计数问题中排列组合问题是最常见的，由 于其解法往往是构造性的, 因此方法灵活多样, 不同解法导致问题难易变化也较大，而且解题 过程出现 “ 重复 ” 和 “ 遗漏 ” 的错误较难自检发现。 因而对这类问题归纳总结，并把握一些常见解 题模型是必要的。 计数问题中排列组合问题是最常见的，由 于其解法往往是构造性的, 因此方法灵活多样, 不同解法导致问题难易变化也较大，而且解题 过程出现 “ 重复 ” 和 “ 遗漏 ” 的错误较难自检发现。 因而对这类问题归纳总结，并把握一些常见解 题模型是必要的。

两个原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 计数原理 排列 组合 定义 排列应用题 排列数 定义 公式 定义 组合应用题 组合数 定义 公式 性质 排列组合的综合应用排列组合的综合应用

名称内 容 分类原理分步原理 定 义 相同点 不同点 两个原理的区别与联系： 做一件事或完成一项工作的方法数 直接（分类）完成 每次得到的是最后结果 间接（分步骤）完成 每次得到的是中间结果 做一件事，完成它可以有 n 类办法， 第一类办法中有 m 1 种不同的方法， 第二类办法中有 m 2 种不同的方法 … ， 第 n 类办法中有 m n 种不同的方法， 那么完成这件事共有 N=m 1 +m 2 +m 3 +…m n 种不同的方法 做一件事，完成它可以有 n 个步骤， 做第一步中有 m 1 种不同的方法， 做第二步中有 m 2 种不同的方法 …… ， 做第 n 步中有 m n 种不同的方法， 那么完成这件事共有 N=m 1 ·m 2 ·m 3 ·…·m n 种不同的方法.

1. 排列和组合的区别和联系： 名 称名 称排 列组 合 定义 种数 符号 计算 公式 关系 性质 ， 从 n 个不同元素中取出 m 个元 素，按一定的顺序排成一列 从 n 个不同元素中取出 m 个元 素，把它并成一组 所有排列的的个数所有组合的个数

例 1 [ 北京市丰台区高三练习 ] 如图，某电子器件是由三个电 阻组成的回路, 其中有 6 个焊接 点 A ， B ， C ， D ， E ， F ，如果某个焊接点脱 落，整个电路就会不通。现发现电路不通 了, 那么焊接点脱落的可能性共有（ ） 63 种 （ B ） 64 种 （ C ） 6 种 （ D ） 36 种 分析 : 由加法原理可知 由乘法原理可知 2×2×2×2×2×2-1=63 一. 把握分类原理、分步原理是基础

小结：本题主要考查了二个原理、分类讨论的思 想。以物理问题为背景（或其它背景如以英语单 词）的排列、组合应用题，显得小巧有新意. [ 练习 ] 将 3 种作物种植在如图 所示的 5 块实验田里，每块种植一种作物且 相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种 植方法共有 ________ 种 ( 以数字作答 ) [ 解析 ] 分别用 a 、 b 、 c 代表 3 种作物，先安排 第一块田，有 3 种方法，不妨设放入 a ，再安排 第二块田，有 2 种方法 b 或 c. 不妨设放入 b ，第 三块田也有 2 种方法 a 或 c.

一. 把握分类原理、分步原理是基础

练习 1 [ 北京朝阳区高三练习 ] 在今年国家公务员录用中， 某市农业局准备录用文秘人员二名，农业企业管理人 员和农业法制管理人员各一名，报考农业局公务人员 的考生有 10 人，则可能出现的录用情况有 ____ 种（用 数字作答）。 解法 1: 解法 2: 一. 把握分类原理、分步原理是基础 本题考查了乘法原理或先组后排。高考突出考查 运算能力，排列、组合的选择填空题都要求以数字作 答，同学们千万要注意。

二、注意区别 “ 恰好 ” 与 “ 至少 ” 例 2 [ 云南省高考模拟试题 ] 从 6 双不同颜色的手套中 任取 4 只，其中恰好有一双同色的手套的不同取法共 有（ ） (A) 480 种（ B ） 240 种 （ C ） 180 种 （ D ） 120 种 小结： “ 恰好有一个 ” 是 “ 只有一个 ” 的意思。 “ 至少有一个 ” 则是 “ 有一个或一个以上 ” ，可用分类讨论法求解，它也是 “ 没有一 个 ” 的反面，故可用 “ 排除法 ” 。 解： 练习 2 [ 云南省高考模拟 ] 从 6 双不同颜色的手套中任取 4 只，其中至少有一双同色手套的不同取法共有 ____ 种 解：

三、特殊元素（或位置）优先安排 例 3 [ 西安市高考模拟试题 ] 将 5 列车停在 5 条不同的轨道 上，其中 a 列车不停在第一轨道上， b 列车不停在第二 轨道上，那么不同的停放方法有（ ） （ A ） 120 种 （ B ） 96 种 （ C ） 78 种 （ D ） 72 种 解： 练习 3 [ 北京东城区高考模拟试题 ] 从 7 盆不同的盆花 中选出 5 盆摆放在主席台前，其中有两盆花不宜摆放 在正中间，则一共有 _____ 种不同的摆放方法（用数 字作答）。 解：

小结： 1 、 “ 在 ” 与 “ 不在 ” 可以相互转化。解 决某些元素在某些位置上用 “ 定位法 ” ，解决 某些元素不在某些位置上一般用 “ 间接法 ” 或 转化为 “ 在 ” 的问题求解。 2 、排列组合应用题极易出现 “ 重 ” 、 “ 漏 ” 现 象，而重 ” 、 “ 漏 ” 错误常发生在该不该分类、 有无次序的问题上。为了更好地防 “ 重 ” 堵 “ 漏 ” ，在做题时需认真分析自己做题思路， 也可改变解题角度，利用一题多解核对答 案

四、 “ 相邻 ” 用 “ 捆绑 ” ， “ 不邻 ” 就 “ 插空 ” 例 4 [ 广州市二模 ] 七人排成一排，甲、乙两人必须相邻， 且甲、乙都不与丙相邻，则不同的排法有（ ）种 （ A ） 960 种 （ B ） 840 种 （ C ） 720 种 （ D ） 600 种 解：另解： 小结：以元素相邻为附加条件的应把相邻元素视为 一个整体，即采用 “ 捆绑法 ” ；以某些元素不能相邻为 附加条件的, 可采用 “ 插空法 ” 。 “ 插空 ” 有同时 “ 插空 ” 和 有逐一 “ 插空 ”, 并要注意条件的限定.

练习 4 [ 黄冈 5 月高考模拟试题 ] 某城新建的一条道 路上有 12 只路灯，为了节省用电而不影响正常的 照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄 灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法 共有（ ） （ A ） 种（ B ） 种 （ C ） 种 （ D ） 种 注 : 上题中熄灭三盏灯, 改为将其中三盏灯改成红、 黄、绿色灯, 且它们不相邻也不在两端如何解 ? 解： 四、 “ 相邻 ” 用 “ 捆绑 ” ， “ 不邻 ” 就 “ 插空 ”

五、混合问题，先 “ 组 ” 后 “ 排 ” 例 5 对某种产品的 6 件不同的正品和 4 件不同的次品, 一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次 品恰好在第 5 次测试时全部发现, 则这样的测试方法 有种可能？ 解：由题意知前 5 次测试恰有 4 次测到次品，且第 5 次测试是次品。故有： 种可能 练习 5 某学习小组有 5 个男生 3 个女生，从中选 3 名男生和 1 名女生参加三项竞赛活动，每项活动 至少有 1 人参加，则有不同参赛方法 ______ 种. 解：采用先组后排方法 :

小结：本题涉及一类重要问题：问题中既有元 素的限制，又有排列的问题，一般是先元素 （即组合）后排列。

[ 例 6] 6 个女同志 ( 其中有一个领唱 ) 和 2 个 男同志，分成两排表演． (1) 每排 4 人，问共有多少种不同排法？ (2) 领唱站在前排，男同志站在后排，还是 每排 4 人，问有多少种不同的排法？ [ 分析 ] 排队问题与排数问题相似，首先 要看有无特殊元素，特殊位置；进而是如 何安排特殊元素等． 六. 平均分堆（分配）问题

[ 例 7] 把 4 个男同志和 4 个女同志平均分成 4 组， 到 4 辆公共汽车里参加售票劳动，如果同样两 人在不同汽车上服务算作不同情况． (1) 有几种不同的分配方法？ (2) 每个小组必须是一个男同志和一个女同志有 几种不同的分配方法？ (3) 男同志与女同志分别分组，有几种不同的分 配方法？ 六. 平均分堆（分配）问题

[ 分析 ] 平均分组问题与次序无关，应注意 分组的基本方法；同时还应注意分组的其 他要求，使之分成的各组满足题目的要 求． 六. 平均分堆（分配）问题

例 8 (1) 今有 10 件不同奖品, 从中选 6 件分给甲一件, 乙二件和丙三件, 有多少种分法 ? (2) 今有 10 件不同奖品, 从中选 6 件分给三人, 其中 1 人一件 1 人二件 1 人三件, 有多少种分法 ? (3) 今有 10 件不同奖品, 从中选 6 件分成三份, 每份 2 件, 有多少种分法 ? 解：（ 1 ） （2） （2） (3) 七、分清排列、组合、等分的算法区别

小结：排列与组合的区别在于元素是否有序 ; m 等 分的组合问题是非等分情况的 ; 而元素相同时又要另 行考虑.

练习 6 (1) 今有 10 件不同奖品, 从中选 6 件分成三份, 二份 各 1 件, 另一份 4 件, 有多少种分法 ? (2) 今有 10 件不同奖品, 从中选 6 件分给甲乙丙三人, 每人二件有多少种分法 ? 解 : (1) (2) 六、分清排列、组合、等分的算法区别

七、分类组合, 隔板处理 构造 “ 小球投盒 ” 模型：把 n 个相同的小球放到 m 个（ m ＜ n ）不同盒子中，有多少种放法？ (1) 若每个盒子中至少放一球，则只需在 n 个小球的 （ n － 1 ）个空档中放置（ m － 1 ）块隔板把它隔成 m 份，共有 种放法。 (2) 若恰有 k 个盒子不放球，则只需在 n 个小球的 (n － 1) 个空档中放置（ m － k － 1 ）块隔板，把它分隔成 (m － k) 份，共有 · 种放法。 ·

七、分类组合, 隔板处理 例 9 从 6 个学校中选出 30 名学生参加数学竞赛, 每 校至少有 1 人, 这样有几种选法 ? 分析 : 问题相当于把个 30 相同球放入 6 个不 同盒子 ( 盒子不能空的 ) 有几种放法 ? 这类问 可用 “ 隔板法 ” 处理. 解 : 采用 “ 隔板法 ” 得 :

练习：某中学准备组建一个 18 人的足球队，这 18 人由高（一） 10 个班的学生组成，每个班级至少一 个，名额分配方案共有 种。 练习：将 5 个相同的小球投入到 4 个不同的盒子中， 求： （ 1 ）每个盒子中至少有 1 个球的放法有多少种？ （由公式一知： =4 种） 七、分类组合, 隔板处理 = （ 2 ）恰有 1 个空盒的放法有多少种？（由公式二知： （ 3 ）恰有 2 个空盒的放法有多少种？（由公式二知： [ 解 ] 构造一个隔板模型， 18 个名额有 17 个空档，在 空档中插入 9 个隔板，插入数为

小结：把 n 个相同元素分成 m 份每份, 至少 1 个元素, 问 有多少种不同分法的问题可以采用 “ 隔板法 ” 得出共有 种.