第三章 导数与微分 社会科学教学部 李海霞

本章内容  3.1 导数的概念及导数的几何意义  3.2 导数的求导法则  3.3 微分概念及求法  3.4 高阶导数

3.1 导数的概念  一、引例  二、导数的定义  三、左导数与右导数  四、可导性与连续性的关系  五、导数的几何意义

一、引例 1. 变速直线运动的瞬时速度 设物体沿直线作变速运动， 其规律为 s=f(t), 其中 s 表示位移， t 表示时间. 求物体在运动过程中某时刻 t=t 0 的瞬时速度 v(t 0 ). 即为 t 0 到 这段时间 内的平均速度. 容易看出，当 越小时，平均速度 将越接近瞬时速度，当 无限趋近于零时，

将越接近瞬时速度，当 无限趋近于零时平均 速度也将无限趋近瞬时速度. 为此，瞬时速度 定义为平均速度当 时的极限，即 平均速度 称为位移 s 在 t 0 到 时间段内 的平均变化率，而瞬时速度 则称为 位移 s 在时间 t=t 0 的 ( 瞬时 ) 变化率.

二、导数的定义 定义 设 y=f(x) 在点 x 0 的某邻域内有定义， 属于该邻域，记, 若 存在，则称其极限值为 y=f(x) 在点 x 0 处的导数，记为

即 导数定义与下面的形式等价： 若 y=f(x) 在 x= x 0 的导数存在，则称 y=f(x) 在点 x 0 处可导， 反之称 y=f(x) 在 x= x 0 不可导，此时意味着 不存在. 函数的可导性与函数的连续性的概念都是描述函数在一点 处的性态，导数的大小反映了函数在一点处变化 ( 增大或 减小 ) 的快慢.

例题 例1例1 解

定义 设 y=f(x) 在 (a,b) 内每个点都可导，则称 y=f(x) 在 (a,b) 内可导. 若 ，则称 为 y=f(x) 在 (a,b) 内的导函数，简称导数 ( 注意，这里求极 限时， x 是固定不变的 ). 导函数也可用 ，或 ，或 来表示. 显然， ，即函数在 x 0 的导数值等于其 导函数在 x 0 的函数值.

例2例2 解 即 例3例3 解

从而有 不难得到

例4例4 解

所以 若取 a=e ，则有

三、左导数与右导数 定义： 左导数 : 右导数 : 显然可以用下面的形式来定义左、右导数

由极限定理不难得到下面的结论： 定理 3.1 y=f(x) 在 x=x 0 可导的充分必要条件是 y=f(x) 在 x=x 0 的左、右导数存在且相等.

四、可导性与连续性的关系 设 f(x) 在 x=x 0 可导，即 则由极限定理知 此时 即有 可见，若 y=f(x) 在 x=x0 处可导，则 y=f(x) 在 x=x 0 处连续. 反之， y=f(x) 在 x=x 0 处 连续， 则 y=f(x) 在 x=x 0 处不一定可导.

例 5 设 f(x)=|x| ，讨论 f(x) 在点 x=0 处的连续性与可导性. 解 因此 f(x)=|x| 在 x=0 连续，但 因此 f(x)=|x| 在点 x=0 处不可导.

例 6 设 f(x)= ，讨论 f(x) 在点 x=0 处的连续性与可导性. 解 ( 极限不存在 ). 综上所述，若 y=f(x) 在点 x 0 处可导，则 y=f(x) 在点 x 0 处连续，反之不 然. 因此 在点 x=0 处连续，但 因此 在点 x=0 处不可导.

五、导数的几何意义 当自变量 x 从 x 0 变化到 时， 曲线 y=f(x) 上的点由 M 0 (x 0,f(x 0 )) 变到 x y 0 M0M0 M y = f (x) x0x0 yy xx 此时 为割线两端点 M 0 ， M 的横坐标 之差，而 则为 M 0 ， M 的纵坐标之差， 所以 即为过 M 0 ， M 两点的割线 的斜率.

. 所以，导数 的几何意义是曲线 y=f(x) 在点 M 0 (x 0,f(x 0 )) 处的切 线斜率. 曲线 y=f(x) 在点 M 0 处的切线即为割线 M 0 M 当 M 沿曲线 y=f(x) 无限接近 M 0 时的极限位置 M 0 P ，因而当 时，割线斜率的极限值就是切线的斜率.

设函数 y=f(x) 在点处可导，则曲线 y=f(x) 在点处的切线方程 为 ( 即法线平行 y 轴 ).

例 7 求曲线 在点 处的切线方程和法线方程. 解 因为 ，从而 M 0 点的切线斜率 法线斜率 所以过点 M 0 的切线方程为 y － 1=3(x － 1), 即 y=3x － 2.

3.2 导数的基本公式和运算法则 一、函数的和、差、积、商的求导法则 二、复合函数的求导法则 三、隐函数的求导法则 四、对数求导法则

函数的求导法则 用定义求导数，既难又烦。为了迅速而准确的求出初 等函数的导数，我们本节将介绍导数的四则运算， 利用四则运算法则，可以解决一些基本初等函数的 求导问题。 一、导数的四则运算法则 ′

证明略 导出公式

例题讲解 例 1 ： 设 y=x 2 +sinx-lnx, 求 y′ 解： =2x+cosx-x -1 例 2 ：设 y=log a x 的导数（ a 〉 0 ， a≠0) 解：解：  练习：求 y=xlnx 的导数 注意：

例 3 ：求 (tanx ） ′ 解：解： 练习 :(cotx ） ′=-csc 2 x (secx) ′=secxtanx (cscx) ′=-cscxcotx 我们把已得到的一些基本导数公式列表如如下： (c ） ′=0 (sinx) ′ =cosx (x n ) ′ =nx n-1 (cosx) ′ =-sinx (e x ) ′ =e x (tanx) ′ =sec 2 x (a x ) ′ =a x lna (cotx) ′ =-csc 2 x (lnx ） ′=x -1 (secx) ′ = secxtanx (log a x) ′ = (cscx) ′ =-cscxcotx

例 4 ： y=6a x -3tanx+e 2, 求 y′ 解： y′= （ 6a x -3tanx+e 2 ） ′ =6 （ a x )′-3 （ tanx ） ′+ （ e 2 ） ′ =6a x lna-3sec 2 x 例 5 ：设 求 y′ 解：

例 6 ：设 ， 求 f′(4) 解：

课后练习 求下列函数的导数 求 f′(x), f′ (4), f′ (a 2 ) 2. y=e x sinx 3 ．

二．复合函数的求导法则 由上节可知（ sinx ） ′=cosx, 那么我们可以猜 想（ sin2x) ′=cos2x, 但是由导数积的运算法则 （ sin2x) ′=2(sinxcos) ′=2cos2x 这个结果为什么不符合我们的猜想呢？ 原因呢，因为 sinx 是基本初等函数，而 sin2x 是一个复合函数。所以本节将讨论复合函数 的求导法则。 法则：若 y=f(u),u=g(x), 且 g(x) 在点 x 处可导， f(u) 在对应点 u 处可导，则 f(g(x) 在点 x 处可导，且

[f(g(x)] ′=f′(u) g′(x) 或 y′ x =y′ u g′ x 也可以为 同样，如果 y=f(u),u=g(v),v=h(x), 则

 注意 : 运用上述公式时，关键是分析清楚复合过程，即 看清楚中间变量 例题讲解 ： 例 1 ：设 y=sin(2x+1) ，求ｙ ′ x 解：这个函数由 y=sinu,u=2x+1 复合而成 ．

例 2 ：设, 求 解：这个函数是由 y=e u,u=3x 2 +x 复合而成， 所以有  方法二：对于较复杂函 数求导可一步一步求． 如例二

例 3 ：设 y=sin ln(1-2x) 求 y′ x 解：解： 我们可以补证： 同理： 练练习求下列函数的导数 １． y=ln(1-2x) 2. y=cos(4-3x) 3.

课后练习  求复合函数的导数

三．隐函数求导法则

 隐函数求导方法 : 两端对 x 求导，但要记住 y 是 x 的函数，然后用复合函数求导法则去求导．  例题讲解 例1例1

注意：隐函数的结果一般是关于ｘ，ｙ的混合函数． 例2例2 解：两边对ｘ求导，

练习：求 y=cos(x+y) 的导数  例 3 ：证明 证明 设 y=arcsinx, 则 x=siny. 两边对 x 求导，得  同理可证：

 例 4 ：证明 证明 令 y=arctanx, 则 x=tany, 两边求导，得 补充公式：

 例 5 设 解： 练习：

课后练习  求下列函数的导数 １． ２． ３．

四．对数求导法 根据隐函数求导法，还可以得到一个简化求导运算的方 法．它适合于几个因子通过乘、除、乘方、开方、所构 成的比较复杂的函数（包括幂指函数）的求导． 对数求导法方法是：先取对数，化乘、除为加、减或化乘 方为乘积，然后利用隐函数求导数求导. 例题讲解

例 1 求 y=x sinx (x>0) 的导数 解： 方法二：利用对数公式 然后运用复合函数求导法求导

例2例2 解 : 先在等式两边取绝对值, 再取对数, 得 练习 : 求 y=x x +arctan2x 的导数 ．

3.3 函数的微分 一、微分的引例 二、微分的定义 三、微分的几何意义 四、微分公式与运算法则

一．微分引例 如右图，正方形的边长由 x 0 变到 x 0 + △ x, 则此正方形的面积改变 量为 △ y=(x 0 + △ x) 2 -x 0 2 =2x 0 △ x+ （△ x ） 2 从上式可以看出，△ y 分为两部分， 第一部分 2x 0 △ x 是△ x 的线性函 数，而第二部分（△ x ） 2 是当 △ x →0 时

比 △ x 高阶的无穷小，由此可见，如果边长改变很微小，即 很小时，面积的改变量 △ y 可近似的用第一部分来代替。 二 微分的定义 ： 设函数 y=f(x) 在某区间内有定义， x 0 及 x 0 + △ x 在这区间内， 如果函数的增量△ y=f(x 0 + △ x)-f(x 0 ) 可表示为△ y=A △ x+0( △ x) 其中 A 是不依赖于 △ x 的常数，而 0( △ x) 是比 △ x 高阶的无穷小， 那么称函数 y=f(x) 在点 x 0 是可微的，而 A △ x 叫做函数在点 x 0 相应于自变量增量 △ x 的微分，记作 dy ， 即 dy=A △ x, 其中 A=, △ x =dx 所以

函数在任意点的微分, 称为函数的微分, 记做 dy 或 d f (x), 即 例1例1 解

例2例2 解

三、 微分的几何意义 如图, 对某一给定的 时, 就得到曲线上另一点 当自变量 x 有微小增量 过点 M 作切线 MT, 倾角为 , 则 “ 以直代曲 ”

四、微分公式与运算法则 1. 基本初等函数的微分公式

2. 函数的和、差、积、商的微分法则

3. 复合函数的微分法则 微分法则为 可见，无论 u 是自变量还是另一个变量的可微函数， 微分形式保持不变. 这一性质叫做微分形式不变性.

（ 1 ） 利用微分求复合函数的导数 例 3 已知 y=sin (2x+1), 求 y’. 解把 2x+1 看成中间变量 u ，则 求复合函数的微分时, 也可以不写出中间变量 例4例4 若 解

练 习 题

3.4 高阶导数 一、高阶导数的定义 问题 : 变速直线运动的加速度.

记作 二阶导数的导数称为三阶导数, 三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.

二、 高阶导数求法举例 例1例1 解 例2例2

解 例4例4 解

同理可得 注意：求 n 阶导数时, 求出 1-3 或 4 阶后, 不要急于合并, 分析 结果的规律性, 写出 n 阶导数.( 数学归纳法证明 )

练 习 题