第6章 利用MATLAB语言 求解科学运算问题 东北大学信息学院 薛定宇 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 1 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

本课程参考书 MATLAB语言符号运算局限性： 目前只支持32位MATLAB运行，在64位操作系统上必须安装32位版MATLAB 从MATLAB 2008b开始，符号运算放弃了Maple内核，改用MuPAD作为符号运算引擎，功能变弱了很多，好些问题不能再求解了 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 2 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

本章内容提要 （内容多，因学时限制，入门介绍） （详细内容查阅参考教材） 解析解与数值解 ch1 线性代数问题求解 ch4 简单介绍 非线性方程求解 ch6 最优化问题求解 ch6 微分方程求解 ch7 数据插值、处理与拟合 ch8 其他应用 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 3 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

6.1 解析解与数值解 由已知公式一步步推导出的解 解析解不存在或不现实，需要数值解 例如，高等数学计算，复杂问题不能手工求解，需要借助计算机 解析解不存在或不现实，需要数值解 不存在 不存在 p，工程应用3.14159即可 高阶矩阵的行列式，计算量 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 4 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

6.2 线性代数问题的计算机求解 矩阵分析问题由简单命令即可 函数调用方法 行列式 det(A) 特征值 eig(A)，[v,d]=eig(A) 逆矩阵 inv(A)，伪逆pinv(A) 范数 norm(A,1), norm(A,2), norm(A,inf) 特征多项式系数 poly(A) 函数调用方法 eig(A), eig(sym(A)) Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 5 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

6.2.2 其他线性代数问题求解 线性代数方程求解 Lyapunov方程、Riccati方程等 矩阵函数求解 解的判定矩阵 三种情况 唯一解 无穷多解 无解，最小二乘解 Lyapunov方程、Riccati方程等 lyap、are等函数可以直接求解 矩阵函数求解 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 6 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

6.3 非线性方程求解 非线性方程的解析解 非线性方程的数值解 什么时候存在解析解？ 准解析解 图解法 任意指定初值进行搜索求解 单变量多项式方程 可以转换成单变量多项式方程的多元方程 准解析解 非线性方程的数值解 图解法 任意指定初值进行搜索求解 非线性矩阵方程的求解 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 7 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

6.3.1 非线性方程的解析解求解 MATLAB的solve函数可以求解方程 简单例子：鸡兔同笼问题的直接求解 数学问题 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 8 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

复杂例子 数学形式 MATLAB求解语句（准解析解） 解的检验 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 9 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

另一个复杂例子 求解 检验 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 10 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

非线性方程的准解析解 考虑非线性方程 求解 验证 问题：该方程只有这一个解吗？ Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 11 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

6.3.2 一元、二元方程的图解法 图解法只适合求解一元、二元方程 利用隐函数绘制函数ezplot，辅以hold on，可以把联立方程的解画在一个坐标系下 重解前例 MATLAB语句 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 12 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

6.3.3 一般非线性方程的数值求解 方程的标准型 其中， 均是列向量或矩阵，维数相同 求解步骤： 选择变量 ，将非线性方程表示成标准型形式 其中， 均是列向量或矩阵，维数相同 求解步骤： 选择变量 ，将非线性方程表示成标准型形式 编写MATLAB程序描述原方程 *.m函数形式、inline函数、匿名函数形式 调用fsolve函数求解方程 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 13 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

求解实例，仍考虑前面例子 选择变量 ，则 向量形式 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 选择变量 ，则 向量形式 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 14 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

用MATLAB描述 求解、验证 匿名函数描述 MATLAB函数描述，生成 myeq.m文件 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 15 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

提高求解精度 寻找其他解：换初值 停止迭代条件 设置方法 求解、检验 TolX TolFun MaxIter: 最大迭代步数超限，默认500步 设置方法 求解、检验 寻找其他解：换初值 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 16 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

6.3.4 非线性矩阵方程计算机求解 能直接求解矩阵方程 举例，扩展Riccati方程 其中 求解、检验、其他解 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 17 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

6.3.5 求解方法比较、总结 图解法 准解析解方法 一般数值解法 局限性：一元二元，精度低 优点：显示出感兴趣区域全部实根 局限性：多项式类方程、不能选择初值 优点：全部根包括复根、精度高 一般数值解法 局限性：实根、依赖于初值 优点：任意非线性方程、精度适中、矩阵方程 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 18 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

6.4 最优化问题求解 无约束最优化问题 有约束最优化问题 进化算法及其全局最优解法 整数规划、混合整数规划、0-1规划 特殊问题 线性规划 二次型规划 一般问题 进化算法及其全局最优解法 整数规划、混合整数规划、0-1规划 动态规划与最短路径求解 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 19 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

6.4.1 无约束最优化问题求解 数学形式 ，最大值问题的变换 物理意义介绍 目标函数描述 MATLAB求解 匿名函数、M函数 数学形式 ，最大值问题的变换 物理意义介绍 目标函数描述 匿名函数、M函数 MATLAB求解 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 20 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

无约束最优化求解举例 求解步骤 变换成标准型，引入 ，则 描述目标函数 求解 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 变换成标准型，引入 ，则 描述目标函数 求解 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 21 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

图形验证 中间 过程 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 22 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

带有变量边界约束的最优化问题 数学描述 问题求解方法 可以按照有约束最优化问题求解 利用免费工具箱求解 http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/ loadFile.do?objectId=8277&objectType=file Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 23 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

最优化问题求解其他考虑 全局最优解和局部最优解 最优化加速算法 几何解释 如何避免 最优区域过于平缓 初值考虑、多初值 并行算法，如遗传算法 考虑采用利用梯度信息 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 24 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

6.4.2 有约束最优化问题的求解 有约束最优化问题的数学形式 约束条件，≥不等式的处理 特殊形式 一般最优化问题 线性规划问题 二次型规划形式 一般最优化问题 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 25 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

线性规划问题 一般数学形式 MATLAB求解 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 26 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

线性规划问题举例 提取矩阵、向量，对号入座 求解 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 27 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

双下标线性规划问题举例 线性规划不能直接求解双下标问题 引入变换，变成单下标问题，如 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 28 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

变换后的问题 求解 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 29 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

二次型规划问题求解 数学标准型 MATLAB求解函数 注意事项 注意1/2系数 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 30 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

一般有约束非线性规划问题求解 数学形式 MATLAB求解 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 31 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

非线性规划举例 非线性约束条件的MATLAB描述 目标函数 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 32 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

求解 另一种求解方法 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 33 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

实际最优化问题举例 数学形式 多个变量需要优化，不能直接求解 引入决策变量进行替换，生成 x 向量 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 34 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

变换后的最优化问题标准型 非线性规划 线性等式不等式约束、非线性等式约束 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 35 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

非线性约束 问题求解 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 36 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

6.4.3 进化算法及全局最优解法 为什么要引入进化算法？ 传统方法过于依赖初值，容易产生局部最优解 一元函数举例 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 37 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

常用进化算法 遗传算法的基本思路 遗传算法 PSO—粒子群优化算法 蚁群算法 基于生物界优胜劣汰、适者生存法则寻优 同时从多点开始并行搜索全局最优点 用数学方法实现了交叉、遗传、变异等 常用概率方法进化，每次的结果不同 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 38 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

两个遗传算法工具箱可以使用 遗传算法最优化工具箱(GAOT)下载 主函数调用 遗传算法与直接搜索工具箱（GADS） http://www.ise.ncsu.edu/mirage/GAToolBox/gaot/ 主函数调用 遗传算法与直接搜索工具箱（GADS） Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 39 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

单变量最优化问题举例 求最大值 目标函数定义 （GAOT） 求解方法 GAOT工具箱求解 GADS解法 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 40 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

多变量问题举例 GAOT工具箱求解 GADS工具箱求解 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 41 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

有约束最优化问题求解 线性规划 GAOT求解 不能求解有约束最优化，引入惩罚函数，即不满足约束条件时认为设置小目标函数 不能求解等式约束，需要解出，如 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 42 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

含有约束条件的目标函数（两个变量） 求解语句 线性规划问题直接求解 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 43 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

遗传算法小结 优点 缺点 利用遗传算法的优点 可以求取全局最优解 计算量恒定，适合于在线寻优 适用范围窄，无约束最优化 精度低 用遗传算法获得不精确的初值 由初值出发利用传统搜索方法寻优 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 44 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

6.4.4 整数规划和混合整数规划 什么是整数规划、混合整数规划、0-1规划 数学形式 常用有效求解算法：分枝定界法 利用免费工具箱bnb20直接求解 下载地址 http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/95 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 45 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

bnb20 工具箱使用和改进 调用格式 关键点：intlist的写法 程序编写较早，有待改进 调用前 调用后 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 46 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

整数规划举例 数学问题（线性规划） 要求所有决策变量均为整数 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 47 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

混合整数规划 若决策变量1,4,5要求为整数 bnb20的局限性 不能采用匿名函数 版本兼容性需要小修改 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 48 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

0-1规划问题求解 MATLAB只提供了0-1线性规划问题求解函数binprog，不能求解一般非线性问题 可以利用bnb20直接求解 求解技巧： 分别设置为0、1向量 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 49 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

6.5 动态规划及最短路径求解 动态规划 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 50 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

可以利用生物信息学工具箱函数直接求解 先输入有向图信息 （自动布局） 求解 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 51 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

也可以利用著名的Dijkstra算法编程求解 生物信息学工具箱函数局限性 复杂问题自动布局困难 也可以利用著名的Dijkstra算法编程求解 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 52 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

6.6 微分方程问题求解 解析解求解 微分方程数值解 边值问题的计算机求解 常系数线性微分方程解析解 微分方程组解析解 极特殊非线性微分方程解析解 微分方程数值解 标准型及其求解 一般微分方程组的标准型转换 特殊微分方程求解 边值问题的计算机求解 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 53 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

6.6.1 微分方程的解析解方法 直接调用dsolve函数 直接求解的优点 通用格式 无需记忆方程的手工解法、技巧 可以求解复杂问题 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 54 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

微分方程求解举例 数学形式 先不考虑初值，演示通解的解法 直接求解 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 55 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

特解的解法 结果 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 56 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

解析解的一个反例 非线性微分方程求解 非线性微分方程变形 唯一方法：数值解 问题 求解 试图求解 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 57 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

微分方程组的解析解 微分方程组举例 MATLAB求解 解析解 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 58 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

6.6.2 微分方程初值问题的数值解法 初值问题的标准型 , 已知 MATLAB求解步骤 写出标准型 描述标准型 求解 匿名函数、M函数和inline函数 求解 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 59 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

Lorenz微分方程举例及可视化 数学形式 微分方程描述 求解 可视化 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 60 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

M函数方法 变步长求解方法与精度设定 微分方程解的验证 精度控制量 不会过多增大计算量 选择不同的RelTol参数 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 61 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

Lotka-Volterra捕食模型 数学模型 引入变量进行变换，令 MATLAB求解 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 62 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

带有附加参数的微分方程求解 什么是附加参数？为什么使用附加参数？ 描述微分方程时引入附加参数 求解时使用 匿名函数 M函数 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 63 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

不同参数下的Lorenz问题求解 数学模型 附加参数 问题描述 求解 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 64 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

6.6.3 微分方程的标准化 一般微分方程如何求解？ 常见微分方程类型 转换后可以直接求解 高阶微分方程的变换 高阶微分方程组的变换 显式微分方程组 隐式微分方程组 容易解出的方程 引入代数方程求解方法 转换后可以直接求解 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 65 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

高阶微分方程的转换 常见高阶微分方程形式 状态变量选择方法不唯一，结果不唯一 常见选法 变换后模型 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 66 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

举例：Van der Pol 方程 数学模型 解析解不存在 引入状态变量 变换后模型 求解 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 67 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

Van der Pol 方程结果 解的验证 极限环 状态变量选择不同，模型不唯一 m 很大时用ode45无解，刚性方程ode15s 不同初值得出不同极限环 状态变量选择不同，模型不唯一 如 m 很大时用ode45无解，刚性方程ode15s Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 68 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

显式高阶微分方程组变换 数学形式 状态选择 转换模型 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 69 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

Apollo 轨迹模型 数学形式 初值 状态变量选择 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 70 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

变换后标准化模型 求解 验证 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 71 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

隐式微分方程组的变换 例子数学模型 状态变量选择 变换后模型 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 72 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

6.6.4 特殊微分方程求解 矩阵微分方程求解 刚性方程求解 隐式微分方程求解 微分代数方程求解 延迟微分方程求解 切换微分方程求解 随机微分方程求解 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 73 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

6.6.5 边值微分方程的求解 数学模型 MATLAB求解函数 二阶 一般 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 74 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

二阶边值问题举例 数学问题 变换 方程 边值方程 MATLAB求解 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 方程 边值方程 MATLAB求解 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 75 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

含未知参数的边值问题 数学问题 变量选择 MATLAB求解 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 76 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

6.7 数据处理 插值运算 基于数据的数学模型拟合 数据的统计分析 一元插值 二元网格样本数据插值 二元一般样本数据插值 多项式拟合 非线性原型函数的最优拟合 基于神经网络的数据拟合 数据的统计分析 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 77 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

6.7.1 数据插值 什么是插值？ 什么是曲线（曲面）拟合？ Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 78 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

一元函数的插值与曲线拟合 数学问题 MATLAB求解步骤 已知：样本点 求未知点 X 处函数值 Y 生成样本点数据向量 插值问题求解 ‘linear’, ‘cubic’ ‘spline’ Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 79 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

一元插值举例 由已知函数生成一组样本点，观察能否较好地插值拟合原曲线 样本数据生成与显示 MATLAB命令 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 80 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

插值问题的极端例子 正弦函数的曲线拟合 假设已知稀疏点 0,0.4,1.2,2,p 处的函数值 样本点计算与显示 插值运算、曲线拟合 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 81 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

插值问题的反例 假设由快速变化的函数生成一组稀疏的样本点，例如 稀疏数据生成和样本点显示 数据插值与曲线拟合效果 样本点信息不足 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 82 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

二元网格样本点的插值 已知在 x-y 平面上网格点处的 z 值，如何拟合 x-y 平面内任意点插值？如何拟合曲面？ 二元插值求解步骤： 构造网格数据标准型 （meshgrid 函数） 二元函数插值求解 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 83 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

二元网格数据插值举例 网格样本点数据原型函数 稀疏数据生成 数据插值 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 84 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

一般分布数据的二元插值问题 样本点不一定在网格上 常规曲面图绘制命令不能绘制曲面 数据插值方法： 曲面图绘制方法： 已知 向量，计算 点上的函数值 常规曲面图绘制命令不能绘制曲面 数据插值方法： 曲面图绘制方法： 让插值点 x,y 在网格上 插值后直接利用surf函数进行曲面绘制 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 85 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

插值举例 由原型函数生成随机发布的数值 MATLAB语句 插值运算 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 86 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

插值应用：由离散样本点进行最优化 前面介绍的最优化是已知函数的最优化 如果未知函数，可以考虑插值去拟合 最优化举例 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 87 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

6.7.2 由数据拟合数学模型 为什么要拟合数学模型？ 能拟合出那些模型 插值只能求出感兴趣点的函数值 有时需要数学模型表示 需要由模型推导其他内容 能拟合出那些模型 多项式模型 已知非线性函数模型 其他领域模型，如控制中拟合传递函数模型 神经网络模型 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 88 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

由数据拟合出多项式 数学问题 问题求解步骤： 已知样本点数据 求出一个拟合多项式（系数） 准备数据向量 设定多项式次数 n 拟合多项式 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 89 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

多项式拟合举例 考虑原型函数的系数样本点 生成数据 对不同多项式次数拟合，观察效果 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 90 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

已知原型函数的最优函数拟合 数学问题描述 求解步骤： 已知样本点 已知原型函数（未知具体参数） fun 求出函数系数，使得拟合误差最小 生成样本点向量 描述原型函数：匿名函数和M函数 最优拟合 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 91 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

一元函数拟合举例 原始函数 原型函数 生成数据和原型函数的MATLAB表示 曲线拟合 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 92 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

多元函数拟合举例 原函数 原型函数 生成样本点 写出原型函数 求解 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 93 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

神经网络模型 模拟生物神经网络进行计算、近似等 适合数据拟合的神经网络类型 径向基网络的使用 前馈神经网络（反向传播BP算法） 径向基网络 (RBF网络) 径向基网络的使用 建立网络 训练网络 泛化 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 94 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

一元拟合举例 原始问题 径向基神经网络拟合 生成数据、拟合、比较 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 95 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

二元函数拟合举例 原始问题 径向基网络拟合 数据生成、拟合、比较 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 96 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院

6.7.3 数据的统计分析 已知数据矩阵 X 统计量计算 均值 mean(X) （按列计算） 每列数据的方差 cov(X(:,i)) 标准差 std(X(:,i)) 协方差矩阵 cov(X) 相关系数矩阵 corrcoef(X) Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 97 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院