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第四章 一元函数的变化性态（III） 北京师范大学数学学院 授课教师：刘永平
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今天主要内容: 绝对连续函数和康托函数 (1)绝对连续函数的性质； (2)微积分基本定理(牛顿-莱布尼兹公式）； (3)康托集与康托函数 ；
(4)一些例子. (5) 小结.
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1. 绝对连续函数的基本性质
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例3.1
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定理3.1
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定理3.2
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定理3.3. 微积分基本定理 （Newton-Leibniz公式）
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例3.1
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康托集与康托函数 康托集：将[0，1]三等分，去掉开区间 然后将 剩下的两个闭区间分别三等分并去掉中间的开区间 仿此继续, 当进行到第n步时, 去掉 个开区间(依其元素小大
![康托集与康托函数 康托集：将[0，1]三等分，去掉开区间 然后将 剩下的两个闭区间分别三等分并去掉中间的开区间 仿此继续, 当进行到第n步时, 去掉 个开区间(依其元素小大](http://slidesplayer.com/slide/16668174/96/images/9/%E5%BA%B7%E6%89%98%E9%9B%86%E4%B8%8E%E5%BA%B7%E6%89%98%E5%87%BD%E6%95%B0+%E5%BA%B7%E6%89%98%E9%9B%86%EF%BC%9A%E5%B0%86%5B0%EF%BC%8C1%5D%E4%B8%89%E7%AD%89%E5%88%86%EF%BC%8C%E5%8E%BB%E6%8E%89%E5%BC%80%E5%8C%BA%E9%97%B4+%E7%84%B6%E5%90%8E%E5%B0%86+%E5%89%A9%E4%B8%8B%E7%9A%84%E4%B8%A4%E4%B8%AA%E9%97%AD%E5%8C%BA%E9%97%B4%E5%88%86%E5%88%AB%E4%B8%89%E7%AD%89%E5%88%86%E5%B9%B6%E5%8E%BB%E6%8E%89%E4%B8%AD%E9%97%B4%E7%9A%84%E5%BC%80%E5%8C%BA%E9%97%B4+%E4%BB%BF%E6%AD%A4%E7%BB%A7%E7%BB%AD%2C+%E5%BD%93%E8%BF%9B%E8%A1%8C%E5%88%B0%E7%AC%ACn%E6%AD%A5%E6%97%B6%2C+%E5%8E%BB%E6%8E%89+%E4%B8%AA%E5%BC%80%E5%8C%BA%E9%97%B4%28%E4%BE%9D%E5%85%B6%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%B0%8F%E5%A4%A7.jpg "康托集与康托函数 康托集：将[0，1]三等分，去掉开区间 然后将 剩下的两个闭区间分别三等分并去掉中间的开区间 仿此继续, 当进行到第n步时, 去掉 个开区间(依其元素小大")
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为序): 区间长为 . 那么进行第n+1步，在 的 个闭区间中，分别三等分 并去掉他们的中间的开区间:
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归纳地，可从[0,1]中去掉开区间族：
![归纳地，可从[0,1]中去掉开区间族：](http://slidesplayer.com/slide/16668174/96/images/11/%E5%BD%92%E7%BA%B3%E5%9C%B0%EF%BC%8C%E5%8F%AF%E4%BB%8E%5B0%2C1%5D%E4%B8%AD%E5%8E%BB%E6%8E%89%E5%BC%80%E5%8C%BA%E9%97%B4%E6%97%8F%EF%BC%9A.jpg "归纳地，可从[0,1]中去掉开区间族：")
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康托集的性质
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康托函数
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康托函数的性质
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例子4.1 推广的康托集
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推广的康托集的性质
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奇异函数和Heaviside函数 若一个不恒为零的连续函数s, 它a.e.可导且其导函数a.e.为零，则称s为奇异函数. Heaviside函数：
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跳跃函数 设 f是[a,b]上的单调增加函数， 是其全体不连续点. 定义：
![跳跃函数 设 f是[a,b]上的单调增加函数， 是其全体不连续点. 定义：](http://slidesplayer.com/slide/16668174/96/images/19/%E8%B7%B3%E8%B7%83%E5%87%BD%E6%95%B0+%E8%AE%BE+f%E6%98%AF%5Ba%2Cb%5D%E4%B8%8A%E7%9A%84%E5%8D%95%E8%B0%83%E5%A2%9E%E5%8A%A0%E5%87%BD%E6%95%B0%EF%BC%8C+%E6%98%AF%E5%85%B6%E5%85%A8%E4%BD%93%E4%B8%8D%E8%BF%9E%E7%BB%AD%E7%82%B9.+%E5%AE%9A%E4%B9%89%EF%BC%9A.jpg "跳跃函数 设 f是[a,b]上的单调增加函数， 是其全体不连续点. 定义：")
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定理3.4.单调函数的勒贝格分解 设 f 是[a,b]上的单增函数，则
![定理3.4.单调函数的勒贝格分解 设 f 是[a,b]上的单增函数，则](http://slidesplayer.com/slide/16668174/96/images/20/%E5%AE%9A%E7%90%863.4.%E5%8D%95%E8%B0%83%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%9A%84%E5%8B%92%E8%B4%9D%E6%A0%BC%E5%88%86%E8%A7%A3+%E8%AE%BE+f+%E6%98%AF%5Ba%2Cb%5D%E4%B8%8A%E7%9A%84%E5%8D%95%E5%A2%9E%E5%87%BD%E6%95%B0%EF%BC%8C%E5%88%99.jpg "定理3.4.单调函数的勒贝格分解 设 f 是[a,b]上的单增函数，则")
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小结 (1)绝对连续函数使得微积分基本公式成立； (2)康托三分集是测度为零、不可数、稀疏的完全集； (3)康托函数是导数几乎处处为零、函数值充满[0,1]的连续单调增函数, 故它是奇异的； (4)单增函数的勒贝格分解：跳跃（或0）+绝对连续+奇异（或0）.
![小结 (1)绝对连续函数使得微积分基本公式成立； (2)康托三分集是测度为零、不可数、稀疏的完全集； (3)康托函数是导数几乎处处为零、函数值充满[0,1]的连续单调增函数, 故它是奇异的； (4)单增函数的勒贝格分解：跳跃（或0）+绝对连续+奇异（或0）.](http://slidesplayer.com/slide/16668174/96/images/21/%E5%B0%8F%E7%BB%93+%281%29%E7%BB%9D%E5%AF%B9%E8%BF%9E%E7%BB%AD%E5%87%BD%E6%95%B0%E4%BD%BF%E5%BE%97%E5%BE%AE%E7%A7%AF%E5%88%86%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%85%AC%E5%BC%8F%E6%88%90%E7%AB%8B%EF%BC%9B+%282%29%E5%BA%B7%E6%89%98%E4%B8%89%E5%88%86%E9%9B%86%E6%98%AF%E6%B5%8B%E5%BA%A6%E4%B8%BA%E9%9B%B6%E3%80%81%E4%B8%8D%E5%8F%AF%E6%95%B0%E3%80%81%E7%A8%80%E7%96%8F%E7%9A%84%E5%AE%8C%E5%85%A8%E9%9B%86%EF%BC%9B+%283%29%E5%BA%B7%E6%89%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E6%98%AF%E5%AF%BC%E6%95%B0%E5%87%A0%E4%B9%8E%E5%A4%84%E5%A4%84%E4%B8%BA%E9%9B%B6%E3%80%81%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%80%BC%E5%85%85%E6%BB%A1%5B0%2C1%5D%E7%9A%84%E8%BF%9E%E7%BB%AD%E5%8D%95%E8%B0%83%E5%A2%9E%E5%87%BD%E6%95%B0%2C+%E6%95%85%E5%AE%83%E6%98%AF%E5%A5%87%E5%BC%82%E7%9A%84%EF%BC%9B+%284%29%E5%8D%95%E5%A2%9E%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%9A%84%E5%8B%92%E8%B4%9D%E6%A0%BC%E5%88%86%E8%A7%A3%EF%BC%9A%E8%B7%B3%E8%B7%83%EF%BC%88%E6%88%960%EF%BC%89%2B%E7%BB%9D%E5%AF%B9%E8%BF%9E%E7%BB%AD%2B%E5%A5%87%E5%BC%82%EF%BC%88%E6%88%960%EF%BC%89..jpg ".")
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习题4.3 4、5、6、7、8、9.
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