小波及连续小波变换 常用的基本小波 时频分析 连续小波变换的计算 小波变换的分类

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1 小波及连续小波变换 常用的基本小波 时频分析 连续小波变换的计算 小波变换的分类

2 小波及连续小波变换 设函数 ，并且 ，即 ，则称 为一个基本小波或母小波。 (连续)小波函数 a和b的意义 性质： 线性性质 平移不变性
……….

3 小波及连续小波变换 设函数 , 若 则称 为一个允许小波。 允许条件与 几乎是等价条件.

4 常用的基本小波 Haar小波

5 常用的基本小波 2. Daubechies小波 D4尺度函数与小波 D6尺度函数与小波

6 常用的基本小波 3、双正交小波 双正交B样条小波（5-3）、 （9-7）小波滤波器 bior2.2, bior4.4 （7-5）小波滤波器:

7 常用的基本小波 4. Morlet小波 Morlet小波不存在尺度函数; 快速衰减但非紧支撑. Morlet小波是Gabor 小波的特例。

8 常用的基本小波 5. 高斯小波 这是高斯函数的一阶导数，在信号与图象的边缘提取中具有重要的应用。 主要应用于阶梯型边界的提取。
5. 高斯小波 这是高斯函数的一阶导数，在信号与图象的边缘提取中具有重要的应用。 主要应用于阶梯型边界的提取。 特性： 指数级衰减，非紧支撑；具有非常好的时间频率局部化； 关于0轴反对称。

9 常用的基本小波 6. Marr小波 （也叫墨西哥草帽小波） 这是高斯函数的二阶导数，在信号与图象的边缘提取中具有重要的应用。
主要应用于屋脊型边界和Dirac边缘的提取。 特性： 指数级衰减，非紧支撑；具有非常好的时间频率局部化； 关于0轴对称。

10 常用的基本小波 7. Meyer小波 它的小波函数与尺度函数都是在频域中进行定义的。具体定义如下：

11 常用的基本小波 8. Shannon小波 在时域，Shannon小波是无限次可微的，具有无穷阶消失矩，不是紧支的，具有渐近衰减性但较缓慢；在频域，Shannon小波是频率带限函数，具有好的局部化特性。

12 常用的基本小波 9. Battle-Lemarie样条小波 Battle-Lemarie线性样条小波及其频域函数的图形

13 时频分析 1. Fourier分析简介 Fourier变换没有反映出随时间变换的频率，也就是说，对于频域中的某一频率，我们不知道这个频率是在什么时候产生的。因此，Fourier分析缺乏信号的局部化分析能力 。 2. 短时Fourier变换 短时Fourier变换的基本思想是：把信号划分成许多小的时间间隔，用Fourier变换分析每个时间间隔，以便确定在该时间间隔内的频谱信息。

14 窗口Fourier变换 非平凡函数 称为窗函数， 如果 窗口Fourier变换： 大致反映了 在时刻 b、频率为 的"信号成分"的相对含量。
通常我们用 作为窗函数 的宽度的度量。 窗口Fourier变换： 大致反映了 在时刻 b、频率为 的"信号成分"的相对含量。

15 窗口Fourier变换 给出了 在 的时间窗 内的局部化信息。

16 短时Fourier变换 若 及其Fourier变换 都是窗口函数 ，则称 为短时Fourier变换。
特别地，当窗口函数取Gaussian函数时， 相应的短时Fourier变换称为Gabor变换。 同时给出了 在时间窗 和频率窗 内的局部化信息。 时间-频率窗 的特性：不变的宽度 和固定的窗面积 测不准原理： 应用上的局限性：不太适合分析非平稳信号。

17 小波时频分析 小波分析能够提供一个随频率改变的时间-频率窗口。 假设 是任一基本小波，并且 与 都是窗函数， 它们的中心 与半径分别为 和
不妨设 和尺度 a都是正数。 ， ， 。 给出了 在时间窗 内的局部化信息。 给出了 在频域窗 内的局部化信息。

18 小波时频分析 若用 作为频率变量 内的局部化信息, 即小波变换具有时—频局部化特征。 窗宽: 面积: 的宽度是 宽度的 倍. 检测信号
，则 给出了信号 在时间—频率平面（ 平面）中一个矩形的时间—频率窗 内的局部化信息, 即小波变换具有时—频局部化特征。 窗宽: 面积: 的宽度是 宽度的 倍. 检测信号 的高频成分需用 具有比较小的 的分析小波 . 这时时间窗会自动 变窄，并在高频区域对信号进行细节分析.

19 各种变换的比较 小波变换的特性 Fourier变换的特性 分解种类：时间-尺度或时间-频率  分解种类： 频率
分析函数：具有固定震荡次数的时间有限的波。 小波函数的伸缩改变其窗口大小。 变量： 尺度，小波的位置 信息：窄的小波提供好的时间局部化及差的频率 局部化，宽的小波提供好的频率局部化 及差的时间局部化。 适应场合：非平稳信号 Fourier变换的特性  分解种类： 频率  分析函数： 正弦函数，余弦函数  变量： 频率  信息： 组成信号的频率 适应场合： 平稳信号  算法复杂度： 短时Fourier变换的特性 分解种类：时间-频率 分析函数：由三角震荡函数复合而成的时间有限的波 变量：频率，窗口的位置 信息： 窗口越小，时间局部化越好，其结果是滤掉低频成分； 窗口越大，频率局部化越好, 此时时间局部化较差. 适应场合：次稳定信号

20 连续小波变换的计算 数值近似积分法、快速算法（包括Mellin算法，斜交投影算法等）
在Matlab小波工具箱中，用cwt（）函数计算连续小波变换。 连续小波变换的结果的显示方式： 灰度表示，三维表示

21

22 连续小波变换与离散小波变换在分析信号时的优缺点
2, 4, 8, 16 , 32 1，2，…, 32

23 小波变换的分类 中 离散小波及离散（参数）小波变换： 二进小波及二进小波变换 三个变量均为连续变量， 通过对它们施加不同的
离散化条件对小波及小波变换进行分类。下面介绍两种最重要的分类： 离散小波及离散（参数）小波变换： 二进小波及二进小波变换 只对a,b离散化 ： 只对a离散化

24 离散小波及离散（参数）小波变换 令参数 ， ，其中 ，则离散（参数）小波为： 在这种情况下，常用 记 ，即 相应于离散小波
的离散（参数）小波变换为： 重构问题： 在满足什么条件下，可以由离散小波变换 重构原信号？ 可以验证，离散（参数）小波变换不具有平移不变性（习题6.4）。

25 离散小波及离散（参数）小波变换的进一步讨论
尺度离散化： 实际工作中最常见的情况是,将尺度 a按照二进尺度离散化,此时a 取值为 位移离散化： 当a=2-J (也就是j =J时),b可以某一基本间隔b0做均匀采样. b0应适当选择使信息仍能覆盖全b轴而不丢失(如不低于Nyquist采样率). 每经过一次小波变换, 其采样间隔扩大一倍,由此可见此时a-b平面内的采样点如下图所示.

26 离散小波及离散（参数）小波变换的进一步讨论
即对于分辨率j, b以采样间隔1/2jb0做均匀采样.此时, 变为 ,为简化书写,通常认为b0=1, 也就是把b轴用b0加 以归一.并记 问题: 如何利用db2小波的支撑解释突变点的支撑区间? [ , ]

27 连续二进小波变换 二进小波的构造及一些常用的二进小波 离散二进小波变换的快速算法 二维二进小波变换及其快速算法

28 二进小波及二进小波变换 在连续小波变换中，令参数 ，而参数b仍取连续值. ， 则有二进小波： 这时， 的二进小波变换定义为： 重构问题：
在满足什么条件下，可以由二进小波变换 重构原信号？

29 二进小波及二进小波变换 卷积定义: 假定小波函数 为实函数, 尺度符号改用 表示,相应于 的连续 小波变换记为 当 . 时，
连续二进小波变换为： 其中， 重构问题： 在满足什么条件下，可以由二进小波变换 重构原信号？ 注意与当前文献中各种定义的区别.

30 二进小波及二进小波变换 ，且 设函数 ，如果存在正常数 与 ，使得 满足 使得原信号可由二进小波变换得到重构： 二进小波及其稳定性条件
二进小波变换的稳定性条件 则 二进小波及其重构小波 二进小波变换具有平移不变性 且存在 满足 二进小波是允许小波 离散小波是二进小波 使得原信号可由二进小波变换得到重构：

31 二进小波的构造 目标: 构造可用于快速计算的具有有限长的二进小波滤波器. 若 则 是 的一个重构小波。 为二进小波 设 都是有限滤波器，
目标: 构造可用于快速计算的具有有限长的二进小波滤波器. 设 都是有限滤波器， 是其频域表示 ; 都是能量有限的函数，且满足 若 则 是 的一个重构小波。 为二进小波

32 二进小波的构造 较简单的情况: 正交二进小波 非正交二进小波 二进对偶尺度函数与对偶小波 问题讨论: 是二进小波 且 =

33 一些常用的二进小波 例7.1 非正交的二次样条二进小波[一般求解过程参阅指定参考文献,吴爱弟等 ] 令
例7.1 非正交的二次样条二进小波[一般求解过程参阅指定参考文献,吴爱弟等 ] 令 为二次盒样条函数的Fourier变换: 取 是一个二进小波(验证!).

34 一些常用的二进小波 图7-1 非正交二次二进样条小波 画图方法讨论：1）分析mallat著作中采用的方法；2）用upcoef画图的合理性。

35 一些常用的二进小波 例7.2 正交的二次样条二进小波 令 为二次盒样条函数的Fourier变换: 问题: 已知 其中，当 时 求解g(z)?

36 一些常用的二进小波 正交的二次二进样条小波

37 一些常用的二进小波 例7.2 正交的三次样条二进小波 令 为三次盒样条函数的Fourier变换: 类似地,可以求出h 和g : ;
例7.2 正交的三次样条二进小波 令 为三次盒样条函数的Fourier变换: 类似地,可以求出h 和g : ; 另一个解[扬福生著,P151]: 问题: 是否都正确?这同样涉及到上面提到的一般求解问题. 能否给出任意m 次样条二进小波的求解公式?

38 一些常用的二进小波 正交的三次二进样条小波(利用对称的数据) 正交的三次二进样条小波(利用1/2对称的数据) 相同?

39 一些常用的二进小波 例7.3 零对称和反对称二进样条小波的构造 阶中心B样条的定义。记 称 为 阶中心B样条。 m+1 阶中心B样条 与
例7.3 零对称和反对称二进样条小波的构造 阶中心B样条的定义。记 称 为 阶中心B样条。 m+1 阶中心B样条 与 m次盒样条 的区别与联系: 当m为奇数时， 当m为偶数时， 由 向右平移1/2得到。 以下分偶数阶和奇数阶中心B样条介绍零对称和反对称二进小波的构造方法。

40 一些常用的二进小波 例7.3 零对称和反对称二进样条小波的构造(续)  以偶数阶中心B样条为基础的二进样条小波 n维实数组
例7.3 零对称和反对称二进样条小波的构造(续)  以偶数阶中心B样条为基础的二进样条小波 n维实数组 零反对称的二进样条小波 零对称的二进样条小波

41 一些常用的二进小波 零反对称二进样条小波 由 构造的 零对称二进样条小波

42 一些常用的二进小波 例7.3 零对称和反对称二进样条小波的构造(续)  以奇数阶中心B样条为基础的二进样条小波 非 周期 解决方法:
例7.3 零对称和反对称二进样条小波的构造(续)  以奇数阶中心B样条为基础的二进样条小波 非 周期 解决方法: 零反对称的二进样条小波 零对称的二进样条小波

43 一些常用的二进小波 由 构造的 零对称二进样条小波 零反对称二进样条小波

44 一些常用的二进小波 Marr小波作为二进小波 [注意: 与教材上相差一个系数] 利用滤波器进行计算时的滤波器系数如下（作为二进小波）
[注意: 与教材上相差一个系数] 利用滤波器进行计算时的滤波器系数如下（作为二进小波） [扬福生著,P148]: 问题: 这些滤波器系数是如何计算得到的？ 更正: 应该是关于零对称的系数?

45 一些常用的二进小波 为什么不是关于零对称的?

46 离散二进小波变换的快速算法 小波变换的尺度为: 介绍如何利用二进小波变换处理离散信号的输入序列，以及如何采用滤波器组 进行快速计算。
如何理解采样间距为1的离散信号的二进小波变换? 为表述方便,令 小波变换的尺度为: 小波变换的尺度为: 由于 s=2j, 因此,相应的分辨率j为： 由于 s=2j, 因此,相应的分辨率j为：

47 离散二进小波变换的快速算法 介绍如何利用二进小波变换处理离散信号的输入序列，以及如何采用滤波器组 进行快速计算。
如何理解采样间距为1的离散信号是一个被平滑的连续函数的均匀采样? 设 是采样间距为1的离散信号， 则存在 使得

48 离散二进小波变换的快速算法 ，在整数格点上，二进小波系数由下式给出： 离散二进小波变换的定义: 对任意 ，记 对 则对任意尺度
，离散信号序列 称为 的离散二进小波变换。 快速算法的基本求解思想: 将离散的问题转化为连续的问题处理,然后给出离散的处理结果.

49 离散二进小波变换的快速算法 讨论: 在Matlab中,二进小波变换没有对应的实现函数,需要自己编写.
与第4章中的相应算法相比,推导过程不同. 注意分解与重构滤波器的不同符号.

50 离散二进小波变换的快速算法 a) b)

51 二维二进小波变换的一般概念 通过两个小波 和 定义 ，这里假设这两个小波都是 实函数。 则对任意的函数 ， 在尺度 和位置 的小波变换
由两个分量来定义，即 我们称函数集合 为 的二维 二进小波变换。

52 二维二进小波变换的一般概念 若存在 和 ,使得 则存在重构小波 ，其Fourier变换满足 使得 称这两个小波 和 为二维二进小波.

53 二维可分离二进小波变换构造的一般框架 周期 周期 和 是 重构小波。 问题: 如何验证 和 满足稳定性条件?

54 常用的二维可分离二进小波变换 例7.4 由非正交的二次样条二进小波，构造可分离的二维二进小波 取 ，则 ；当 时，
例7.4 由非正交的二次样条二进小波，构造可分离的二维二进小波 取 ，则 ；当 时， 例7.5 由正交的二次样条二进小波，构造可分离的二维二进小波 取 ，则 与以前的问题相似,这里的关键是如何求解l(z)? 书上给出的是正交的三次样条二进小波对应的{ln}.

55 常用的二维可分离二进小波变换 例7.6 由零对称和反对称二进小波构造可分离的二维二进小波 取 实数组 则利用对称二进小波 及其重构小波
例 由零对称和反对称二进小波构造可分离的二维二进小波 取 实数组 则利用对称二进小波 及其重构小波 所构造的 是一个对称的二维二进小波。 相应地，利用反对称二进小波 及其重构小波 所构造的 是一个反对称的二维二进小波。

56 二维离散二进小波变换及其快速算法 介绍采样间距为1的规范化离散图像的二进小波变换： 设 是采样间隔为1 的二维离散信号，则存在一个二维函数
，使得 对任意 ，记 对 ，在整数网格点 上，二进小波系数由下式给出： 则对任意尺度 ，离散信号序列 称为 的离散二维二进小波变换。

57 二维离散二进小波变换及其快速算法 例7.4中二维二进小波变换的快速实现： 式（7.36）,（7.37）,（7.38）的时域表示：

58 二维离散二进小波变换及其快速算法 例7.4中二维二进小波变换的快速实现： 分解算法 （7．39） 的时域表示为： 重构算法

59 二维离散二进小波变换及其快速算法 例7.5中二维二进小波变换的快速实现：

60 补选习题 提供Matlab中小波时频分析的仿真例子. 要求: 必须真正理解解题思想及过程,并详细描述之.

61 习题说明 补充选做习题 7.1题可以参考相关资料[上载网络学堂] 7.6题搞清循环卷积的概念
考虑用upcoef()进行二进小波做图的合理性, 考虑小波的支撑(提示:通过小波方程应该可以求出.) 补充选做习题 1. 例7.2中所提出的求解方法问题 2. 例7.4中{ln}的求解问题.

62 思考题 1. Marr二进小波滤波器的求解问题 2. 正交的m次二进样条小波的一般求解公式问题.
3. 例7.4~7.6中二维二进小波稳定性条件的验证问题. 4. 能否给出定理7.3中二维二进小波稳定性条件成立的一个充分条件.