空间解析几何 湖南大学 数学与计量经济学院

课程教材 《解析几何简明教程》 吴光磊 田畴 编 课程教材 《解析几何简明教程》 吴光磊 田畴 编 目录： 空间直角坐标、平面和直线 向量代数 二次曲面 正交变换和仿射变换 二次曲线的一般理论

第一章 空间直角坐标、平面和直线 §1:空间直角坐标 思考题：空间中能不能找到两两互相垂直的四条直线？ 空间直角坐标系[O;X,Y,Z] Z 第一章 空间直角坐标、平面和直线 §1:空间直角坐标 Z Y X 思考题：空间中能不能找到两两互相垂直的四条直线？ 空间直角坐标系[O;X,Y,Z]

1. 空间直角坐标系 z y 坐标平面 八个卦限 x

1. 空间直角坐标系 z y 坐标平面 八个卦限 . x

1. 空间直角坐标系 Ⅲ Ⅱ z y 坐标平面 Ⅳ Ⅰ 八个卦限 . x Ⅵ Ⅷ Ⅴ

空间中点的代数化 点到坐标平面的距离 规定垂直于坐标平面的坐标轴所指的方向为坐标平面的正面；另一部分为负面。 Z 规定坐标平面上的点到坐标平面正面的距离为正，负面的距离为负。坐标平面正面上的点到坐标平面的距离为正。 Z Y O X ． 正面 负面

坐标折线 ： 确定坐标为（x,y,z）的点的位置. 空间中一点P 有序数组（x,y,z） 点的坐标（x,y,z）:其中x,y,z是 三个实数，分别代表P与坐标平面 YZ,ZX,XY的距离. Z P 坐标折线 ： 确定坐标为（x,y,z）的点的位置. O z Y y x x P1 y P’ X 坐标系中的点和一个三元有序数组之间就建立了一个一一对应的关系。记坐标是 的点 为

点P与坐标原点O的距离: ．

坐标系的分类——右手系和左手系 在以后的讨论中，我们假定所有的坐标系都是右手系. 给定一个空间直角坐标系，把右手按照从 轴到 轴转动的方向握起来，如果大拇指所指的方向为 轴的方向，则这个直角坐标系就是右手系，否则就是左手系. 右手系 左手系 右手系 在以后的讨论中，我们假定所有的坐标系都是右手系.

2:坐标系的平移 坐标轴的方向不变而坐标原点改变. 新坐标等于旧坐标减去新原点的旧坐标。 设点P在坐标系[O;X,Y,Z]和坐标系[P0;X’,Y’,Z’]中的坐标依次为 和 。 Z’ Z O 变化规律 P P0 Y’ Y X’ X 新坐标等于旧坐标减去新原点的旧坐标。

坐标系内两点间的距离 Z Y X

坐标系内两点间的距离 两点 , 间的距离，从坐标系 中看. 就是 点与原点 的距离，设 点在坐标系 中的坐标为 ，所以 两点 , 间的距离，从坐标系 中看. 就是 点与原点 的距离，设 点在坐标系 中的坐标为 ，所以 转换到坐标系 中去，就得到

解：要找的点P在X轴上，所以它的坐标可设为（x,0,0）. 又因为|P0P|= ，即 的距离为 . 解：要找的点P在X轴上，所以它的坐标可设为（x,0,0）. 又因为|P0P|= ，即 |P0P|= ， x=9,-1. 所以要找的点是（9，0，0）或（-1，0，0）.

例2 对于固定的坐标系，当线段平行移动时，端点的坐标差保持不变. Z Y X

§2:怎样表示方向 1:用射线表示方向. 2:平行移动不改变方向不变. 3:方向如何代数化？ ．

1：方向数（方向的代数化） ． ． ． ． ． 在坐标系[O,X,Y,Z]中,用从原点 出发的射线来表示方向. 原点以 外的任何一点P，都表示一个方向， 即从原点 到 的方向，此时 的 坐标(x,y,z)就叫做这个方向的一 组方向数. 射线 上其他的点也都表 示同一个方向，他们的坐标也是这个方 向的一组方向数. ． ． ． ． ． 注1：一个方向的方向数不是唯一的，相差一个正数乘子 . 注2：在空间中从点 到点 的方向数为：

2 方向余弦 射线 与坐标轴 依次形成三个角 这三个角确定了从 到的 方向，叫做这个方向的方向角. 设 的坐标为 ，则 射线 与坐标轴 依次形成三个角 这三个角确定了从 到的 方向，叫做这个方向的方向角. 设 的坐标为 ，则 P X Y Z O 方向角的余弦称为方向余弦，它表示 等于时的方向数，即距离原点为1的点的方向数, 因此一个方向的方向余弦是唯一确定的. 并且方向余弦的平方和是1: 这也是一组方向余弦或者方向角所必须满足的条件。

例： 是某一个方向的方向余弦，其方向角是 而 不是任何方向的方向余弦. 对于点 所表示的方向，有一组方向数为 ，那么方向余弦为

1:求下列方向的方向余弦

3:求下列方向的方向角 方向角为:

3:两个方向的角度 设两个方向的方向余弦分别为: E2 E1 Z Y X O 夹角为:

由两点间的距离公式，有 所以 E2 E1 Z Y X O 为了唯一确定两个方向的夹角，我们规定:

3:求下列方向之间的夹角

作业 P17: 6，9(2,3),10.