第二部分 运算 —— 代数 第四章 字母与代数式 首都师范大学 王尚志
第四章 字母与代数式 字母与代数式的功能： 字母替代数的作用 符号的分类与作用 多项式运算：代数和与合并同类项 乘积、公式、二项式定理 除、余数定理 —— 整除、方程、因式分解 如何确定 n 次多项式 —— 待定系数与 Lagrange 插值 齐次多项式 —— 韦达定理 代数基本定理 —— 方程理论
第四章 字母与代数式 字母与代数式的功能： 字母替代数的作用 把一类数学问题表示为一个数学问题 运用运算解决一类问题 —— 如何提高运算能力
第四章 字母与代数式 字母与代数式的功能： 符号的分类与作用 符号分类 表示一类对象： 自然数 ---N ，整数 ---Z ，有理数 ---Q ，实数 ---R ，复数 ---C ，等 集合符号：（ a ， b ） = { x ∈ R| a< x < b} ，等 表示一类关系： 运算关系、顺序关系、等量关系、不等关系、函数关系 例如， 公式、方程、不等式、函数、微分方程 特殊关系简化表示：求和、积分、极限等 表示一类结构： 代数结构 序结构 度量空间 拓扑空间 符号作用： 体现数学基本素养抽象概括、推理论证、数学建模、运算能力、几何直观、数据分析
第四章 字母与代数式 字母与代数式的功能： 多项式运算： 运算的第一步 代数和与合并同类项 单位再认识 去括号 等式性质 —— 移项 对初中数学：解方程第一步 —— 那个阶段解决合并同类项？
第四章 字母与代数式 字母与代数式的功能： 多项式乘法、公式、二项定理 —— 为什么说 “ 乘法对加法的分配律 ” 是中学数学最重要的法则？ —— 初中三个公式的推导：重视代数、几何？ —— 二项式定理与二项分布推导核心思路 —— 构造性证明 与中小学数学联系： 为什么初中数学学习的公式从七个到三个？
第四章 字母与代数式 字母与代数式的功能： 多项式整除、余数定理 —— 整除（二次三项式） ： 整除 、因式分解、方程根 —— 推广：余数定理 —— 待定系数（求解方程组）确定多项式函数 ——Lagrange 插值 —— 确定 n 次多项式函数 与中小学数学联系： 初、高中数学二次三项式的因式分解？ 小学、初、高中数学的探究规律？
第四章 字母与代数式 字母与代数式的功能： 对称多项式 —— 韦达定理 二次三项式的韦达定理及其证明 韦达定理推广 基本对称多项式与对称多项式 与中小学数学联系： 初、高中数学二次三项式的因式分解？
第四章 字母与代数式 字母与代数式的功能： 代数基本定理 在复数域，每一个 n 次复系数多项式函数有一个复数根。 推论：每一个奇次实系数多项式函数存在一个实数根。 推论：每一个实系数多项式函数都可以唯一分解为一次因子与二 次因子的乘积。
第四章 字母与代数式 字母与代数式的功能： 方程理论 一元一次方程 一元二次方程求根公式 一元三次方程求根公式 一元四次方程求根公式 阿贝尔定理：不存在五次及五次以上的方程求根公式。 伽洛瓦定理：五次及五次以上的方程存在求根公式的充要条件。
第四章 字母与代数式 字母与代数式的功能： 方程理论 一元一次方程 一元二次方程求根公式 一元三次方程求根公式 一元四次方程求根公式 与中小学数学联系： 四个二次问题（一元二次函数、方程、不等式、二次三项式）与配方 用函数认识四个二次问题
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