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要求 听课 考勤 及时，用心，科学地完成作业 成绩算法 平时成绩，（期中）期末成绩 334 或 46 （待定） 平时成绩：考勤，作业

学习内容 微积分 (张国楚等编《大学文科数学》chapter 1-6, 10) 概率统计 线性代数 微分方程 运筹学—线性规划

网络资源 1. 部分讲义, 材料 http://172.20.7.30/ouyang/calculus 2. 数学软件Maple学习

文科生为什么要学大学数学？ 严世健先生的序言 (另一个目的: 顺便介绍一些科普性的东西 )

严世健 北京师范大学教授． 专于：代数、数论、概率 论、数学教育．

文科生为什么要学大学数学？ 严世健: 数学及其应用迅速发展的启示 数学能够培养人的正确思维 数学本身的发展：简介 Fermat大定理及其解决 数学应用: 在金融学中的应用等 数学能够培养人的正确思维 逻辑思维的训练 公理系统及其影响简介 归纳法

数学的发展 数学本身的发展一方面能反映了社会经济、技术发展对数学应用、数学理论的需求，一方面也必将能使数学在未来更好地应用 数学理论具有超前性，但或许某一天就会得到广泛的应用（例如：数论和公开密钥体系）

邮票上的数学家

费尔玛(Fermat)大定理的来由 公元250年，著名的希腊数学丢番图写了一本重要的数学历史名著“算术”，书中提出了许多初等数论的问题。 在17世纪二三十年代，这本书引起了费尔玛的极大兴趣，他在他拥有那本书的空白处写了一系列吸引人的注释。 读到有关勾股数的结果时，他写了一段著名文字：

“不能把一个立方数表示成两个立方数之和，也不能把一个四次方数表示成两个四次方之和。一般地，每个幂次大于2的方幂数均不能表示成两个同样方幂数之和。”

“不能把一个立方数表示成两个立方数之和，也不能把一个四次方数表示成两个四次方之和。一般地，每个幂次大于2的方幂数均不能表示成两个同样方幂数之和。” ( “当 时，方程 没有非零整数解。” )

Fermat 继续写道： “我对此已经找到了一个奇妙的证明，但是空白地方太小写不下了。”

遗憾的是，人们找遍了他的文稿和笔记，都搜寻不到这个“绝妙”的证明。 在300多年中，人们希望能找到它的一般证明，但又苦于无法；企图否定，又举不出反例。 Hilbert 称之为“会下金蛋的鸡”; Gauss 不屑于证明，认为这样的问题随手可以写出很多来。 1994年费尔玛大定理被Wiles完全证明。

自从 Wiles 在1994年解决了Fermat大定理后，很多人都问这有什么用。大家都觉得Fermat大定理的证明是划时代的。它不仅解决了一个长达350年的问题，还使我们对有理数域上的椭圆曲线有了极深的了解；它是融合两个数论的主流——自守式和椭圆曲线——而迸发出来的火花。值得一提的是，近十多年来椭圆曲线在编码理论中发展迅速，而编码理论将会在电脑贸易中大派用场，其潜力无可估计。 (丘成桐)

Fermat大定理的证明是划时代的 Wiles获1996 Fields 特别奖。 解决了一个长达350年的问题 解决问题使用了新的方法，工具

数学应用 金融学：用数学捍卫财富 密码学：公开密钥 历史学：天文历法 医学：核磁共振，病理研究，药物开发 试验设计：如核试验 数学（线性）规划

数理金融 数理金融学是一门将数学应用于金融学的新兴交叉学科。 20世纪80年代末，90年代初，随着公司财务、商业银行与证券投资业务的迅速发展而诞生。 例如，概率论在金融学的研究中有重要的作用。概率会议中常用不少金融方面的报告。

用数学捍卫财富 80年代以来，金融证券市场出现了国际化的大趋势，期货与期权这两种重要的新的交易方式的引入，在其中起到了非常重要的作用。在世界市场经济接轨的进程中，中国受到了这一潮流的明显影响。以山东省为例，(国际)期货交易的影响已波及地市之一级，其发展速度越来越快，令人担心的是很多企业领导对期货市场的了解甚少，盲目投资。国际期货市场风险极大，风云莫测，瞬息万变，一个亿万富翁也许眨眼间就会变成一文不名的乞丐。而中国刚刚步入市场，经验不足，信息不灵，根本没有进行这种风险生意的条件。 如果说这是“交学费”的话，这个学费委实太贵了。彭实戈给这种状况打了个恰当的比喻：这相当于《北京人在纽约》中的王启明拿钱去大西洋赌城去赌博!

用数学捍卫财富 80年代以来，金融证券市场出现了国际化的大趋势，引入了期货与期权这两种重要的新的交易方式。 在世界市场经济接轨的进程中，中国受到了这一潮流的明显影响。当时很多企业领导对期货市场的了解甚少，盲目投资。 国际期货市场风险极大，风云莫测，瞬息万变， 中国刚刚步入市场，经验不足，信息不灵，根本没有进行这种风险生意的条件。（不知道怎样规避风险）

彭实戈 “倒向随机微分方程理论”的主要开创者，山东大学数学研究所所长，山东大学金融研究院院长。 1995年曾获国家自然科学二等奖。

    彭实戈给国家自然科学基金会写了一封信， 信中写了自己对国债期货市场的研究结果，详细分析了国际期货市场的现状、规模及发展规律，并提出了建议，立即从速开展对国债期货市场的风险分析和控制的专题研究。    

 彭实戈的信立即引起了有关方面的高度重视，国家自然科学基金会当即以文件的形式向中央财经领导小组报告，对国家后来采取果断措施，迅速关闭停止一大批国际期货市场交易，从而有效制止国家资产的进一步大量流失作出了贡献。

数学能够培养人的正确思维（一） 数学是按照逻辑演绎严格表述的，通过学习它能够发展学习者的逻辑思维。 抽象能力 笛卡儿：唯一正确的认识方法是依靠数学上的推理和抽象。（笛卡儿著有《方法论》） “数学是思维的体操”

数学能够培养人的正确思维（二） 数学的另一个特点是按公理体系建立，即追求从少数几个不证自明的前提（公理，规定）出发，逻辑地演绎整个系统。 西方数学的这种特点是从毕达哥拉斯开始的，其后经由希腊时代的许多学派（特别是柏拉图学派（学院名言：“不懂几何学者勿入”））形成了一个不可动摇的传统，而在欧几里得的《几何原本》中得到了完美的体现。

毕达哥拉斯（Pythagoras 约 569 BC ~475 BC） 毕达哥拉斯幼年好学 ，四处游历。青年时离开家乡，慕名拜访当时古希腊最伟大的数学家泰勒斯。此时，泰勒斯已经年迈，不再收徒。毕达哥拉斯只好拜在泰勒斯的门徒爱奥尼亚学派的阿那克西曼德门下学习几何学与哲学。后来又拜在自然知识渊博的费雷居德门下学习自然科学。再后来又到埃及、巴比伦、印度去留学。所有这一切，对于毕达哥拉斯的自然科学（包括数学）思想、哲学思想和宗教思想的形成，都有着非常重要的影响。

万物皆数 创建了著名的毕达哥拉斯学派。宗旨是：万物皆数，即数是宇宙的本源。 在毕达哥拉斯派看来，数为宇宙提供了一个概念模型，数量和形状决定一切自然物体的形式，数不但有量的多寡，而且也具有几何形状。在这个意义上，他们把数理解为自然物体的形式和形象，是一切事物的总根源。因为有了数，才有几何学上的点，有了点才有线面和立体，有了立体才有火、气、水、土这四种元素，从而构成万物，所以数在物之先。自然界的一切现象和规律都是由数决定的，都必须服从“数的和谐”，即服从数的关系。

毕达哥拉斯定理 毕达哥拉斯在西方首次证明了“毕达哥拉斯定理”，（即中国的“勾股定理”，以“百牛大祭”庆贺 ） 斜边平方和等于两直角边的平方和。

学生希帕索斯通过勾股定理发现了无理数，这一发现打破了毕达哥拉斯宇宙万物皆为整数与整数之比的信条。

欧几里得（Euclid, 约公元前330-275年） 古希腊数学家。其著作《几何原本》闻名于世。 将公元前七世纪以来希腊几何积累起来的既丰富又纷纭的庞杂结果整理在一个严密统一的体系中，从原始定义开始，列出5条公设，通过逻辑推理，演绎出一系列定理和推论，从而建立了被称为欧几里得几何学的第一个公理化数学体系。

欧几里得 小故事 早年求学于雅典，公元前300年左右来到亚历山大，在那里教数学。他治学严谨，反对不肯刻苦钻研、投机取巧的思想作风。 据普罗克洛斯记载，托勒密王曾经问欧几里得除了他的《几何原本》之外，还有没有其他学习几何的捷径，欧几里得回答道：“几何里没有专为国王铺设的大道”。这句话后来成为千古传诵的学习箴言（几何无王者之道）。 另一则故事说：一个学生才开始学第一命题，就问欧几里得学了几何学后将得到些什么，欧几里得随即叫人给他三个钱币，因为他想在学习中获得实利。

几何公理系统 当然，几何公理系统的完备直到1899年德国数学家希尔伯特的《几何基础》一书的出版才建立起来。 20世纪60年代，西方数学界掀起“新数”运动，喊出“欧几里得滚蛋”口号，结果这场运动以失败告终，这表明欧氏几何在数学教育中仍具有不可替代的重要作用。

几何公理系统 20世纪60年代，西方数学界掀起“新数”运动，喊出“欧几里得滚蛋”口号，结果这场运动以失败告终，这表明欧氏几何在数学教育中仍具有不可替代的重要作用。

公理系统的影响 西方思想家常常以这种思维方式来思考和研究社会、经济以及政治问题 牛顿《自然哲学的数学原理》 杜能 《孤立国-孤立国对农业和国民经济的关系》 1826年 杜能对于其假想的“孤立国”，给定六个假定条件 。 斯宾诺莎 《伦理学》（spinoza，1632—77） 托马斯·阿奎那 《神学大全》 经院哲学体系

斯宾诺莎 (Spinoza，1632-77） 17世纪荷兰哲学家。西方近代唯物论、无神论和唯理论的主要代表。 在方法论上，他认为只有几何学方法才能使哲学成为系统严谨、条理清楚、具有普遍性和必然性的科学。《笛卡尔哲学原理》和《伦理学》就是严格按照几何学方法来撰写的。

斯宾诺莎的《伦理学》 《伦理学》的论述方式是非常古老的，它几乎完全模仿几何学的方法，先有一批“公则”，每一个“公则”下都有简短“证明”； 然后有许多“命题”，“命题”下不但有“证明”，“证明”下还有一些“附释” 。

托马斯·阿奎那（Thomas Aquinas 意大利，1225—1274） 中世纪最有名的神 学家和经院哲学家 在所有教授哲学的天主教文教机关中他的体系是必须作为唯一正确的体系来讲授的 ( “天主教会至今唯一真实的哲学”) “圣徒” “教义 师”

托马斯·阿奎那 托马斯在巴黎大学执教时，亚里士多德的学说已大量涌 入，在教徒中引起的反响极为强烈。教会深感其著作的危险性，几次试图封锁这种与天主教 正统信仰不相容的自然主义和理性主义哲学，禁止转录、阅读和保存。可托马斯并不害怕这 种学说，他和老师阿尔伯特一起潜心研究亚里士多德的著作，他阉割了亚里士多德哲学中的 唯物主义和辩证法，而将其中的唯心主义和形而上学体系加以全面系统地发挥，并将其纳入 基督教的神学体系，使它成为天主教官方哲学的基础。 他成功地将基督教的神学思想和亚里士多德的哲学融合在一起，建立起了庞大的经院哲 学体系。一生著有１８部巨著，其中包括集基督教思想之大成的《神学大全》和《哲学大 全》、《论存在和本质》、《论正统信仰和真理、异教徒议论大全》等。

托马斯·阿奎那的神学体系 《圣经》中存在大量前后矛盾、不可思议甚至荒谬的地方，这些早在基督教初创时就有人意识到了。但其中许多人采取“信仰主义”态度，“正因为其不可信才信”。 托马斯·阿奎那第一次寻求对基督教第一信条即“上帝的存在性和惟一性”以证明。这不仅使神学带有数学的风味，还由此推出一系列命题并构成精微的神学体系。 “神学中的欧几里得”

托马斯·阿奎那 托马斯包罗万象的神学唯心主义体系产生后，很快成为西欧中世纪思想领域中 占绝对统治地位的学说。 教会在他生前就给予了他极大的支持和极高的声誉，称他为最光荣 的“天使博士”。１３２３年教皇追封他为“圣徒”，１５６７年他又被命名为“教义 师”，１８７９年教皇还正式宣布他的学说是“天主教会至今唯一真实的哲学”。

数学能够培养人的正确思维（三） （培根）归纳法：从事实开始，然后进行道普遍性的原理。 数学内容（概念、定理和公式）的发现通常是由一些直观的想法（例子和以往更具体的内容）开始的，然后通过证明完成。 归纳出来的结论正确是否是以能否证明为准。

我国文化传统 数学在形成人类的理性思维方面起着核心的作用，我国的文化传统在这方面是不足的。 ”李约瑟“难题 （李约瑟：《中国科学技术简史》）

中国古代数学 中国古代数学独立于古希腊数学和作为其延续的西方数学，有着其自身发展的清晰主线，其发展过程、思考方法和表达风格亦与西方数学迥然不同。 中国古代几何学在内容和形式上都与欧几里得几何迥然不同： 中国古代几何没有采用定义—公理—定理—证明这种欧式演绎系统，取公理而代之的是几条简洁明了的原理。（吴文俊）

中国古代数学 在春秋战国，秦汉时期，我国就完成了《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《五曹算经》，《孙子算经》，《夏侯阳算经》，《张丘建算经》，《五经算术经》，《缉古算经》，《缀术》在内的算经十部。 其中最重要的一部当数《九章算术》，它包括246个数学实际应用例题，按解题方法和应用方法分成九章编纂而成。它在代数方面取得了突出的成就，记载了开平方，开立方，解一元二次方程的方法。

中国古代数学 在春秋战国，秦汉时期，我国就完成了《周髀算经》，《孙子算经》，《缀术》等算经十部。 最重要的一部当数《九章算术》，它包括246个数学实际应用例题，按解题方法和应用方法分成九章编纂而成。它在代数方面取得了突出的成就，记载了开平方，开立方，解一元二次方程的方法。

中国古代数学 南北朝时期的数学著作《孙子算经》中的“物不知数”题目 秦九韶《数书九章》“大衍求一术” 《中国剩余定理》 文澜阁四库全书本《数书九章》书影

“我们讲授数学不止是要教涉及量的推理，不止是把它作为科学的语言来讲授－虽然这些都很重要－而是让人们知道，如果不从数学在西方思想史上所起的重要作用来理解它，就不可能完全理解人文科学、自然科学、人的所有创造和人类世界。”

《西方文化中的数学》， 【美】克莱茵著：

数学是人类心智的荣耀 恩格斯：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”； 柯朗：“这门学科乃是一种撼人心灵的智力奋斗的结晶”；（柯朗是Hilbert的学生，美国有个著名的柯朗应用数学研究所） 数学：真理与美 （ 参张顺燕《数学的美与理》）

文科生为什么要学大学数学？ 数学及其应用迅速发展的启示(简介: Fermat大定理及其解决, 数学应用: 在金融学中的应用等) 数学能够培养人的正确思维 ( 逻辑思维的训练 公理系统及其影响简介 归纳法) 学数学可以完成人的内心中对真理与美的诉求。

Conclusion 文科生要学数学 都要学数学 思考 上述结论是否正确 此前的证明是否充分

文科数学的教与学 不同于理工科 思维训练和对数学应用的较深入理解必须以必要的数学内容和训练为载体