cos(n/6-π)+jsin(n/6-π)=-cos(n/6)-jsin(n/6), 可得 2π/ω0= 12π， 是无理数，所以 x(n) 是非周期的。

50 一.线性系统 y(n)=T[x(n)] 1-2 线性移不变系统
1-2 线性移不变系统 一.线性系统 1.)“系统”定义： “系统”表示对输入信号的一种运算，所以离散时间系统就是将输入序列变换成输出序列的运算，即 y(n)=T[x(n)] x(n) 离散时间系统 T[x(n)] y(n)

51 1-2 线性移不变系统 2.)线性系统： 可加性 比例性（齐次性） 满足上述性质的系统就是线性系统，即线性系统具有均匀性和迭加性。
1-2 线性移不变系统 2.)线性系统： 可加性 比例性（齐次性） 满足上述性质的系统就是线性系统，即线性系统具有均匀性和迭加性。 *加权信号和的响应=响应的加权和。 *先运算后系统操作=先系统操作后运算。

52 1-2 线性移不变系统 线性系统证明技巧： 零输入产生零输出（必要条件） 利用反证法，即找出一个不成立的反例
1-2 线性移不变系统 线性系统证明技巧： 零输入产生零输出（必要条件） 利用反证法，即找出一个不成立的反例 例题: y[n]=3x[n]+2； w[n]=log(x[n])

53 1-2 线性移不变系统（作业题） P42-6(2)

54 如 T[x(n)]=y(n), 则 T[x(n-m)]=y(n-m),
1-2 线性移不变系统 二.移(时)不变系统 如 T[x(n)]=y(n), 则 T[x(n-m)]=y(n-m), 满足这样性质的系统称作移(时)不变系统。即系统参数不随时间变化的系统，亦即输出波形不随输入加入的时间而变化的系统。 注：对某一系统的线性或移不变性质作否定判定时，可设一反例来论证，作肯定判定时则需根据定义来论证。

55 1-2 线性移不变系统（作业题） 例：压缩系统y[n]=x[Mn], -infty<n<infty

56 1.单位抽样响应 h(n) 注：描述系统方法之一
1-2 线性移不变系统 三.单位抽样响应与卷积和 1.单位抽样响应 h(n) 注：描述系统方法之一 当线性移不变系统的输入为δ(n)， 其输出h(n)称为单位抽样响应，即 h(n)=T[δ(n)] (n) h(n) T[δ(n)]

57 1-2 线性移不变系统 2.卷积和 线性移不变系统 h(n) x(n) y(n) y(n)=x(n)* h(n)

58 1-2 线性移不变系统 四.线性移不变系统(LSI)的性质 1.交换律 2.结合律

59 1-2 线性移不变系统 3.对加法的分配律 h1(n) h2(n) ⊕ y(n) h1(n)+h2(n) x(n) y(n) x(n)

60 w(n)=x(n)* h1(n)=∑x(m) h1(n-m)= ∑u(m) h1(n-m)
1-2 线性移不变系统 [例1-15]：已知两线性移不变系统级联，其单位抽样响应分别为 h1(n)=δ(n)- δ(n-4); h2(n)=an u(n),|a|<1,当输入x(n)=u(n) 时，求输出。 [解]： h1(n) x(n) y(n) h2(n) w(n) w(n)=x(n)* h1(n)=∑x(m) h1(n-m)= ∑u(m) h1(n-m) = ∑u(m) [δ(n-m)- δ(n-m-4)]=u(n)-u(n-4) = δ(n)+δ(n-1)+δ(n-2)+ δ(n-3) y(n)= w(n)* h2(n)=[δ(n)+δ(n-1)+δ(n-2)+ δ(n-3)] * h2(n) = h2(n)+ h2(n-1) +h2(n-2)+ h2(n-3) = an u(n)+ an-1u(n-1)+ an-2u(n-2)+ an-3u(n-3)

61 1-2 线性移不变系统 五.因果系统 某时刻的输出只取决于此刻以及以前时刻的输入的系统称作因果系统。若将输出看成“果”，输入看成“因”，则“因”必发生在“果”之前，有“因”才有“果”。 *实际系统一般是因果系统； *对图象、已记录数据处理以及平均处理的系统不是因果系统； *不计其他函数: y(n)=x(n)sin(n+2). 线性移不变因果系统的充要条件为 h(n)=0，n< 0。

62 1-2 线性移不变系统 六.稳定系统 有界的输入产生有界的输出系统。 线性移不变稳定系统的充要条件是

63 1-2 线性移不变系统（例题） 证明：线性移不变系统是因果系统的充分必要条件是： h(n)=0, n<0
1-2 线性移不变系统（例题） 证明：线性移不变系统是因果系统的充分必要条件是： h(n)=0, n<0 证：充分条件：若n<0时h(n)=0，则对h(n-m)，当n-m<0时，h(n-m)=0 ;即当n-m>0,m<n时,h(n-m)0 所以 ,因而 所以 只和 时的x(m)值有关，因而系统是因果系统。 必要条件：已知为因果系统，如果假设n<0时，h(n)  0，则

64 1-2 线性移不变系统（例题） 在所设条件下，第二个和式至少有一项不为零（因当n-m<0时，h(n-m)  0，即m>n时，h(n-m)  0）将至少和m>n时的一个x(m)值有关，这不符合因果性条件，所以假设不成立。 分析y(n)=3x(n)+4是不是移不变系统. 解：因为 T[x(n)]=y(n)=3x(n)+4 所以 T[x(n-m)]=3x(n-m)+4 又 y(n-m)=3x(n-m)+4 所以 T[x(n-m)]=y(n-m) 因此， y(n)=3x(n)+4是移不变系统.

65 1-2 线性移不变系统（例题） 所以 时，系统是稳定的。 P29.例1-17. 设某线性移不变系统，其单位抽样响应为 讨论稳定性：
1-2 线性移不变系统（例题） P29.例1-17. 设某线性移不变系统，其单位抽样响应为 讨论稳定性： 由等比级数公式 ，得 所以 时，系统是稳定的。

66 1-2 线性移不变系统（例题） 判断下述系统是否线性系统： y(n)=6x(n+2)+4x(n+1)+2x(n)+1
1-2 线性移不变系统（例题） 判断下述系统是否线性系统： y(n)=6x(n+2)+4x(n+1)+2x(n)+1 解：令 x1(n)=cx(n)，则y1(n)=6x1(n+2)+4x1(n+1)+2x1(n)+1 =c{6x(n+2)+4x(n+1)+2x(n)}+1 但 cy(n)=c{6x(n+2)+4x(n+1)+2x(n)+1}  y1(n) 所以系统不是齐次的； 又令 x(n)=x1(n)+x2(n), 则 y(n)=6x(n+2)+4x(n+1)+2x(n)+1 y(n)=6{x1(n+2)+x2(n+2)}+ 4{x1(n+1)+x2(n+1)} + 2{x1(n)+x2(n)}+1 =y1(n)+y2(n)-1 所以系统不是可加性的。

67 1-2 线性移不变系统（例题） 判断下述系统是否移不变： y(n)=x(-n)
1-2 线性移不变系统（例题） 判断下述系统是否移不变： y(n)=x(-n) 解：由 y(n)=T[x(n)]=x(-n)， 则 T[x(n-n0)]=x(-n-n0) （n0 为一常数），而 y(n-n0)=x[-(n- n0)]= x(-n+n0)  T[x(n-n0)] 所以该系统不是移不变系统。 P42-8(4): 已知单位抽样响应 h(n)=3nu(-n) ,判断该系统是否是因果的、稳定的。 解：因为 u(-n) 在 n<0 时 0，所以 h(n) 在 n<0 时也 0。 则系统是非因果的； 又 ,所以系统是稳定的。

68 1-2 线性移不变系统（作业题） P42-6(2) P42-7(2),(3)

69 1-2 线性移不变系统（作业题） P42-6(2)

70 1-2 线性移不变系统（作业题） P42-7 (2)

71 1-2 线性移不变系统（作业题） (以下做法是错误的：不满足“线性移不变”这个前提）
1-2 线性移不变系统（作业题） (以下做法是错误的：不满足“线性移不变”这个前提） 令 x(n)= δ(n), 则 h(n)=T[δ(n)]= , 当 n<0 时，h(n)=0. 由h(n)=T[δ(n)]= ，得 （正确做法如下： 由y(n)= , 知在任意某个时刻n的输出仅与该时刻及其之前至n0的时刻有关，故系统是因果系统。 又令输入x(n)=1, 则输出y(n)= ,当n取无穷大时，y(n)也趋于无穷大。 故该系统不是稳定的。

72 1-2 线性移不变系统（作业题） P42-7(3)

73 1-2 线性移不变系统（作业题） 由 y(n)=x(n-n0), 令 n=0, 得 y(0)=x(-n0),
1-2 线性移不变系统（作业题） 由 y(n)=x(n-n0), 令 n=0, 得 y(0)=x(-n0), 则 若 n0<0, -n0>0, 即在0时刻的输出与0时刻之后的输入有关。所以该系统不是因果系统。 由 T[x(n)]= x(n-n0), 知该系统的作用是将输入信号做一位移。若输入信号是有界的话，输出信号也将是有界的。 所以该系统是稳定的。

74 常系数线性差分方程 常系数线性差分方程是用离散变量n的函数x(n)及其位移函数x(n-m) 线性叠加而构成的方程，表示离散时间线性移不变系统的输入输出关系。注：描述系统的方法之二 一.表示法与解法 1.表示法 离散时间线性 移不变系统 x(n) y(n)

75 a.时域：迭代法，卷积和计算法(MATLAB法); b.变换域：Z变换法.
常系数线性差分方程 * 常系数：a0,a1,…,aN ; b0,b1,…,bM 均是常数（不含n）. *阶数：y(n)变量n的最大序号与最小序号之差 ，如 N=N-0. *线性：y(n-k),x(n-m)各项只有一次幂,不含它们的乘积项。 2.解法 a.时域：迭代法，卷积和计算法(MATLAB法); b.变换域：Z变换法.

76 起始状态为零的系统，这种系统用的较多，其输出就是 。
常系数线性差分方程 二.用迭代法求解差分方程 1.“松弛”系统的输出 起始状态为零的系统，这种系统用的较多，其输出就是 。 因此，已知h(n)就可求出y(n)，所以必须知道h(n)的求法.

77 例: 已知常系数线性差分方程为 y(n)-ay(n-1)=x(n)， 试求单位抽样响应 h(n)（初始状态为y(-1)=0).
常系数线性差分方程 2.迭代法（以求h(n)为例） 例: 已知常系数线性差分方程为 y(n)-ay(n-1)=x(n)， 试求单位抽样响应 h(n)（初始状态为y(-1)=0). 解：设 ，n<0, y(-1)=h(-1)=0,由已知式递推得 h(-1)-ah(-2)= , 所以h(-2)=0, 依次类推，得y(n)=h(n)=0,n<0 ; (见下页）

78 常系数线性差分方程

79 常系数线性差分方程 当边界条件y(0)=0时，设 ，可得n>0时, y(n)=h(n)=0; 当n<0时，新递推关系为：

80 常系数线性差分方程 所以：

81 常系数线性差分方程 注意： 1.一个常系数线性差分方程并不一定代表因果系统，也不一定表示线性移不变系统。这些都由边界条件（初始）所决定。 2.我们讨论的系统都假定：常系数线性差分方程就代表线性移不变系统，且多数代表因果系统。

82 ⊕ 三.系统结构 1-3 常系数线性差分方程 1.系指系统的输入与输出的运算关系的表述方法。 用⊕表示相加器； 用 表示乘法器；
常系数线性差分方程 三.系统结构 1.系指系统的输入与输出的运算关系的表述方法。 用⊕表示相加器； 用 表示乘法器； 用 表示一位延时单元。 2.由差分方程可直接得到系统结构。 例：y(n)= b0 x(n)-a1y(n-1) ⊕ x(n) b0 -a1 y(n-1) y(n) -a1y(n-1) b0 x(n)-a1y(n-1) b0 x(n)

83 四.用MATLAB求差分方程的有限项数值解
常系数线性差分方程 四.用MATLAB求差分方程的有限项数值解 利用MATLAB中既有的函数filter()来求解。 y=filter(b,a,x) 其中 b=[b0,b1,…,bM]; a=[a0,a1,…,aN]; 输出y与输入x有相同的长度。

84 例：已知：y(n)-y(n-1)+0.9y(n-2)=x(n); 计算并画出：
常系数线性差分方程 例：已知：y(n)-y(n-1)+0.9y(n-2)=x(n); 计算并画出： a.y(n)在n=-20,…,120的单位脉冲响应 h(n)； b. y(n)在n=-20,…,120的单位阶跃响应 s(n). 解：由已知差分方程，得 b=[1];a=[1,-1,0.9]; 用MATLAB编程如下： a. >>b=[1];a=[1,-1,0.9]; >>x=impseq(0,-20,120); n=[-20:120]; >>h=filter(b,a,x); >>subplot(2,1,1);stem(n,h); b.>>x=stepseq(0,-20,120); >>s=filter(b,a,x); >>subplot(2,1,2);stem(n,s);

85 常系数线性差分方程 上题结果对应的图形如下：

86 常系数线性差分方程（作业题） P42-9

87 常系数线性差分方程（作业题） P42-9 解：系统的等效信号流图为：

88 1-4 连续时间信号的抽样 一.抽样器与抽样 1.抽样器 P(t) T

89 1-4 连续时间信号的抽样

90 1-4 连续时间信号的抽样 2.实际抽样与理想抽样 t 被抽样信号

91 1-4 连续时间信号的抽样 a.实际抽样： p(t) t T … p(t)为脉冲序列 t

92 1-4 连续时间信号的抽样 b.理想抽样： t … （冲激序列） t

93 1-4 连续时间信号的抽样 二.抽样定理 1.预备知识 （1）冲激信号及其抽样特性 a.定义： t (1) b.取样特性：

94 1-4 连续时间信号的抽样 (2)频域卷积定理 若

95 1-4 连续时间信号的抽样 (3)冲激函数序列的傅氏变换 ... T t … 冲激序列的傅氏变换仍为冲激序列

96 1-4 连续时间信号的抽样 2.抽样信号的频谱

97 1-4 连续时间信号的抽样 可见，该频谱为周期性信号，其周期为

98 1-4 连续时间信号的抽样 0 , Ωh为最高频率分量

99 由上图可知，用一截止频率为 的低通滤器对 滤波可以得
1-4 连续时间信号的抽样 3.抽样定理 由上图可知，用一截止频率为 的低通滤器对 滤波可以得 因此，要想抽样后能不失真的还原出原信号，抽样频率必须大于等于两倍原信号最高频率分量。即 这就是奈奎斯特抽样定理。

100 1-4 连续时间信号的抽样

101 1-4 连续时间信号的抽样 三.抽样的恢复 如果抽样信号 或 通过一 理想低通滤波器 就可恢复信号 或 。 下面证明： h(t) H(jΩ)

102 1-4 连续时间信号的抽样 a.低通滤波器 的冲激响应h(t) T T , 0 , 因此， 可由 通过傅氏反变换求得，即

103 1-4 连续时间信号的抽样 b.低通滤波器(filter)的输出 *输出=原信号抽样点的值与内插函数乘积和。

104 1-4 连续时间信号的抽样 c.内插函数 的特性： 在抽样点mT上，其值为1;其余抽样点上，其值为0。 (m-2)T (m-1)T mT
1-4 连续时间信号的抽样 c.内插函数 的特性： 在抽样点mT上，其值为1;其余抽样点上，其值为0。 (m-2)T (m-1)T mT (m+1)T (m+2)T 1 t

105 1-4 连续时间信号的抽样 t T 2T 3T 1)在抽样点上，信号值不变； 2)抽样点之间的信号则由各抽样函数波形的延伸叠加而成。

106 1-4 连续时间信号的抽样 四.实际抽样 1 . 取样定理仍有效;

107 本章复习 判断下述系统是否移不变： y(n)=x(-n) y(n)=x(n+2)+ax(n)，y(n)=(n+3)x(n) 是否因果系统？

108 本章复习 解：由 y(n)=T[x(n)]=x(-n)， 则 T[x(n-n0)]=x(-n-n0)
（n0 为一常数），而 y(n-n0)=x[-(n- n0)]= x(-n+n0)  T[x(n-n0)] 所以该系统不是移不变系统。 非因果系统、因果系统

109 本章习题 2.（1-3） 4. （2）、（3） 6. （1）、（2）、（3） 7. （2）、（4）（注：不需要判断其因果和稳定性质）
8. （3）、（6）、（7） 11.