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第八节 第九章 多元函数的极值及其求法 一、多元函数的极值 二、最值应用问题 三、条件极值
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一、 多元函数的极值
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参考教材P162 30
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定义: 若函数 的某邻域内有 则称函数在该点取得极大值 (极小值). 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值.
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A 例1. 已知函数 的某个邻域内连续, 且 则( ) (D) 根据条件无法判断点(0, 0)是否为f (x,y) 的极值点.
则( ) (D) 根据条件无法判断点(0, 0)是否为f (x,y) 的极值点. (2003 考研) 提示: 由题设
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定理1 (必要条件) 函数 存在 偏导数, 且在该点取得极值 , 则有 证: 取得极值 , 故 取得极值 取得极值 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立. 说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点(稳定点) . 但驻点不一定是极值点. 例如, 有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值.
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问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
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证: 由二元函数的泰勒公式, 并注意 则有
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若函数 具有一阶和二阶连续偏导数, 且 令 A<0 时取极大值; 则: 1) 当 时, 具有极值 A>0 时取极小值. 2) 当 时, 没有极值. 3) 当 时, 不能确定 , 需另行讨论.
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在点(0,0) 讨论函数 及 是否取得极值. 解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 并且在 (0,0) 都有 在(0,0)点邻域内的取值 正 可能为 负 , 因此 z(0,0) 不是极值. 因此 为极小值.
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例2. 求函数 的极值. 解: 第一步 求驻点. 解方程组 得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 判别. 求二阶偏导数 在点(1,0) 处 为极小值;
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在点(1,2) 处 不是极值; 在点(3,0) 处 不是极值; 在点(3,2) 处 为极大值.
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二、最值应用问题 依据 函数 f 在有界闭区域上连续 函数 f 在有界闭区域上可达到最值 内点：驻点与不可求偏导的点 最值可疑点
边界上的最值点 特别, 当区域内部一定存在可微函数的最值, 且只有一个驻点P 时,
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例3. 某厂要用铁板做一个体积为2 的有盖长方体水 箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省? 解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为 则水箱所用材料的面积为 令 得驻点 根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 因此可 断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 高为 时, 水箱所用材料最省.
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例4. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 , 把它折起来做成 一个断面为等腰梯形的水槽, 问怎样折法才能使断面面 积最大. 解: 设折起来的边长为 x cm, 倾角为 , 则断面面积 为 x 24
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令 解得: 由题意知,最大值在定义域D 内达到, 而在域D 内只有 一个驻点, 故此点即为所求.
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解 如图,
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解 由
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三、条件极值 无条件极值: 对自变量只有定义域限制 极值问题 条 件 极 值 : 对自变量除定义域限制外, 还有其他条件限制
条件极值的求法: 方法1 代入法. 例如 , 转化 求一元函数 的无条件极值问题
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方法2 拉格朗日乘数法. 例如, 分析：如方法 1 所述, 可确定隐函数 则问题等价于一元函数 的极 值问题, 故极值点必满足 故有 记
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极值点必满足 引入辅助函数 则极值点满足: 辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数. 利用拉格 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.
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拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.
例如, 求函数 在条件 下的极值. 设 解方程组 可得到条件极值的可疑点 .
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秩为m, 想说明什么意思?
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理有三种,……
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可以参考教材,但不习惯教材的写法
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例8. 要设计一个容量为 的长方体开口水箱, 试问 水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？ 解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高, 则问题为求x , y , z 使在条件 下水箱表面积 最小. 令 解方程组
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得唯一驻点 由题意可知合理的设计是存在的, 因此 , 当高为 长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省. 思考: 1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何? 提示: 利用对称性可知, 2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价 最省, 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何? 提示: 长、宽、高尺寸相等 .
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则 例9. 已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ), 试在椭圆 圆周上求一点 C, 使 △ABC 面积 S△最大.
解答提示: 设 C 点坐标为 (x , y), 则
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设拉格朗日函数 解方程组 得驻点 对应面积 而 比较可知, 点 C 与 E 重合时, 三角形 面积最大.
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例9. 设某电视机厂生产一台电视机的成本为c, 每台电
电视机的销售价格为p, 销售量为x, 假设该厂的生产处于 平衡状态, 即生产量等于销售量. 根据市场预测, x 与p 满 足关系: ① 其中M是最大市场需求量, a是价格系数. 又据对生产环节 的分析, 预测每台电视机的生产成本满足: ② 其中c0是生产一台电视机的成本, k是规模系数. 问应如何 确定每台电视机的售价 p , 才能使该厂获得最大利润？ 解: 生产x台获得利润 问题化为在条件①, ②下求 的最大值点.
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作拉格朗日函数 令 ③ ④ ⑤ 将①代入④得 由⑤得 将以上结果及①, ②代入③, 得 ① ② 解得 因问题本身最优价格必定存在, 故此 p* 即为所求.
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内容小结 1. 函数的极值问题 第一步 利用必要条件在定义域内找驻点. 如对二元函数 即解方程组
第一步 利用必要条件在定义域内找驻点. 如对二元函数 即解方程组 第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 . 2. 函数的条件极值问题 (1) 简单问题用代入法 (2) 一般问题用拉格朗日乘数法
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如求二元函数 在条件 下的极值, 设拉格朗日函数 解方程组 求驻点 . 3. 函数的最值问题 第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件) 第二步 判别 • 比较驻点及边界点上函数值的大小 • 根据问题的实际意义确定最值
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作业(4-9) P , 4, 8, 9, 10 作业(4-11) P , 13, P , 19, 习题课
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备用题 1. 求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者.
解: 设内接三角形各边所对的圆心角为 x, y, z, 则 注 它们所对应的三个三角形面积分别为 设拉氏函数 , 得 解方程组 故圆内接正三角形面积最大 , 最大面积为 注
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2. 求平面上以 为边的面积最大的四边形 , 试列出其目标函数和约束条件 ? 提示: 目标函数 : 约束条件 : 答案: 即四边形内接于圆时面积最大 .
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