4.3 一阶线性微分方程 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习 四、实训
一、案例 [ 溶液的混合 ] 一容器内盛有 50L 的盐水溶液，其中含有 10g 的盐．现将每升含盐 2g 的溶液以每分钟 5L 的速度注 入容器，并不断进行搅拌，使混合液迅速达到均匀， 同时混合液以 3L/min 的速度流出溶液，问任一时刻 容器中含盐量是多少？
解 设 t 时刻容器中含盐量为 x g ，容器中含盐量的变 化率为 盐流入容器的速度－盐流出容器的速度 （ 1 ） 盐流入容器的速度 =2 （ g/L ） ×5 （ L/min ） =10(g/min) = (g/min) 盐流出容器的速度 = （ g/L ） ×3 （ L/min ）
即 此一阶线性微分方程的特点是：未知函数及其 导数都是一次的． 由题意知初始条件为 ． 由式（ 1 ）得
(1) 线性 的微分方程称为一阶线性微分方程．当 Q(x) 恒等于零时, 方程 (1) 称为齐次微分方程；当 Q(x) 不恒为零时，方程 (1)) 非齐次微分方程． 二、概念及公式的引出 一阶线性微分方程 形如
（一）一阶线性齐次微分方程的解法 在方程 (1) 中，若 ，则 （2）（2） 是可分离变量微分方程，分离变量，得
即 这是齐次微分方程（ 2 ）的通解． 两边积分，得 研究
（二）一阶线性非齐次微分方程的解法 一阶线性非齐次微分方程 (1) 的解可用 “ 常数变易法 ” 求得．这种方法是将 (1) 的通解中的任意常数 C ，换为 x 的函数 C(x) ，即令
两边求导，得 将 y 、 的表达式代入方程 (1) ，得
两边积分，得 将此式代入 ，便得非齐次线性微分方 (*) 方程 (1) 的通解为
将通解公式 (*) 改写成两项之和为 齐次方程 的通解 非齐次方 程的特解 (3)
的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和． 式 (3) 右端第一项是对应的齐次方程 (2) 的通解， 第二项是非齐次线性方程 (1) 的一个特解． 由此可知一阶非齐次线性方程的通解等于对应
三、进一步的练习 练习 1[ 案例的求解 ] 解 (1) 求通解 应用常数变易法，这里，我们直接应用公式 (3). 为求通解可以先求出对应齐次方程的通解，然后
（ 2 ）求特解 将初始条件 代入通解，得 C = 所以，在时刻 t 容器中的含盐量为
定律，知电流 ( 单位： A) 满足以下微分方程 练习 2 [RL 电路 ] 在一个包含有电阻 R( 单位： ) ，电感 L( 单位： H) 和电源 E( 单位： V) 的 RL 串联回路中，由回路电流
若电路中电源 V, 电阻 10, 电感 0.5H 和初始 解 （ 1 ）建立微分方程 这里,R=10,L=0.5, 将其代入 RL 电路中电流 应满足的微分方程，得 初始条件为 ． 电流 6A ，求在任何时刻 t 电路中的电流．
（ 2 ）求通解 此方程是一阶线性微分方程，应用公式 (3) ，得通解
（ 3 ）求特解 将 t=0 时,I=6 代入通解，得 解之，得
所以，在任何时刻 t 的电流为
练习 3 [ RC 回路 ] 在一个包含有电阻 R( 单位： ), 电容 C( 单位： F) 和电 源 E( 单位： V) 的 RC 串联回路中, 由回路电流定律, 知电 容上的电量 q( 单位： C) 满足以下微分方程
电路中的电流． 解 （ 1 ）建立微分方程，我们先求电量 q. 因为 代入 RC 回路中电量 q 应满足的微分方程，得 初始条件为. 0.01F ，电容上没有初始电量. 求在任意时刻 t 若回路中有电源 V, 电阻 100 ，电容
（ 2 ）求通解 此方程是一阶线性微分方程，应用公式 (3) ，得 将 t=0,q=0 代入上式，得
解之，得 ． 于是再由电流与电量的关系 ，得 研究
四、实训 1 ． [ 曲线方程 ] 已知一曲线过原点，它在点任意点 (x,y) 处的切线斜率等于 2x+y ，求此曲线方程 。 2. [RL 电路 ] 在一个 RL 电路中，电阻为 12 欧姆，感应 系数为 4 亨利，如果电池提供 60V 的电压，当 t=0 时开 关合上，电流初值为 I(0)=0. 求 : (1)I(t); (2)1s 后的电流。
3. [ 电路中的电流 ] 在上题中，用发电机代替电池，电 阻和感应系数不变，发电机产生的电压为 E(t)=60sin30t V ，求 I(t). 4. [RC 回路 ] 一个 RC 回路中有电源 100V ，电阻 5 电容 0.02F 和最初有 5C 电量的电容，求在任意时刻 t ， 电容上的电量和电路中的电流.