随机变量及其概率分布 第二章 离散型随机变量及其分布律 正态分布 连续型随机变量及其分布律 随机变量函数的分布

在前面的学习中, 我们用字母 A 、 B 、 C... 表 示事件，并视之为样本空间 Ω 的子集；针对等 可能概型，主要研究了用排列组合手段计算事 件的概率。 本章，将用随机变量表示随机事件，以便 采用高等数学的方法描述、研究随机现象。 随机变量及其分布 Random Variable and Distribution

随机变量 基本思想 将样本空间数量化, 即用数值来表示试验的结果 有些随机试验的结果可直接用数值来表示. 例如 : 在掷骰子试验中, 结果可用 1,2,3,4,5,6 来表示 例如 : 掷硬币试验, 其结果是用汉字 “ 正面 ” 和 “ 反面 ” 来表示的 可规定 : 用 1 表示 “ 正面朝上 ” 用 0 表示 “ 反面朝上 ” Random Variable 有些随机试验的结果不是用数量来表示， 但可数量化

例 例 设箱中有 10 个球，其中有 2 个红球， 8 个白 球；从中任意抽取 2 个, 观察抽球结果。 取球结果为 : 两个白球 ; 两个红球 ; 一红一白 特点 ： 试验结果数量化了，试验结果与数建立了 对应关系 如果用，则 X 的取值可为 0 ， 1 ， 2 。 如果用 X 表示取得的红球数，则 X 的取值可为 0 ， 1 ， 2 。 此时， “ 两只红球 ”= “ X 取到值 2”, 此时， “ 两只红球 ”= “ X 取到值 2”, 可记为 {X=2} “ 一红一白 ” {X=1}, “ 一红一白 ” 记为 {X=1}, “ 两只白球 ”{X=0} “ 两只白球 ” 记为 {X=0} 试验结果的数量化

随机变量的定义 1) 它是一个变量 2) 它的取值随试验结果而改变 3 ）随机变量在某一范围内取值，表示一个 随机事件 随机变量 随机变量的两个特征 : 设随机试验的样本空间为 Ω ，如果对于每一 个样本点 ，均有唯一的实数 与 之对应，称 为样本空间 Ω 上 的随机变量。

 某个灯泡的使用寿命 X 。  某电话总机在一分钟内收到的呼叫次数 Y.  在 [0 ， 1] 区间上随机取点，该点的坐标 X. X 的可能取值为 [0,+  ) Y 的可能取值为 0 ， 1 ， 2 ， 3 ，..., X 的可能取值为 [0 ， 1] 上的全体实数。 例 随机变量的实例

用随机变量表示事件 若 X 是随机试验 E 的一个随机变量， S ⊂ R ，那么 {X ∈ S } 可表示 E 中的事件 如在掷骰子试验中，用 X 表示出现的点数, 则 “ 出现偶数点 ” 可表示为： {X=2}  {X=4}  {X=6} “ 出现的点数小于４ ” 可表示为： {X< 4} 或 {X  3} E 中的事件通常都可以用 X 的不同取值来表示.

随机变量的类型 离散型 非离散型 随机变量的所有取值是有限个或可列个 随即变量的取值有无穷多个，且不可列 其中连续型随机变量是一种重要类型

离散随机变量的概率分布 称此式为 X 的分布律（列）或概率分布 （ Probability distribution) 设离散型随机变量 的所有可能取值是 ，而取值 的概率为 即

随机变量 X 的概率分布全面表达了 X 的所有可能取 值以及取各个值的概率情况 p 1 ， p 2 ， … p K … P x 1 ， x 2 ， … x k ， … X 离散随机变量分布律的表格表示法 公式法 表格法 性质

例 设 X 的分布律为 求 P(0<X≤2) P(0<X≤2)=P （ X=1 ） +P （ X=2 ） =1/2+1/6=2/3 分布律确定概率 解

=P( 抽得的两件全为次品 ) 求分布律举例 例 1 设有一批产品 20 件，其中有 3 件次品，从中任 意抽取 2 件，如果用 X 表示取得的次品数，求随机变 量 X 的分布律及事件 “ 至少抽得一件次品 ” 的概率。 ： 解： X 的可能取值为 0 ， 1 ， 2 =P( 抽得的两件全为正品 ) P{X=1} P{X=2} =P( 只有一件为次品 ) P{X=0}

故 X 的分布律为 而 “ 至少抽得一件次品 ”={X≥1} } = {X=1}  {X=2} P{X≥1}= P{X=1}+P{X=2} 注意： {X=1} 与 {X=2} 是互不相容的！ 实际上，这仍是古典概型的计算题，只是表达事 件的方式变了 故

从一批次品率为 p 的产品中，有放回抽样直到抽到 次品为止。求抽到次品时，已抽取的次数 X 的分布律。  解 记 A i =“ 第 i 次取到正品 ”,i=1,2,3,…  则 A i, i=1,2,3,… 是相互独立的！ 且 1 ， 2 ， 3 ， …,k, … X 的所有可能取值为 1 ， 2 ， 3 ， …,k, … P(X=k)= (1-p) k-1 p,k=1,2, … ( X=k ) 对应着事件 例

设随机变量 X 的分布律为 试确定常数 b. 解 由分布律的性质, 有 例

几种常见的离散型分布 0-1 分布 ( 二点分布 ) 0-1 分布 ( 二点分布 ) 1 － p p P 0 1 X 则称 X 服从 参数为 p 的二点分布或 (0-1) 分布, △： △背景：样本空间只有两个样本点的情况 都可以用两点分布来 描述。 如：上抛一枚硬币。 △定义： △定义： 若随机变量 X 的分布律为 :

例 设一个袋中装有 3 个红球和 7 个白球，现在从中 随机抽取一球，如果每个球抽取的机会相等， 并且用数 “1” 代表取得红球， “0” 代表取得 白球，则随机抽取一球所得的值是一个离散型 随机变量 其概率分布为 即 X 服从两点分布。

其中 0< p <1, 则称 X 服从参数为 n, p 的二项分布 ( 也称 Bernoulli 分布）, 记为 X ～ B( n, p) 二项分布 Binomial distribution 在 n 重贝努利试验中, 若以 X 表示事件 A 发生的次数, 则 X 可能的取值为 0,1,2,3,…,n. 随机变量 X 的分布律

从一批由 9 件正品、 3 件次品组成的产品中, 有放回地 抽取 5 次, 每次抽一件, 求恰好抽到两次次品的概率. 有放回地抽取 5 件, 可视为 5 重 Bernoulli 实验 记 X 为共抽到的次品数，则 A=“ 一次实验中抽到次品 ” ， P(A)=3/12, n=5 p=1/4 例 解

例 一大批种子发芽率为 90% ，今从中任取 10 粒. 求播种后, 求（ 1 ）恰有 8 粒发芽的概率；（ 2 ） 不小于 8 粒发芽的概率。 解 X ～ B （ 10, 0.9 ） (1) P(X=8)= P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)

泊松分布 Poisson distribution 若随机变量 X 的分布律为 : 其中 >0, 则称 X 服从参数为 的 泊松分布 X ～ P( ) 定义

服务台在某时间段内接待的服务次数 X ； 交换台在某时间段内接到呼叫的次数 Y; 矿井在某段时间发生事故的次数 ; 显微镜下相同大小的方格内微生物的数目； 单位体积空气中含有某种微粒的数目 体积相对小的物质在较大的空间内的稀疏分 布，都可以看作泊松分布, 其参数 可以由观测 值的平均值求出。 实际问题中若干 R.v.X 是服从或近似服从 Poisson 分布的

已知某电话交换台每分钟接到的呼唤次数 X 服从 的泊松分布，分别 求（ 1 ）每分钟内恰好接到 3 次呼唤的概率；（ 2 ）每分钟不超过 4 次的概率 例 解

泊松定理 ： 实际应用中：当 n 较大,p 较小， np 适中时，即可 用泊松公式近似替换二项概率公式 二项分布的泊松近似 The Poisson Approximation to the Binomial Distribution

某人骑摩托车上街, 出事故率为 0.02 ，独立重复 上街 400 次，求出事故至少两次的概率. 400 次上街  400 重 Bernoulii 实验 记 X 为出事故的次数，则 ≈1- e e -8 ≈ P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1) 结果表明，随着实验次数的增多，小概率事件总 会发生的！ = （ 0.02)( ) ≈ 泊松定理 例 解

若某人做某事的成功率为 1% ，他重复努力 400 次， 则至少成功一次的概率为 成功次数服从二项概率 有百分之一的希望，就要做百分之百的努力

随机变量的分布函数 设 X 为一随机变量, 则对任意实数 x ， (X<x) 是 一个随机事件，称 随机变量 X 的 为随机变量 X 的分布函数 定义域为 （－ ∞ ，＋ ∞ ）； 值域为［０，１］。 F(x) 是一个普 通的函数 ！ Distribution Function 分布函数的定义

引进分布函数 F(x) 后，事件的概率都可以用 F(x) 的函数值来表示。 分布函数表示事件的概率 P （ X<b ） =F(b) P （ a≤X<b ） =F(b) ﹣ F(a) P （ X≥b ） =1 ﹣ P （ X<b ） =1 - F(b) P （ a ≤ X < b ） =P(X < b)-P(X<a)= F(b)- F(a)

已知 X 的分布律为 求 X 的分布函数， 并画出它的图形。

分布函数的性质 F(x) 是单调不减函数 0≤ F(x) ≤1, 且 不可能事件 必然事件 F(x) 处处左连续

分布函数 F(x) 的图形 F(x) 是单调不减函数

是不是某一随机变量的分布函数？ 不是 因为 函数可作为分布函数

概率密度函数 定义 设 X 为一随机变量，若存在非负实函数 f (x), 使对任意实数 a < b ，有 则称 X 为连续型随机变量， f (x) 称为 X 的概 率密度函数, 简称概率密度或密度函数. Probability density function p.d.f. 分布函数

密度函数在区间上的积分 = 随机变量在区间上取值的概率

概率密度函数的性质 非负性 规范性

密度函数和分布函数的关系 积分关系 导数关系

连续型随机变量的分布函数在实数域内处处连续 P(X=a)=0 P(a  X< b)= P(a<X  b)=P(a  X  b)=P(a<X<b) X 取值在某区间的概率等于密度函数在此区间 上的定积分 连续型随机变量的分布函数的性质 因此，连续型随机变量取任意指定实数值 a 的概率为 0

解 Step1: 利用密度函数的性质求出 a 例：已知密度函数求概率 Step2: 密度函数在区间的积分得到此区间的概率

例：已知分布函数求密度函数 （ 2)X 的密度函数 （ 2 ）密度函数为 解

解 当 x  1 时 y x x 当 1 < x  5 时 例：已知密度函数求分布函数 已知连续型随机变量 X 的概率密度为 求 X 的分布函数

当 x>5 时 所以

已知连续型随机变量 X 的概率密度为 （ 2 ） 求 X 的分布函数

（ 2) 求 X 的密度函数

均匀分布 若连续型随机变量 X 的概率密度为 则称 X 在区间 （ a ， b ）上服从均匀分布．记为 X ~ U (a, b) Uniform Distribution 定义 分布函数

0 a b x X“ 等可能 ” 地取区间（ a,b ）中的值，这里的 “ 等可能 ” 理解为： X 落在区间（ a,b) 中任意等长度的子区间内的可能 性是相同的。或者说它落在子区间内的概率只依赖于子区 间的长度而与子区间的位置无关。 0 a b x （ ） c d 意义

102 电车每 5 分钟发一班，在任一时刻 某一乘客到 了车站。求乘客候车时间不超过 2 分钟的概率。 设随机变量 X 为候车时间，则 X 服从（ 0 ， 5 ）上的均 匀分布 解 例 X～U（0，5）X～U（0，5） 几何概型（一维）

设 ξ 在 [-1 ， 5] 上服从均匀分布，求方程 有实根的概率。 解 方程有实数根 即 而 的密度函数为 所求概率为

指数分布 若连续型随机变量 X 的概率密度为 Exponential Distribution 定义 分布函数 则称 X 服从参数为 的指数分布.

例 设 X 服从参数为 3 的指数分布，求它的密度函 数 及和 解 X 的概率密度