第三章 高阶谱估计 3.1 累积量及高阶谱 3.2 高阶谱估计 3.3 有色噪声背景下的频率估计 3.4 高阶谱的应用 2019/12/16.

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1 第三章 高阶谱估计 累积量及高阶谱 高阶谱估计 有色噪声背景下的频率估计 高阶谱的应用 2019/12/16

2 3.1 累积量与高阶谱 1、随机变量的特征函数和矩函数 为概率密度函数 为 的第一特征函数。其中 3.1.1、累积量的定义
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3 随机变量的特征函数 由于 第二特征函数： 2019/12/16

4 高斯分布的随机变量特征函数 其特征函数为: 2019/12/16

5 令 则 根据公式： 则 2019/12/16

6 1、矩函数的定义 2019/12/16

7 2、累积量的定义 对于随机矢量 其阶数为 的累量为 2019/12/16

8 当 时, 其n阶累量可记为: 2019/12/16

9 3.高阶矩与高阶累量的关系 (M-C公式): 对于零均值随机变量,三阶以下的矩与累量相等,而 2019/12/16

10 4、平稳随机过程的累量 对于零均值实平稳随机过程{x(n)},其k阶矩(k阶相关函数)和k阶累量分别为: 2019/12/16

11 当 时,特别称 为方差 为斜度 为峭度 2019/12/16

12 5、高斯过程的累积量 单个高斯随机变量 维零均值高斯随机矢量 2019/12/16

13 5、高斯过程的累积量 高斯随机矢量 其方差矩阵为 其中 令联合概率密度函数为 2019/12/16

14 5、高斯过程的累积量 则特征函数为： 显然，与单个变量类似，由于第二特征函数仅为 的二阶多项式，大于二阶的导函数必然为零。
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15 结论 对于任何高斯随机过程{x(n)}的阶次高于二的k阶累量恒等于零，即 这是高阶累量作为数学工具，抑制高斯噪声的基础 2019/12/16

16 高斯过程的高阶矩只取决于二阶矩,也就是高阶矩不提供比二阶矩更多的信息.
与某一高斯过程具有相同二阶矩的任意随机过程,其k>2的高阶累量是衡量该过程偏离高斯分布的量度. 2019/12/16

17 3.1.2、累量的性质 常量乘积的线性 各随机变量的对称性 2019/12/16

18 累量的性质 若{x}和{y}统计独立,则 此性质说明:两统计独立的随机过程之和的累量等于各累量之和.所以,非高斯信号与独立高斯噪声之和的k(k>2)阶累量就等于信号的累量.即累量可抑制高斯噪声. 2019/12/16

19 累量的性质 设有一组线性独立的随机变量 和随机变量y，且有： ，则y的k阶累积量为： 其中 是随机变量 的k阶累积量，i=1，2，…，P .
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20 累量的性质 两统计独立的随机向量的组合向量的累量恒为零.即若{x}与{y}统计独立,则 2019/12/16

21 推论:如果{w(t)}是独立同分布随机过程(I.I.d),则其累量为δ函数.即
式中， 为常量。所以IID过程{w(t)}又称广义白噪声过程 2019/12/16

22 归一化累积量 在盲解卷积中，有时希望累积量与信号的幅度无关，即W和aW的累积量是一样的，a是非零常数。此时就要定义(p，q)阶的归一化累积量： 其中 不为零。通常阶数p、q取为p>q。一般取q=2，这时 。当采用归一化累积量时，显然有 成立，即归一化累积量与信号 的幅度无关。 2019/12/16

23 3.1.3、高阶谱 1、定义：假定随机过程{x(n)}的k阶累量是绝对可和的，则其k阶谱是k阶累量的(k-1)维傅里叶变換，即
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24 当k=3时,三阶谱(双谱),并记为： 四阶谱(三谱) ： 高阶谱的逆变換公式为： 2019/12/16

25 两种特殊的高阶谱： ①高斯过程的k>2的k阶谱恒为零； ②非高斯的、广义白噪声过程(I.I.d.)的高阶谱为平坦谱，即 (常数)
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26 2、高阶谱的性质: 高阶谱一般为复函数,即可表示相位信息 2019/12/16

27 2、高阶谱的性质: 高阶谱是以2π为周期的多维周期函数,即 包含全部信息的主值周期,一般指下述区域: 2019/12/16

28 2、高阶谱的性质: 高阶谱具有对称性(源于累量的对称性), 以双谱为例 此外,对于实信号还应满足共轭对称性,即 2019/12/16

29 所以,双谱共有12个对称区域(如图所示) 2019/12/16

30 综合考虑周期性与对称性,双谱的主值区域为:
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32 3.2 高阶谱估计 从己知一段样本序列{x(1),x(2),…….,x(N)}出发,进行高阶谱估计的方法,与功率谱估计类似,也可分为非参数法和参数法两大类。 3.2.1、非参数法谱估计 1、基本思路： 假定n<=0或n>=N+1范围内,样本值x(n)=0, 由高阶谱的定义直接构造谱估计式。 2019/12/16

33 2、优缺点： 非参数法高阶谱估计的优点是简单、易于实现、可以使用FFT算法。但与功率谱估计的传统方法一样，它存在以下三个主要问题：
频谱泄漏：平稳随机过程的样本序列应为双边无限序列，在非参数法高阶谱估计中假定n<=0或n>=N+1时x(n)恒等于零，必将导致矩函数的估计结果被“截尾”，与传统的功率谱估计方法类似，这将在所估计的高阶谱中产生“频谱泄漏”。为改善高阶谱估计的性能，减少“频谱泄漏”，必须对矩函数估计值进行适当的加窗处理。 2019/12/16

34 频率分辨率：在非参数法高阶谱估计中，其富里叶变换都是用DFT实现的。因此，最后得到的高阶谱谱线间的距离(频率分辨率)必然与所用的样本序列的长度成反比。即用于计算DFT的时间序列长度越长，则频率分辨率越高。 2019/12/16

35 估计方差：可以证明,非参数法高阶谱估计是渐近无偏的，但一般存在较大的估计方差。为减少估计方差，可采用时域平滑或频域平滑的方法，但平滑的结果必然使频率分辨率下降。
因此，估计方差与频率分辨率之间的矛盾是非参数法谱估计的固有矛盾。 2019/12/16

36 3、确定性信号的高阶谱 2019/12/16

37 4、主要方法： 平滑周期图法(直接法) 2019/12/16

38 [bspec,waxis]=bispecd(x,nfft,wind,samp_seg,overlap)
MATLAB实现： [bspec,waxis]=bispecd(x,nfft,wind,samp_seg,overlap) x：时域信号； nfft：FFT的长度； wind：Rao最优窗函数的长度； samp_seg：每个分段的长度；overlap：每段重迭长度； bspec：等高线显示的直接法双谱；waxis：频率点矩阵； 2019/12/16

39 4、主要方法： 间接法：先估计高阶累量，再进行DFT。 MATLAB实现：
[bspec,waxis]=bispeci(x,nlag, samp_seg, overlap ,flag,nfft,wind,) x：时域信号； nfft：FFT的长度；wind：窗函数类型；samp_seg：每个分段的长度；overlap：每段重迭长度；nlag：计算累积量的最大延迟；flag：是否有偏；bspec：等高线显示的间接法双谱；waxis：频率点矩阵； 2019/12/16

40 3.2.2、参数法谱估计的基本思路 H(ω) e(n) x(n)
1、BBR公式:与功率谱估计类似,参数法高阶谱估计仍是依据高阶谱的信号模型。但与功率谱估计不同之处在于：它不限定信号模型为最小相位系统,并且广义白噪声过程{e(n)}应为非高斯分布。 H(ω) e(n) x(n) 2019/12/16

41 两边取k阶累量，并注意到广义白噪声的累量为多维δ函数,即得
对于上述信号模型，有卷积定理成立 两边取k阶累量，并注意到广义白噪声的累量为多维δ函数,即得 2019/12/16

42 写成Z域形式即得 2019/12/16

43 推广到e(n)为非高斯有色噪声的一般情况有:
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44 对于因果非最小相位系统(极点在单位园内,但零点可在单位园外。所以传递函数必在单位园外收敛，其单位取样响应必为因果序列)则得
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45 对于常用的双谱和三谱估计,则有: 2019/12/16

46 2、谱估计的基本思路： 由己知的一段样本序列{x(n)}估计k阶累量,一般k<=４； 对巳知信号进行去均值的予处理；
按BBR公式求信号{x(n)}的k阶谱。 所以,k阶谱估计的主要问题是如何执行第二步。 2019/12/16

47 3.2.3、MA模型参数估计 基于MA因果信号模型的算法推导思路与功率谱参数法类似，以BBR公式(相当于第一章所述的谱分解定理)的时域形式为基础进行推导。 2019/12/16

48 1、 c(q,n)公式法 对于MA信号，其三阶累量可记为： 令 得 2019/12/16

49 此算法对高阶累量估计误差比较敏感，所以实际中很少采用。公式在理论推导中经常用到。
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50 2、RC算法 相关函数与高阶累量的混合算法(GM算法)； ①功率谱与高阶谱的关系 定义带参量的切片： 作Z变换得 2019/12/16

51 按k阶累量定义 按Z变换的性质必可得 2019/12/16

52 因为功率谱可表示为： 2019/12/16

53 对于 为一维对角切片的Z变换，又称为1.5维谱。 2019/12/16

54 个未知数。要使方程可解，方程数必须大于未知数，如何获得这么多有效方程呢？
② GM方法 假定线性系统为MA模型 个未知数。要使方程可解，方程数必须大于未知数，如何获得这么多有效方程呢？ 2019/12/16

55 所以下式滿足时，上式非零 再考虑到条件 则非零条件为 2019/12/16

56 取 可以建立矩阵方程组 M为 和 构成的矩阵，维数 为 2019/12/16

57 当矩阵M为列满秩时，上述超定方程组有最小二乘解
并按下式求取MA参数 2019/12/16

58 (a) 算法把MA参数及其平方同时作为相对独立的参数进行求解，这样得到的估计只能是次优的。
GM算法有以下几个问题： (a) 算法把MA参数及其平方同时作为相对独立的参数进行求解，这样得到的估计只能是次优的。 (b) 系数矩阵可能不能满足列满秩条件，这样就没有唯一最小二乘解，而只能计算最小二乘最小范数解。因此如何选择的取值范围，使具有列满秩仍是一个未解决的问题。 (c) 当观察数据中含有加性高斯噪声时，由于噪声自相关函数的存在，可能使算法失效。 2019/12/16

59 Bvec=maest(x,q,norder,samp_seg,overlap,flag)
RC算法的MATLAB实现： Bvec=maest(x,q,norder,samp_seg,overlap,flag) x：待估计信号； q：ma的阶数；norder：累积量的阶数；overlap：每段重迭数；samp_seg：每个分段长度；flag：估计是否有偏； 2019/12/16

60 q=maorder(x,qmin,qmax,pfa,flag) Pfa：允许的出错概率；flag：非零值时显示相关量
定阶算法的MATLAB实现： q=maorder(x,qmin,qmax,pfa,flag) Pfa：允许的出错概率；flag：非零值时显示相关量 P=arorder(x,norder,pmin,pmax,pfa,flag) norder：使用的累积量阶数 ARMA估计的MATLAB实现： [avec,bvec]=armaqs(x.p,q,norder,maxlag, samp_seg,overlag,flag) 2019/12/16

61 3.3有色噪声中的频率估计 3.3.1、谐波过程的累量 (Cumulantes of Harmonic Processes ) 1、谐波过程
相位 为在 内均匀分布的随机变量。 2019/12/16

62 v(n)是与x(n)相独立的有色高斯噪声
令己知的观测信号为： v(n)是与x(n)相独立的有色高斯噪声 我们的目的在于：在己知y(n)的条件下，估计x(n)中各个谐波的幅值与频率，称为频率估计，或称为谐波恢复。 2019/12/16

63 无相位耦合过程，即各分量相位之间统计独立；
谐波过程可分为： 无相位耦合过程，即各分量相位之间统计独立； 有相位耦合过程，含二次相位耦合、三次相位耦合等。 2019/12/16

64 2、谐波过程的累量定义 无相位耦合时有 2019/12/16

65 对于平稳过程，其累量定义应与时间起点无关；
谐波过程的累量定义的依据： 对于平稳过程，其累量定义应与时间起点无关； 其k阶累量不能全部为零； 若 上均匀分布，并令 ，则有下列等式成立： 为非零整数 2019/12/16

66 3、无相位耦合过程的累量 奇阶次累量恒为零； 为非零整数 2019/12/16

67 不为零的四阶累量可定义为： 2019/12/16

68 4、二次相位耦合过程的累量： 谐波过程中各分量由于相位耦合而相关。 ， 2019/12/16

69 由于二次相位耦合， 最后可得三阶累量的定义为 2019/12/16

70 3.3.2、高斯噪声背景下的谐波恢复 1、线性予测法： 利用高斯噪声的四阶累量为零来抑制噪声的影响；
利用谐波过程为退化的AR过程的原理，将谐波恢复过程转化为ARMA参数辨识过程。 2019/12/16

71 2、谐波过程的四阶累量与二阶累量的关系 若令 2019/12/16

72 则有下式成立： 2019/12/16

73 基本思想是利用四阶累量与二阶累量(相关函数)的关係，将功率谱估计中的方法进行推广。
3、基于特征值分解的谐波分析法 基本思想是利用四阶累量与二阶累量(相关函数)的关係，将功率谱估计中的方法进行推广。 MUSIC法 (Multiple Signal Classification ) 2019/12/16

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75 包含p个复谐波的谐波信号x(n)的相关矩阵的秩为P，所以有
前m个特征向量张成信号子空间S， 2019/12/16

76 后(M-p+1)个特征值张成与S正交的噪声子空间G。
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77 由S与G正交得： 2019/12/16

78 基于高阶累量的MUSIC法的关键是如何由观 测信号y(n)来获取它的相关矩阵的特征矢量
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79 该信号与x(n)的频率完全相同。因此，可通过计算y(n)的四阶累量来获取它的自相关矩阵及其特征矢量。
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81 3.3.3、非高斯噪声背景下的谐波恢复 1、利用无相位耦合过程三阶累量恆为零的性质，先估计非高斯噪声参数；
2、使用滤波方法得到MA模型的噪声信号； 3、利用四阶累量与二阶累量的关係，及MA信号的二阶累量为有限长度的性质进行频率估计。 2019/12/16

82 3.4 高阶谱的应用 应用高阶谱的动机大致有以下几点： 3.4.1、 从非高斯信号中提取信息。
这是基于累量描述了信号与高斯分布偏离的程度。实际上，任何周期信号、准周期信号都是非高斯的。例如，复杂的机械系统自身“辐射”的信号都是非高斯的。 2019/12/16

83 3.4.2、 检测和定性分析一个系统的非线性特征 根据高斯信号通过线性系统后仍为高斯信号的规律，通过使用高阶谱检测未知系统在高斯信号输入下，其输出信号相对于高斯信号的偏离程度来分析系统的非线性特征。可检测和分析机械系统、电子系统或其它物理系统，以及一些检测系统，如水下传感器、空间传感器、心电信号传感器、脑电信号传感器等所具有的非线性特征。 2019/12/16

84 3.4.3 、 从有色高斯测量噪声中提取信号 例如时延估计技术。设接收到的两个信号序列为{x(n)}和{y(n)}，
水下信号、空间信号等的测量噪声都是有色的高斯噪声。高阶谱对高斯噪声是零响应，或称为是盲高斯的。因此，可以较好地从噪声中分离出信号。 例如时延估计技术。设接收到的两个信号序列为{x(n)}和{y(n)}， 2019/12/16

85 因此，利用高阶谱对高斯噪声是零响应，采用三阶累量,峰值将出现在
若假设s(n)是非高斯信号，测量噪声ω(n)和是与s(n)相互独立的零均值高斯白噪声，那么很明显，x(n)和y(n)的最佳匹配发生在时移等于d时，它们的互相关和三阶累量分别为 因此，利用高阶谱对高斯噪声是零响应，采用三阶累量,峰值将出现在 2019/12/16

86 3.4.4、非最小相位系统的参数辨识 由于高阶谱含有信号的相位信息。这对于非最小相位系统的辨识和解逆滤波的问题十分有效。
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87 3.4.5、 相位耦合的检测 当谐波过程的各分量相互独立时，则此谐波信号的三阶累量恒为零。但当分量之间存在二次相位耦合关系时，则它的三阶累量不为零。因此，可以通过估计谐波信号的三阶累量及对应的双谱来检测二次相位耦合现象的存在。 可以证明：当某信号为谐波和的平方时，该信号将呈现二次相位耦合。因此，二次相位耦合现象的检测也是一类特殊的非线性的检测。 2019/12/16

88 电机的故障诊断 在感应电机中，由于定子与转子之间径向磁通的存在，所以有电磁应力作用于定子和转子而产生振动。可以证明，每单位表面的电磁应力是正比于径向磁通密度的平方。即每单位表面的应力为 它将出现二次相位耦合现象。并且，对于感应电机的不同故障，随着谐波成份的改变，将出现不同特征的二次相位耦合现象。 2019/12/16

89 因此，使用计算高阶累量的方法，估计感应电机振动信号的双谱即可压制无二次相位耦合的谐波分量，而凸现不同故障状态下的不同二次相位耦合特征。这正是使用双谱法提取感应电机故障特征的主要依据。
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